Sbírka řešených úloh

Energie a měření

Úloha číslo: 1975

• Nápověda a)

  Co nám říká rovnice \(\hat{H}\psi_1=E_1\psi_1\)?

  Promyslete, s čím souvisí pravděpodobnost naměření energie \(E_1\).

• Řešení nápovědy a)

  Je-li \(\psi_1\) netriviální řešení stacionární Schrödingerovy rovnice \[\hat{H}\psi_1=E_1\psi_1,\] pak \(\psi_1\) nazýváme vlastní funkcí operátoru \(\hat{H}\) a \(E_n\) jeho vlastním číslem.

  Pokud je systém ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi_1\), potom při měření energie vždy naměříme hodnotu vlastního čísla \(E_1\). Takovému stavu říkáme stav s ostrou hodnotou energie.

  Pokud je systém v nějakém obecném stavu, potom musíme nejprve příslušnou vlnovou funkci napsat jako lineární kombinaci vlastních funkcí energie. Pravděpodobnosti naměření jednotlivých energií získáme pomocí koeficientů této lineární kombinace.

• Nápověda b)

  Najděte si vztah pro výpočet střední hodnoty energie v obecném stavu \(\varphi\).

• Řešení nápovědy b)

  Střední hodnota energie v obecném stavu popsaném normovanou vlnovou funkcí \[\varphi=\sum_{n}{c_n\psi_n}\] se vypočítá pomocí skalárního součinu, což lze upravit na vážený průměr naměřitelných energií \(E_n\) (váhami jsou pravděpodobnosti \(p_n\) naměření jednotlivých hodnot) \[\left\langle E\right\rangle_\varphi=(\varphi, \hat{H}\varphi)=\sum_{n}{p_n E_n}=\sum_{n}{\left |c_n\right\vert^2 E_n}.\]

• Nápověda c)

  Rozmyslete si či vyhledejte, co se stane se systémem po změření jeho energie.

• Řešení nápovědy c)

  Po změření energie dojde k tzv. redukci vlnové funkce. Vlnová funkce systému se změní na vlastní funkci operátoru \(\hat{H}\) odpovídající konkrétní naměřené hodnotě energie.

• Nápověda d)

  Vyhledejte, v jakém tvaru se zapisuje vlnová funkce popisující časový vývoj stavu.

  Zauvažujte, v jakém čase máme zadán obecný stav \(\varphi\).

• Řešení nápovědy d)

  Vlnovou funkci \(\varphi(x,t)\) popisující časový vývoj stavu vytvoříme přidáním časového faktoru \[T(t)=\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}\] ke každé stacionární vlnové funkci \(\psi_n(x)\) ve vzorci \[\varphi(x)=\sum_{n}{c_n\psi_n(x)}.\]

  Vlnová funkce popisující časový vývoj stavu \(\varphi(x,t)\) se tedy zapisuje ve tvaru \[\varphi(x,t)=\sum_{n}{c_n\psi_n(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}},\] kde \(E_n\) jsou hodnoty energie systému.

  Zadanou vlnovou funkci \(\varphi(x)\) můžeme brát jako celou vlnovou funkci \(\varphi(x,t)\) v čase \(t=0\). Zkusme si do výše uvedeného vztahu pro \(\varphi(x,t)\) dosadit \(t=0\)

  \[\varphi(x, 0)=\sum_{n}{c_n\psi_n(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}0}}=\sum_{n}{c_n\psi_n(x)\,\mathrm{e}^0}=\sum_{n}{c_n\psi_n(x)}=\varphi(x).\]

• Řešení

  a) V jakémkoli stavu můžeme naměřit jen energie, které odpovídají vlastním číslům \(E_n\) Hamiltonova operátoru \(\hat{H}\). Vlastní čísla \(E_n\) operátoru \(\hat{H}\) jsou čísla, pro která má rovnice \[\hat{H}\psi_n=E_n\psi_n\] netriviální řešení \(\psi_n\), tyto funkce nazýváme vlastní funkce operátoru \(\hat{H}\).

  Ze zadaných rovnic určíme, že vlastní čísla operátoru \(\hat{H}\) jsou \(E, 3E\) a \(7E\), což jsou i hodnoty energie, které můžeme naměřit ve stavu \(\varphi\).

  Pravděpodobnost \(p_n\), že v systému popsaném vlnovou funkcí \[\varphi=\sum_{n} {c_n\psi_n}\] naměříme energii \(E_n\), je dána vztahem \[p_n = \left |c_n\right\vert^2.\]

  Porovnáním obecného vztahu a zadané vlnové funkce \[\varphi = \frac{1}{\sqrt{6}}\psi_1+\frac{1}{\sqrt{6}}\psi_2+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_3\] určíme koeficienty \(c_n\) \[c_1=c_2=\frac{1}{\sqrt{6}},\qquad c_3=\sqrt{\frac{2}{3}},\qquad c_n=0 \quad\text{pro}\;n\geq 4.\]

  Poznámka: V zadání jsou uvedeny tři vlastní funkce operátoru \(\hat{H}\) pro daný systém. Nevíme však, zda máme zadány všechny vlastní funkce, mohlo by jich existovat více. I kdyby měl systém více vlastních čísel a vlastních funkcí, tak, protože se nevyskytují v zadané vlnové funkci, můžeme situaci chápat, že jsou jejich koeficienty nulové (viz výše) a další výpočty to nijak neovlivní.

