Maticový formalismus pro l = 1

Úloha číslo: 4363

Uvažujme systém s pevně danou velikostí momentu hybnosti, konkrétně pro kvantové číslo \(l = 1\).

Zavedeme si následující značení pro jednotlivé stavy

\[ l = 1, \, m = 1 \, \, \rightarrow \, \, \psi_1 = \left( -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \right) \sin \theta \, e^{i \varphi} \equiv \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \equiv |1, \, 1\rangle \, , \] \[ l = 1, \, m = 0 \, \, \rightarrow \, \, \psi_0 = \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi}} \right) \cos \theta \equiv \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \equiv |1, \, 0\rangle \, , \] \[ l = 1, \, m = -1 \, \, \rightarrow \, \, \psi_1 = \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \right) \sin \theta \, e^{-i \varphi} \equiv \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \equiv |1, \, -1\rangle \, . \]

a) Jaká je dimenze tohoto Hilbertova prostoru? Ověřte kolmost uvedených stavů v souřadnicové i v „maticové“ reprezentaci.

b) V tomto značení je stav „reprezentován“ vektorem se třemi složkami. Jak budou „reprezentovány“ operátory? Jak lze vypočítat jednotlivé složky operátorů \(\hat L_x, \, \hat L_y, \, \hat L_z\) a \(\hat L^2\)? Vypočítejte složky \(\hat L_z\).

  • Nápověda 1

    Připomeňte si nebo vyhledejte, jak určujeme kolmost dvou stavů.

  • Nápověda 2

    Připomeňte si nebo vyhledejte, jak určujeme prvek matice pomocí vektorů příslušné kanonické báze.

  • Řešení a)

    Jelikož máme tři bázové vektory, ihned vidíme, že dimenze tohoto Hilbertova prostoru je \(3\).

    Nyní ověříme kolmost uvedených stavů v souřadnicové reprezentaci. Jsou-li dané dva stavy \(\psi_j, \, \psi_k\) na sebe kolmé, musí platit

    \[ \left \langle \psi_j \, | \, \psi_k \right \rangle = \int_{c. p.} \psi_j^* \, \psi_k \, \mathrm{d}V = 0 \, . \]

    Integrovat zde budeme přes celý prostor proměnných \(\theta\) a \(\varphi\), tj. přes sféru. „Objemový“ element \(\mathrm{d}V\) tedy bude mít tvar

    \[ \mathrm{d}V = \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi \, . \]

    Posledním krokem před přímým výpočtem je stanovení integračních mezí. Jelikož integrujeme přes celý prostor, musí se \(\theta\) měnit od nuly do \(π\) a \(\varphi\) nabývá hodnot od nuly do \(2π\).

    Výpočet provedeme pro dvojici stavů \(\psi_1, \, \psi_0\)

    \[ \left \langle \psi_1 \, | \, \psi_0 \right \rangle = \int_{c. p.} \psi_1^* \, \psi_0 \, \mathrm{d}V = \] \[ = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \left( -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \right) \sin \theta \, e^{-i \varphi} \, \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi}} \right) \cos \theta \, \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi = \] \[ = - \frac{3}{4\pi\sqrt 2} \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin^2 \theta \, \cos \theta \, e^{-i\varphi} \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi \, . \]

    Jelikož \(e^{-i\varphi}\) můžeme přepsat jako \(\cos \varphi - i\sin \varphi\), je zřejmé, že bychom integrovali podle proměnné \(\varphi\) funkce sinus a kosinus přes jejich periodu. Tyto určité integrály jsou však nulové, a tedy platí

    \[ \left \langle \psi_1 \, | \, \psi_0 \right \rangle = \int_{c. p.} \psi_1^* \, \psi_0 \, \mathrm{d}V = 0 \, . \]

    Pro zbylé dvě dvojice stavů by byl výpočet analogický. V obou případech bychom integrovali celočíselnou mocninu funkce \(e^{i\varphi}\) podle proměnné \(\varphi\) od nuly do \(2\pi\). Stejně jako výše by tyto určité integrály vyšly nulové. Celkově tedy platí

    \[ \left \langle \psi_1 \, | \, \psi_0 \right \rangle = \left \langle \psi_1 \, | \, \psi_{-1} \right \rangle = \left \langle \psi_{-1} \, | \, \psi_0 \right \rangle = 0 \, , \]

    tj. všechny uvedené stavy v souřadnicové reprezentaci jsou na sebe kolmé.

    Dále ověříme kolmost uvedených stavů v „maticové“ reprezentaci. Jsou-li dané dva stavy \(\psi_j, \, \psi_k\) na sebe kolmé, musí platit

    \[ \left \langle \psi_j \, | \, \psi_k \right \rangle = \psi_j^\dagger \, \psi_k = 0 \, . \]

    Výpočet provedeme pro dvojici stavů \(\psi_1, \, \psi_0\)

    \[ \left \langle \psi_1 \, | \, \psi_0 \right \rangle = \psi_1^\dagger \, \psi_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \, . \]

    Pro zbylé dvě dvojice stavů by byl výpočet analogický. Celkově jsme tedy ověřili, že všechny uvedené stavy v „maticové“ reprezentaci jsou na sebe kolmé.

  • Řešení b)

    Operátor působí na stav a výsledkem je jiný stav. V této reprezentaci je stav „reprezentován“ vektorem se třemi složkami. Abychom z něj „vyrobili“ jiný stav, musíme na něj zapůsobit maticí \(3 \times 3\).

    Výpočet jednotlivých složek zde ukážeme pro operátor \(\hat L_z\). Pro zbylé operátory je výpočet analogický.

    Označme hledané složky tohoto operátoru jako

    \[ \hat L_z = \begin{pmatrix} A & D & G \\ B & E & H \\ C & F & I \end{pmatrix} \, . \]

    K určení jednotlivých složek necháme tento operátor působit na vybraný vlastní stav a výsledek rozložíme na lineární kombinaci všech vlastních stavů. Nechme nyní zapůsobit operátor \(\hat L_z\) na vlastní stav \(|1, \, 1\rangle\)

    \[ \hat L_z |1, \, 1\rangle = \begin{pmatrix} A & D & G \\ B & E & H \\ C & F & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix} \, . \]

    Tento stav nyní rozložíme na lineární kombinaci všech vlastních stavů

    \[ \hat L_z |1, \, 1\rangle = \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix} = A |1, \, 1\rangle + B |1, \, 0\rangle + C |1, \, -1\rangle \, . \]

    K určení prvku \(A\) nyní vypočítáme skalární součin

    \[ A = \left \langle 1, \, 1 \, \left | \, \hat L_z \, \right | \, 1, \, 1 \right \rangle \, . \]

    Tento skalární součin spočítáme v souřadnicové reprezentaci, ve které známe jak popis stavu, tak operátor \(\hat L_z\). Jelikož zde máme jednotlivé stavy vyjádřené ve sférických souřadnicích, využijeme vyjádření operátoru \(\hat L_z\) také v těchto souřadnicích

    \[ \hat L_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} \]

    a před samotným výpočtem prvku \(A\) určíme \(\hat L_z |1, \, 1\rangle\)

    \[ \hat L_z |1, \, 1\rangle = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} \left [ \left( -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \right) \sin \theta \, e^{i \varphi} \right ] = - \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \, \sin \theta \, e^{i \varphi} \, . \]

    Tento výsledek dosadíme do skalárního součinu

    \[ A = \left \langle 1, \, 1 \, \left | \, \hat L_z \, \right | \, 1, \, 1 \right \rangle = \int_{c. p.} \psi_1^* \, \hat L_z \psi_1 \, \mathrm{d}V \, . \]

    Integrovat zde budeme přes celý prostor proměnných \(\theta\) a \(\varphi\). „Objemový“ element \(\mathrm{d}V\) tedy bude mít tvar

    \[ \mathrm{d}V = \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi \, . \]

    Posledním krokem před přímým výpočtem je stanovení integračních mezí. Úhel \(\theta\) má hodnoty od nuly do \(π\) a úhel \(\varphi\) nabývá hodnot od nuly do \(2π\).

