Energie a měření

Úloha číslo: 1975

Označme si tři vlastní vektory Hamiltonova operátoru \(\hat {H}\) jako \(\psi_1, \psi_2, \psi_3\).

Dále víme, že pro ně platí

\[\hat{H}\psi_1=E_1\psi_1=E\psi_1,\] \[ \hat{H}\psi_2=E_2\psi_2=3E\psi_2,\] \[\hat{H}\psi_3=E_3\psi_3=7E\psi_3,\]

kde \(E\) je konstanta.

Uvažujme obecný stav

\[\varphi=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\psi_1+\psi_2\right)+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_3.\]

a) Jaké energie můžeme ve stavu \(\varphi\) naměřit? S jakou pravděpodobností?

b) Určete střední hodnotu energie ve stavu \(\varphi\).

c) V jakém stavu se bude systém nacházet po měření, ve kterém naměříme energii \(3E\)?

d) Napište časový vývoj stavu \(\varphi\).

  • Nápověda a)

    Co nám říká rovnice \(\hat{H}\psi_1=E_1\psi_1\)?

    Promyslete, s čím souvisí pravděpodobnost naměření energie \(E_1\).

  • Nápověda b)

    Najděte si vztah pro výpočet střední hodnoty energie v obecném stavu \(\varphi\).

  • Nápověda c)

    Rozmyslete si či vyhledejte, co se stane se systémem po změření jeho energie.

  • Nápověda d)

    Vyhledejte, v jakém tvaru se zapisuje vlnová funkce popisující časový vývoj stavu.

    Zauvažujte, v jakém čase máme zadán obecný stav \(\varphi\).

  • Řešení

    a) V jakémkoli stavu můžeme naměřit jen energie, které odpovídají vlastním číslům \(E_n\) Hamiltonova operátoru \(\hat{H}\). Vlastní čísla \(E_n\) operátoru \(\hat{H}\) jsou čísla, pro která má rovnice \[\hat{H}\psi_n=E_n\psi_n\] netriviální řešení \(\psi_n\), tyto funkce nazýváme vlastní funkce operátoru \(\hat{H}\).

    Ze zadaných rovnic určíme, že vlastní čísla operátoru \(\hat{H}\) jsou \(E, 3E\) a \(7E\), což jsou i hodnoty energie, které můžeme naměřit ve stavu \(\varphi\).

    Pravděpodobnost \(p_n\), že v systému popsaném vlnovou funkcí \[\varphi=\sum_{n} {c_n\psi_n}\] naměříme energii \(E_n\), je dána vztahem \[p_n = \left |c_n\right\vert^2.\]

    Porovnáním obecného vztahu a zadané vlnové funkce \[\varphi = \frac{1}{\sqrt{6}}\psi_1+\frac{1}{\sqrt{6}}\psi_2+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_3\] určíme koeficienty \(c_n\) \[c_1=c_2=\frac{1}{\sqrt{6}},\qquad c_3=\sqrt{\frac{2}{3}},\qquad c_n=0 \quad\text{pro}\;n\geq 4.\]

    Poznámka: V zadání jsou uvedeny tři vlastní funkce operátoru \(\hat{H}\) pro daný systém. Nevíme však, zda máme zadány všechny vlastní funkce, mohlo by jich existovat více. I kdyby měl systém více vlastních čísel a vlastních funkcí, tak, protože se nevyskytují v zadané vlnové funkci, můžeme situaci chápat, že jsou jejich koeficienty nulové (viz výše) a další výpočty to nijak neovlivní.

    Z koeficientů \(c_n\) vypočítáme pravděpodobnosti naměření jednotlivých energií \(E_1, E_2\) a \(E_3\) \[p_1=\left|c_1\right|^2=\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2=\frac{1}{6}=\left|c_2\right|^2=p_2,\] \[p_3 = \left|c_3\right|^2=\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2=\frac{2}{3}.\]

    Pravděpodobnost naměřit energii \(E_1\) a \(E_2\) je stejná, a to \(\frac{1}{6}\). Pravděpodobnost naměřit energii \(E_3\) je \(\frac{2}{3}\).

    Součet pravděpodobností naměření jednotlivých energií je roven jedné \[p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{6} +\frac{1}{6} + \frac{2}{3} = 1.\] To znamená, že zadaná vlnová funkce je normovaná.