  Z koeficientů \(c_n\) vypočítáme pravděpodobnosti naměření jednotlivých energií \(E_1, E_2\) a \(E_3\) \[p_1=\left|c_1\right|^2=\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2=\frac{1}{6}=\left|c_2\right|^2=p_2,\] \[p_3 = \left|c_3\right|^2=\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2=\frac{2}{3}.\]

  Pravděpodobnost naměřit energii \(E_1\) a \(E_2\) je stejná, a to \(\frac{1}{6}\). Pravděpodobnost naměřit energii \(E_3\) je \(\frac{2}{3}\).

  Součet pravděpodobností naměření jednotlivých energií je roven jedné \[p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{6} +\frac{1}{6} + \frac{2}{3} = 1.\] To znamená, že zadaná vlnová funkce je normovaná.

   

  b) Střední hodnota energie ve stavu popsaném normovanou vlnovou funkcí \(\varphi\) se vypočítá pomocí skalárního součinu, což lze upravit na vážený průměr naměřitelných energií \(E_n\) (váhami jsou pravděpodobnosti \(p_n\) naměření jednotlivých hodnot)

  \[\left\langle E\right\rangle_\varphi=(\varphi,\hat{H}\varphi)=\sum_{n}{p_n E_n}=\sum_{n}{\left |c_n\right\vert^2 E_n}.\]

  Pro zadaný stav \(\varphi\) dostáváme \[\left\langle E\right\rangle_\varphi=\left |c_1\right\vert^2E_1+\left |c_2\right\vert^2E_2+\left |c_3\right\vert^2E_3,\] kam dosadíme za \(c_1=c_2=\frac{1}{\sqrt{6}}\), \( c_3=\sqrt{\frac{2}{3}}\), \(E_1=E\), \(E_2=3E\) a \(E_3=7E\) \[\left\langle E\right\rangle_\varphi=\frac{1}{6}E+\frac{1}{6}3E+\frac{2}{3}7E=\frac{1+3+28}{6}E=\frac{32}{6}E=\frac{16}{3}E.\]

  Střední hodnota energie ve stavu \(\varphi\) je \(\frac{16}{3}E\).

   

  c) Po měření dojde k tzv. redukci vlnové funkce. To znamená, že pokud naměříme energii \(E_2=3E\), vlnová funkce systému se změní na vlastní funkci, která odpovídá naměřenému vlastnímu číslu. Systém se tedy bude nacházet ve stavu určeném vlnovou funkcí \(\psi_2\).

   

  d) Zadaná vlnová funkce \(\varphi(x)\) odpovídá prostorové části vlnové funkce \(\varphi(x,t)\) pro \(t=0\). Časový vývoj obecného stavu \(\varphi\) popisuje vlnová funkce ve tvaru \[\varphi(x,t)=\sum_{n}{c_n\psi_n(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}},\] kde členy \(\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}\) představují časovou část jednotlivých vlastních vlnových funkcí \(\psi_n(x)\), ze kterých je \(\varphi(x,t)\) složena.

  Pro stav \(\varphi(x)\) složený ze stavů \(\psi_1, \psi_2\) a \(\psi_3\) dostaneme časovou vlnovou funkci

  \[\varphi(x,t)=\sum_{n}{c_n\psi_n(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}}=c_1\psi_1\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+c_2\psi_2\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}+c_3\psi_3\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_3}{\hbar}t}.\]

  Po dosazení konkrétních hodnot \(c_1=c_2=\frac{1}{\sqrt{6}}\), \(c_3=\sqrt{\frac{2}{3}}\), \(E_1=E\), \( E_2=3E\)a \( E_3=7E\) získáme

  \[\varphi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{6}}\psi_1\,\mathrm{e}^{-i\frac{E}{\hbar}t}+\frac{1}{\sqrt{6}}\psi_2\,\mathrm{e}^{-i\frac{3E}{\hbar}t}+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_3\,\mathrm{e}^{-i\frac{7E}{\hbar}t}.\]

• Odpověď

  a) Ve stavu \(\varphi\) můžeme s pravděpodobností \(\frac{1}{6}\) naměřit energii \(E_1=E\) i energii \(E_2=3E\), s pravděpodobností \(\frac{2}{3}\) můžeme naměřit energii \(E_3=7E\), kde \(E\) je konstanta.

  b) Střední hodnota energie ve stavu \(\varphi\) je \(\left\langle E\right\rangle_\varphi=\frac{16}{3}E\).

  c) Po měření, při kterém naměříme energii \(3E\), se systém bude nacházet ve stavu \(\psi_2\).

  d) Časový vývoj stavu zapíšeme \(\varphi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{6}}\psi_1\,\mathrm{e}^{-i\frac{E}{\hbar}t}+\frac{1}{\sqrt{6}}\psi_2\,\mathrm{e}^{-i\frac{3E}{\hbar}t}+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_3\,\mathrm{e}^{-i\frac{7E}{\hbar}t}\).