    Nyní provedeme přímý výpočet prvku \(A\)

    \[ A = \left \langle 1, \, 1 \, \left | \, \hat L_z \, \right | \, 1, \, 1 \right \rangle = \] \[ = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \left [ \left( -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \right) \sin \theta \, e^{- i \varphi} \right ] \left [ - \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \, \sin \theta \, e^{i \varphi} \right ] \, \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi = \] \[ = \frac{3\hbar}{8\pi} \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin^3 \theta \, e^{- i \varphi} \, e^{i \varphi} \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi = \frac{3\hbar}{8\pi} 2\pi \int_0^\pi \sin^3 \theta \, \mathrm{d}\theta = \] \[ = \frac{3\hbar}{4} \int_0^\pi \left( 1 - \cos^2 \theta \right) \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \, . \]

    Nyní provedeme substituci \(\cos \theta = t\), tedy \(- \sin \theta \, \mathrm{d}\theta = \mathrm{d} t\). Dále přepočítáme integrační meze \(\theta = 0 \rightarrow t = 1\) a \( \, \theta = \pi \rightarrow t = -1\).

    Po dosazení dostaneme

    \[ A = \frac{3\hbar}{4} \int_1^{-1} - (1 - t^2) \, \mathrm{d} t = \frac{3\hbar}{4} \int_{-1}^1 1 - t^2 \, \mathrm{d} t = \frac{3\hbar}{4} \left [ t - \frac{t^3}{3} \right ]_{-1}^1 = \] \[ = \frac{3\hbar}{4} \frac{4}{3} = \hbar \, . \]

    Nyní analogickým způsobem určíme prvek \(B\)

    \[ B = \left \langle 1, \, 0 \, \left | \, \hat L_z \, \right | \, 1, \, 1 \right \rangle = \] \[ = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \left [ \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi}} \right) \cos \theta \right ] \left [ - \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \, \sin \theta \, e^{i \varphi} \right ] \, \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi = \] \[ = - \frac{3\hbar}{4\pi\sqrt2} \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin^2 \theta \, \cos \theta \, e^{i \varphi} \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi \, . \]

    Zde integrujeme funkci \(e^{i \varphi}\) od nuly do \(2\pi\). Tento určitý integrál je nulový (pro detailní vysvětlení viz Řešení a))

    Celkově tedy platí \(B = 0\).

    Pro všechny mimodiagonální prvky buď dostaneme v integrálu mocninu funkce \(e^{i \varphi}\) nebo jsou přímo nulové (protože \(\hat L_z |1, \, 0\rangle = 0\)). Všechny mimodiagonální prvky jsou tedy nulové. Nulový je rovněž prvek \(E\) a pro prvek \(I\) získáme totéž, co pro prvek \(A\) pouze s opačným znaménkem.

    Celkově je tedy

    \[ \hat L_z = \begin{pmatrix} \hbar & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \hbar \end{pmatrix} = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \, . \]

    Tvar všech operátorů ze zadání v „maticové“ reprezentaci naleznete na konci úlohy v sekci Komentář.

  • Odpověď

    a) Dimenze tohoto Hilbertova prostoru je \(3\). Všechny uvedené stavy jsou na sebe navzájem kolmé v obou reprezentacích.

    b) V „maticové“ reprezentaci jsou operátory reprezentovány maticemi \(3 \times 3\). Jednotlivé složky operátorů určíme pomocí rozkladu do báze vlastních stavů. Operátor \(\hat L_z\) má tvar

    \[ \hat L_z = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \, . \]
  • Komentář – tvary operátorů v „maticové” reprezentaci

    Stejným postupem jako v řešení bychom pro všechny operátory vypočítali

    \[ \hat L_x = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \, , \qquad \hat L_y = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \, , \] \[ \hat L_z = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \, , \qquad \hat L^2 = 2 \hbar^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \, . \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze