Pravděpodobnost nalezení elektronu v jádře
Úloha číslo: 4339
Elektron v základním stavu atomu vodíku je popsán vlnovou funkcí
\[ \psi_{100}(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}\, \text{e}^{-\frac{r}{a}} ,\]kde \( a=\frac{\hbar^2 4\pi\epsilon_0}{m_e e^2} \,\dot{=}\, 0{,}5 \,\cdot\, 10^{-11} \,\text{m}\) je tzv. Bohrův poloměr.
Určete pravděpodobnost, že takový elektron nalezneme v oblasti zaujímané jádrem, tedy uvnitř koule o poloměru \(d = 10^{-15}\, \text{m} \,.\)
Začátek řešení
Pravděpodobnost nalezení elektronu v dané oblasti získáme integrací hustoty pravděpodobnosti \(\vert\psi\vert^2\) přes tuto oblast. V případě atomu vodíku budeme integrovat ve sférických souřadnicích.
Pravděpodobnost, že se elektron v základním stavu atomu vodíku nachází uvnitř koule o poloměru d, je
\[P=\int_0^{d} \int_0^{2\pi} \int_0^\pi |\psi_{100}(r)|^2\, r^2\, \sin\theta\, \mbox{d}\theta\, \mbox{d}\varphi\, \mbox{d}r .\]Po dosazení dostáváme
\[P= \int_0^{d} \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \frac{1}{\pi a^3}\,\text{e}^{-\frac{2r}{a}}\, r^2\sin\theta\, \mbox{d}\theta\, \mbox{d}\varphi\, \mbox{d}r .\]Díky separovatelnosti proměnných můžeme tento trojný integrál upravit na součin tří jednoduchých integrálů:
\[P=\frac{1}{\pi a^3}\int_0^{2\pi} \mbox{d}\varphi \int_0^\pi\sin\theta\, \mbox{d}\theta \int_0^{d} r^2\,\text{e}^{-\frac{2r}{a}}\,\mbox{d}r .\]Nápověda – jak integrovat
Výpočet integrálu je popsán v nápovědě v úloze Elektron mezi kulovými plochami.
Pokračování řešení
Došli jsme k tomu, že pravděpodobnost, že se elektron v základním stavu atomu vodíku nachází uvnitř koule o poloměru d, je rovna
\[P=\frac{1}{\pi a^3}\int_0^{2\pi} \,\mbox{d}\varphi \int_0^\pi\sin\theta\,\mbox{d}\theta \int_0^{d} r^2\,\text{e}^{-\frac{2r}{a}}\,\mbox{d}r\,.\]Integrály přes oba úhly jsou velmi jednoduché, \[P=\frac{1}{\pi a^3} \cdot 2\pi\,\cdot\,\left[-\cos \theta\right]_0^{\pi}\,\cdot\, \int_0^{d} r^2\,\text{e}^{-\frac{2r}{a}}\,\mbox{d}r\,. \] Integrál přes r lze po substituci \(x=-\frac{2r}{a}\) spočítat metodou per partes (detailně viz nápověda). Po dosazení správných mezí tak dostáváme \[P=\frac{1}{\pi a^3} \cdot 2\pi\,\cdot\,2\,\cdot\,\left(-\frac{a^3}{8}\right)\,\cdot\, \left[\left( x^2\,-\,2x\,+\,2 \right)\text{e}^x\right]_{0}^{-\frac{2d}{a}}\,,\] \[P=\frac{1}{2}\left[\left( x^2\,-\,2x\,+\,2\right)\text{e}^x\right]_{-\frac{2d}{a}}^{0}\,,\] \[P=\frac{1}{2}\left[2-\left(\left(\frac{2d}{a}\right)^2\,+\,2 \left(\frac{2d}{a}\right)\,+\,2 \right)\text{e}^{-\frac{2d}{a}}\right]\,.\]
Nápověda – numerické dosazení
Dosazení číselných hodnot je v tomto případě za hranicemi numerických schopností běžné kalkulačky či Excelu. Pro přibližný výpočet číselné hodnoty pravděpodobnosti použijte Taylorův rozvoj exponenciály \(\mbox{e}^x \) a zjednodušte výraz v hranatých závorkách.
Numerické dosazení
Pro výpočet číselné hodnoty pravděpodobnosti využijeme Taylorův rozvoj exponenciální funkce kolem nuly \(\mbox{e}^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots\)
Výraz \[\left( x^2\,-\,2x\,+\,2\right)\mbox{e}^x\] tak s využitím rozvoje do třetího řádu zjednodušíme na \[ \begin{align*} &\left( x^2\,-\,2x\,+\,2\right) \left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}\right) \approx \\ &\approx \left(x^2 + x^3 -2x -2x^2 -x^3 -2 +2x +x^2 +\frac{x^3}{3}\right) = 2 + \frac{x^3}{3} \,. \end{align*} \]
Do vztahu pro pravděpodobnost tak můžeme dosadit \( x=-\frac{2r}{a} \) a získáme vztah \[ \begin{align*} P \approx \frac{1}{2}\left[2-\left(2 + \frac{x^3}{3}\right)\right] = \frac{4}{3}\left(\frac{d}{a}\right)^3 \end{align*}\,. \] Po dosazení číselných hodnot \(a=5 {\cdot} 10^{-11}\) a \(d = 10^{-15}\) dostaneme \[P \approx \frac{4}{3}\left(\frac{10^{-15}}{5 {\cdot} 10^{-11}}\right)^3 \approx 10^{-14} \,.\]
Odpověď
Pravděpodobnost nalezení elektronu uvnitř oblasti zaujímané jádrem je pro základní stav atomu vodíku extrémně malá, a to přibližně \(10^{-14}\,.\)Odkaz
Velmi podobnou situaci řeší také úlohy Elektron mezi kulovými plochami, Elektron vně koule a Pravděpodobnost nalezení elektronu za Bohrovým poloměrem.