     

    b) Střední hodnota energie ve stavu popsaném normovanou vlnovou funkcí \(\varphi\) se vypočítá pomocí skalárního součinu, což lze upravit na vážený průměr naměřitelných energií \(E_n\) (váhami jsou pravděpodobnosti \(p_n\) naměření jednotlivých hodnot)

    \[\left\langle E\right\rangle_\varphi=(\varphi,\hat{H}\varphi)=\sum_{n}{p_n E_n}=\sum_{n}{\left |c_n\right\vert^2 E_n}.\]

    Pro zadaný stav \(\varphi\) dostáváme \[\left\langle E\right\rangle_\varphi=\left |c_1\right\vert^2E_1+\left |c_2\right\vert^2E_2+\left |c_3\right\vert^2E_3,\] kam dosadíme za \(c_1=c_2=\frac{1}{\sqrt{6}}\), \( c_3=\sqrt{\frac{2}{3}}\), \(E_1=E\), \(E_2=3E\) a \(E_3=7E\) \[\left\langle E\right\rangle_\varphi=\frac{1}{6}E+\frac{1}{6}3E+\frac{2}{3}7E=\frac{1+3+28}{6}E=\frac{32}{6}E=\frac{16}{3}E.\]

    Střední hodnota energie ve stavu \(\varphi\) je \(\frac{16}{3}E\).

     

    c) Po měření dojde k tzv. redukci vlnové funkce. To znamená, že pokud naměříme energii \(E_2=3E\), vlnová funkce systému se změní na vlastní funkci, která odpovídá naměřenému vlastnímu číslu. Systém se tedy bude nacházet ve stavu určeném vlnovou funkcí \(\psi_2\).

     

    d) Zadaná vlnová funkce \(\varphi(x)\) odpovídá prostorové části vlnové funkce \(\varphi(x,t)\) pro \(t=0\). Časový vývoj obecného stavu \(\varphi\) popisuje vlnová funkce ve tvaru \[\varphi(x,t)=\sum_{n}{c_n\psi_n(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}},\] kde členy \(\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}\) představují časovou část jednotlivých vlastních vlnových funkcí \(\psi_n(x)\), ze kterých je \(\varphi(x,t)\) složena.

    Pro stav \(\varphi(x)\) složený ze stavů \(\psi_1, \psi_2\) a \(\psi_3\) dostaneme časovou vlnovou funkci

    \[\varphi(x,t)=\sum_{n}{c_n\psi_n(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}}=c_1\psi_1\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+c_2\psi_2\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}+c_3\psi_3\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_3}{\hbar}t}.\]

    Po dosazení konkrétních hodnot \(c_1=c_2=\frac{1}{\sqrt{6}}\), \(c_3=\sqrt{\frac{2}{3}}\), \(E_1=E\), \( E_2=3E\)a \( E_3=7E\) získáme

    \[\varphi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{6}}\psi_1\,\mathrm{e}^{-i\frac{E}{\hbar}t}+\frac{1}{\sqrt{6}}\psi_2\,\mathrm{e}^{-i\frac{3E}{\hbar}t}+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_3\,\mathrm{e}^{-i\frac{7E}{\hbar}t}.\]
  • Odpověď

    a) Ve stavu \(\varphi\) můžeme s pravděpodobností \(\frac{1}{6}\) naměřit energii \(E_1=E\) i energii \(E_2=3E\), s pravděpodobností \(\frac{2}{3}\) můžeme naměřit energii \(E_3=7E\), kde \(E\) je konstanta.

    b) Střední hodnota energie ve stavu \(\varphi\) je \(\left\langle E\right\rangle_\varphi=\frac{16}{3}E\).

    c) Po měření, při kterém naměříme energii \(3E\), se systém bude nacházet ve stavu \(\psi_2\).

    d) Časový vývoj stavu zapíšeme \(\varphi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{6}}\psi_1\,\mathrm{e}^{-i\frac{E}{\hbar}t}+\frac{1}{\sqrt{6}}\psi_2\,\mathrm{e}^{-i\frac{3E}{\hbar}t}+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_3\,\mathrm{e}^{-i\frac{7E}{\hbar}t}\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze