Sbírka řešených úloh

Energie a měření

Úloha číslo: 1975

• Nápověda a)

  Co nám říká rovnice $\hat{H}\psi_1=E_1\psi_1$?

  Promyslete, s čím souvisí pravděpodobnost naměření energie $E_1$.

• Řešení nápovědy a)

  Je-li $\psi_1$ netriviální řešení stacionární Schrödingerovy rovnice $$\hat{H}\psi_1=E_1\psi_1,$$ pak $\psi_1$ nazýváme vlastní funkcí operátoru $\hat{H}$ a $E_n$ jeho vlastním číslem.

  Pokud je systém ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi_1$, potom při měření energie vždy naměříme hodnotu vlastního čísla $E_1$. Takovému stavu říkáme stav s ostrou hodnotou energie.

  Pokud je systém v nějakém obecném stavu, potom musíme nejprve příslušnou vlnovou funkci napsat jako lineární kombinaci vlastních funkcí energie. Pravděpodobnosti naměření jednotlivých energií získáme pomocí koeficientů této lineární kombinace.

• Nápověda b)

  Najděte si vztah pro výpočet střední hodnoty energie v obecném stavu $\varphi$.

• Řešení nápovědy b)

  Střední hodnota energie v obecném stavu popsaném normovanou vlnovou funkcí $$\varphi=\sum_{n}{c_n\psi_n}$$ se vypočítá pomocí skalárního součinu, což lze upravit na vážený průměr naměřitelných energií $E_n$ (váhami jsou pravděpodobnosti $p_n$ naměření jednotlivých hodnot) $$\left\langle E\right\rangle_\varphi=(\varphi, \hat{H}\varphi)=\sum_{n}{p_n E_n}=\sum_{n}{\left |c_n\right\vert^2 E_n}.$$

• Nápověda c)

  Rozmyslete si či vyhledejte, co se stane se systémem po změření jeho energie.

• Řešení nápovědy c)

  Po změření energie dojde k tzv. redukci vlnové funkce. Vlnová funkce systému se změní na vlastní funkci operátoru $\hat{H}$ odpovídající konkrétní naměřené hodnotě energie.

• Nápověda d)

  Vyhledejte, v jakém tvaru se zapisuje vlnová funkce popisující časový vývoj stavu.

  Zauvažujte, v jakém čase máme zadán obecný stav $\varphi$.

• Řešení nápovědy d)

  Vlnovou funkci $\varphi(x,t)$ popisující časový vývoj stavu vytvoříme přidáním časového faktoru $$T(t)=\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}$$ ke každé stacionární vlnové funkci $\psi_n(x)$ ve vzorci $$\varphi(x)=\sum_{n}{c_n\psi_n(x)}.$$

  Vlnová funkce popisující časový vývoj stavu $\varphi(x,t)$ se tedy zapisuje ve tvaru $$\varphi(x,t)=\sum_{n}{c_n\psi_n(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}},$$ kde $E_n$ jsou hodnoty energie systému.

  Zadanou vlnovou funkci $\varphi(x)$ můžeme brát jako celou vlnovou funkci $\varphi(x,t)$ v čase $t=0$. Zkusme si do výše uvedeného vztahu pro $\varphi(x,t)$ dosadit $t=0$

  $$\varphi(x, 0)=\sum_{n}{c_n\psi_n(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}0}}=\sum_{n}{c_n\psi_n(x)\,\mathrm{e}^0}=\sum_{n}{c_n\psi_n(x)}=\varphi(x).$$

• Řešení

  a) V jakémkoli stavu můžeme naměřit jen energie, které odpovídají vlastním číslům $E_n$ Hamiltonova operátoru $\hat{H}$. Vlastní čísla $E_n$ operátoru $\hat{H}$ jsou čísla, pro která má rovnice $$\hat{H}\psi_n=E_n\psi_n$$ netriviální řešení $\psi_n$, tyto funkce nazýváme vlastní funkce operátoru $\hat{H}$.

  Ze zadaných rovnic určíme, že vlastní čísla operátoru $\hat{H}$ jsou $E, 3E$ a $7E$, což jsou i hodnoty energie, které můžeme naměřit ve stavu $\varphi$.

  Pravděpodobnost $p_n$, že v systému popsaném vlnovou funkcí $$\varphi=\sum_{n} {c_n\psi_n}$$ naměříme energii $E_n$, je dána vztahem $$p_n = \left |c_n\right\vert^2.$$

  Porovnáním obecného vztahu a zadané vlnové funkce $$\varphi = \frac{1}{\sqrt{6}}\psi_1+\frac{1}{\sqrt{6}}\psi_2+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_3$$ určíme koeficienty $c_n$ $$c_1=c_2=\frac{1}{\sqrt{6}},\qquad c_3=\sqrt{\frac{2}{3}},\qquad c_n=0 \quad\text{pro}\;n\geq 4.$$

  Poznámka: V zadání jsou uvedeny tři vlastní funkce operátoru $\hat{H}$ pro daný systém. Nevíme však, zda máme zadány všechny vlastní funkce, mohlo by jich existovat více. I kdyby měl systém více vlastních čísel a vlastních funkcí, tak, protože se nevyskytují v zadané vlnové funkci, můžeme situaci chápat, že jsou jejich koeficienty nulové (viz výše) a další výpočty to nijak neovlivní.

  Z koeficientů $c_n$ vypočítáme pravděpodobnosti naměření jednotlivých energií $E_1, E_2$ a $E_3$ $$p_1=\left|c_1\right|^2=\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2=\frac{1}{6}=\left|c_2\right|^2=p_2,$$ $$p_3 = \left|c_3\right|^2=\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2=\frac{2}{3}.$$

  Pravděpodobnost naměřit energii $E_1$ a $E_2$ je stejná, a to $\frac{1}{6}$. Pravděpodobnost naměřit energii $E_3$ je $\frac{2}{3}$.

  Součet pravděpodobností naměření jednotlivých energií je roven jedné $$p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{6} +\frac{1}{6} + \frac{2}{3} = 1.$$ To znamená, že zadaná vlnová funkce je normovaná.

   

  b) Střední hodnota energie ve stavu popsaném normovanou vlnovou funkcí $\varphi$ se vypočítá pomocí skalárního součinu, což lze upravit na vážený průměr naměřitelných energií $E_n$ (váhami jsou pravděpodobnosti $p_n$ naměření jednotlivých hodnot)

  $$\left\langle E\right\rangle_\varphi=(\varphi,\hat{H}\varphi)=\sum_{n}{p_n E_n}=\sum_{n}{\left |c_n\right\vert^2 E_n}.$$

  Pro zadaný stav $\varphi$ dostáváme $$\left\langle E\right\rangle_\varphi=\left |c_1\right\vert^2E_1+\left |c_2\right\vert^2E_2+\left |c_3\right\vert^2E_3,$$ kam dosadíme za $c_1=c_2=\frac{1}{\sqrt{6}}$, $c_3=\sqrt{\frac{2}{3}}$, $E_1=E$, $E_2=3E$ a $E_3=7E$ $$\left\langle E\right\rangle_\varphi=\frac{1}{6}E+\frac{1}{6}3E+\frac{2}{3}7E=\frac{1+3+28}{6}E=\frac{32}{6}E=\frac{16}{3}E.$$

  Střední hodnota energie ve stavu $\varphi$ je $\frac{16}{3}E$.

   

  c) Po měření dojde k tzv. redukci vlnové funkce. To znamená, že pokud naměříme energii $E_2=3E$, vlnová funkce systému se změní na vlastní funkci, která odpovídá naměřenému vlastnímu číslu. Systém se tedy bude nacházet ve stavu určeném vlnovou funkcí $\psi_2$.

   

  d) Zadaná vlnová funkce $\varphi(x)$ odpovídá prostorové části vlnové funkce $\varphi(x,t)$ pro $t=0$. Časový vývoj obecného stavu $\varphi$ popisuje vlnová funkce ve tvaru $$\varphi(x,t)=\sum_{n}{c_n\psi_n(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}},$$ kde členy $\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}$ představují časovou část jednotlivých vlastních vlnových funkcí $\psi_n(x)$, ze kterých je $\varphi(x,t)$ složena.

  Pro stav $\varphi(x)$ složený ze stavů $\psi_1, \psi_2$ a $\psi_3$ dostaneme časovou vlnovou funkci

  $$\varphi(x,t)=\sum_{n}{c_n\psi_n(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}}=c_1\psi_1\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+c_2\psi_2\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}+c_3\psi_3\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_3}{\hbar}t}.$$

  Po dosazení konkrétních hodnot $c_1=c_2=\frac{1}{\sqrt{6}}$, $c_3=\sqrt{\frac{2}{3}}$, $E_1=E$, $E_2=3E$a $E_3=7E$ získáme

  $$\varphi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{6}}\psi_1\,\mathrm{e}^{-i\frac{E}{\hbar}t}+\frac{1}{\sqrt{6}}\psi_2\,\mathrm{e}^{-i\frac{3E}{\hbar}t}+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_3\,\mathrm{e}^{-i\frac{7E}{\hbar}t}.$$

• Odpověď

  a) Ve stavu $\varphi$ můžeme s pravděpodobností $\frac{1}{6}$ naměřit energii $E_1=E$ i energii $E_2=3E$, s pravděpodobností $\frac{2}{3}$ můžeme naměřit energii $E_3=7E$, kde $E$ je konstanta.

  b) Střední hodnota energie ve stavu $\varphi$ je $\left\langle E\right\rangle_\varphi=\frac{16}{3}E$.

  c) Po měření, při kterém naměříme energii $3E$, se systém bude nacházet ve stavu $\psi_2$.

  d) Časový vývoj stavu zapíšeme $\varphi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{6}}\psi_1\,\mathrm{e}^{-i\frac{E}{\hbar}t}+\frac{1}{\sqrt{6}}\psi_2\,\mathrm{e}^{-i\frac{3E}{\hbar}t}+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_3\,\mathrm{e}^{-i\frac{7E}{\hbar}t}$.