Maticový formalismus pro l = 1
Úloha číslo: 4363
Uvažujme systém s pevně danou velikostí momentu hybnosti, konkrétně pro kvantové číslo \(l = 1\).
Zavedeme si následující značení pro jednotlivé stavy
\[ l = 1, \, m = 1 \, \, \rightarrow \, \, \psi_1 = \left( -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \right) \sin \theta \, e^{i \varphi} \equiv \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \equiv |1, \, 1\rangle \, , \] \[ l = 1, \, m = 0 \, \, \rightarrow \, \, \psi_0 = \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi}} \right) \cos \theta \equiv \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \equiv |1, \, 0\rangle \, , \] \[ l = 1, \, m = -1 \, \, \rightarrow \, \, \psi_1 = \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \right) \sin \theta \, e^{-i \varphi} \equiv \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \equiv |1, \, -1\rangle \, . \]a) Jaká je dimenze tohoto Hilbertova prostoru? Ověřte kolmost uvedených stavů v souřadnicové i v „maticové“ reprezentaci.
b) V tomto značení je stav „reprezentován“ vektorem se třemi složkami. Jak budou „reprezentovány“ operátory? Jak lze vypočítat jednotlivé složky operátorů \(\hat L_x, \, \hat L_y, \, \hat L_z\) a \(\hat L^2\)? Vypočítejte složky \(\hat L_z\).
Nápověda 1
Připomeňte si nebo vyhledejte, jak určujeme kolmost dvou stavů.
Nápověda 2
Připomeňte si nebo vyhledejte, jak určujeme prvek matice pomocí vektorů příslušné kanonické báze.
Řešení a)
Jelikož máme tři bázové vektory, ihned vidíme, že dimenze tohoto Hilbertova prostoru je \(3\).
Nyní ověříme kolmost uvedených stavů v souřadnicové reprezentaci. Jsou-li dané dva stavy \(\psi_j, \, \psi_k\) na sebe kolmé, musí platit
\[ \left \langle \psi_j \, | \, \psi_k \right \rangle = \int_{c. p.} \psi_j^* \, \psi_k \, \mathrm{d}V = 0 \, . \]Integrovat zde budeme přes celý prostor proměnných \(\theta\) a \(\varphi\), tj. přes sféru. „Objemový“ element \(\mathrm{d}V\) tedy bude mít tvar
\[ \mathrm{d}V = \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi \, . \]Posledním krokem před přímým výpočtem je stanovení integračních mezí. Jelikož integrujeme přes celý prostor, musí se \(\theta\) měnit od nuly do \(π\) a \(\varphi\) nabývá hodnot od nuly do \(2π\).
Výpočet provedeme pro dvojici stavů \(\psi_1, \, \psi_0\)
\[ \left \langle \psi_1 \, | \, \psi_0 \right \rangle = \int_{c. p.} \psi_1^* \, \psi_0 \, \mathrm{d}V = \] \[ = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \left( -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \right) \sin \theta \, e^{-i \varphi} \, \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi}} \right) \cos \theta \, \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi = \] \[ = - \frac{3}{4\pi\sqrt 2} \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin^2 \theta \, \cos \theta \, e^{-i\varphi} \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi \, . \]Jelikož \(e^{-i\varphi}\) můžeme přepsat jako \(\cos \varphi - i\sin \varphi\), je zřejmé, že bychom integrovali podle proměnné \(\varphi\) funkce sinus a kosinus přes jejich periodu. Tyto určité integrály jsou však nulové, a tedy platí
\[ \left \langle \psi_1 \, | \, \psi_0 \right \rangle = \int_{c. p.} \psi_1^* \, \psi_0 \, \mathrm{d}V = 0 \, . \]Pro zbylé dvě dvojice stavů by byl výpočet analogický. V obou případech bychom integrovali celočíselnou mocninu funkce \(e^{i\varphi}\) podle proměnné \(\varphi\) od nuly do \(2\pi\). Stejně jako výše by tyto určité integrály vyšly nulové. Celkově tedy platí
\[ \left \langle \psi_1 \, | \, \psi_0 \right \rangle = \left \langle \psi_1 \, | \, \psi_{-1} \right \rangle = \left \langle \psi_{-1} \, | \, \psi_0 \right \rangle = 0 \, , \]tj. všechny uvedené stavy v souřadnicové reprezentaci jsou na sebe kolmé.
Dále ověříme kolmost uvedených stavů v „maticové“ reprezentaci. Jsou-li dané dva stavy \(\psi_j, \, \psi_k\) na sebe kolmé, musí platit
\[ \left \langle \psi_j \, | \, \psi_k \right \rangle = \psi_j^\dagger \, \psi_k = 0 \, . \]Výpočet provedeme pro dvojici stavů \(\psi_1, \, \psi_0\)
\[ \left \langle \psi_1 \, | \, \psi_0 \right \rangle = \psi_1^\dagger \, \psi_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \, . \]Pro zbylé dvě dvojice stavů by byl výpočet analogický. Celkově jsme tedy ověřili, že všechny uvedené stavy v „maticové“ reprezentaci jsou na sebe kolmé.
Řešení b)
Operátor působí na stav a výsledkem je jiný stav. V této reprezentaci je stav „reprezentován“ vektorem se třemi složkami. Abychom z něj „vyrobili“ jiný stav, musíme na něj zapůsobit maticí \(3 \times 3\).
Výpočet jednotlivých složek zde ukážeme pro operátor \(\hat L_z\). Pro zbylé operátory je výpočet analogický.
Označme hledané složky tohoto operátoru jako
\[ \hat L_z = \begin{pmatrix} A & D & G \\ B & E & H \\ C & F & I \end{pmatrix} \, . \]K určení jednotlivých složek necháme tento operátor působit na vybraný vlastní stav a výsledek rozložíme na lineární kombinaci všech vlastních stavů. Nechme nyní zapůsobit operátor \(\hat L_z\) na vlastní stav \(|1, \, 1\rangle\)
\[ \hat L_z |1, \, 1\rangle = \begin{pmatrix} A & D & G \\ B & E & H \\ C & F & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix} \, . \]Tento stav nyní rozložíme na lineární kombinaci všech vlastních stavů
\[ \hat L_z |1, \, 1\rangle = \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix} = A |1, \, 1\rangle + B |1, \, 0\rangle + C |1, \, -1\rangle \, . \]K určení prvku \(A\) nyní vypočítáme skalární součin
\[ A = \left \langle 1, \, 1 \, \left | \, \hat L_z \, \right | \, 1, \, 1 \right \rangle \, . \]Tento skalární součin spočítáme v souřadnicové reprezentaci, ve které známe jak popis stavu, tak operátor \(\hat L_z\). Jelikož zde máme jednotlivé stavy vyjádřené ve sférických souřadnicích, využijeme vyjádření operátoru \(\hat L_z\) také v těchto souřadnicích
\[ \hat L_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} \]a před samotným výpočtem prvku \(A\) určíme \(\hat L_z |1, \, 1\rangle\)
\[ \hat L_z |1, \, 1\rangle = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} \left [ \left( -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \right) \sin \theta \, e^{i \varphi} \right ] = - \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \, \sin \theta \, e^{i \varphi} \, . \]Tento výsledek dosadíme do skalárního součinu
\[ A = \left \langle 1, \, 1 \, \left | \, \hat L_z \, \right | \, 1, \, 1 \right \rangle = \int_{c. p.} \psi_1^* \, \hat L_z \psi_1 \, \mathrm{d}V \, . \]Integrovat zde budeme přes celý prostor proměnných \(\theta\) a \(\varphi\). „Objemový“ element \(\mathrm{d}V\) tedy bude mít tvar
\[ \mathrm{d}V = \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi \, . \]Posledním krokem před přímým výpočtem je stanovení integračních mezí. Úhel \(\theta\) má hodnoty od nuly do \(π\) a úhel \(\varphi\) nabývá hodnot od nuly do \(2π\).
Nyní provedeme přímý výpočet prvku \(A\)
\[ A = \left \langle 1, \, 1 \, \left | \, \hat L_z \, \right | \, 1, \, 1 \right \rangle = \] \[ = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \left [ \left( -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \right) \sin \theta \, e^{- i \varphi} \right ] \left [ - \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \, \sin \theta \, e^{i \varphi} \right ] \, \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi = \] \[ = \frac{3\hbar}{8\pi} \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin^3 \theta \, e^{- i \varphi} \, e^{i \varphi} \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi = \frac{3\hbar}{8\pi} 2\pi \int_0^\pi \sin^3 \theta \, \mathrm{d}\theta = \] \[ = \frac{3\hbar}{4} \int_0^\pi \left( 1 - \cos^2 \theta \right) \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \, . \]Nyní provedeme substituci \(\cos \theta = t\), tedy \(- \sin \theta \, \mathrm{d}\theta = \mathrm{d} t\). Dále přepočítáme integrační meze \(\theta = 0 \rightarrow t = 1\) a \( \, \theta = \pi \rightarrow t = -1\).
Po dosazení dostaneme
\[ A = \frac{3\hbar}{4} \int_1^{-1} - (1 - t^2) \, \mathrm{d} t = \frac{3\hbar}{4} \int_{-1}^1 1 - t^2 \, \mathrm{d} t = \frac{3\hbar}{4} \left [ t - \frac{t^3}{3} \right ]_{-1}^1 = \] \[ = \frac{3\hbar}{4} \frac{4}{3} = \hbar \, . \]Nyní analogickým způsobem určíme prvek \(B\)
\[ B = \left \langle 1, \, 0 \, \left | \, \hat L_z \, \right | \, 1, \, 1 \right \rangle = \] \[ = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \left [ \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi}} \right) \cos \theta \right ] \left [ - \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \, \sin \theta \, e^{i \varphi} \right ] \, \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi = \] \[ = - \frac{3\hbar}{4\pi\sqrt2} \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin^2 \theta \, \cos \theta \, e^{i \varphi} \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi \, . \]Zde integrujeme funkci \(e^{i \varphi}\) od nuly do \(2\pi\). Tento určitý integrál je nulový (pro detailní vysvětlení viz Řešení a))
Celkově tedy platí \(B = 0\).
Pro všechny mimodiagonální prvky buď dostaneme v integrálu mocninu funkce \(e^{i \varphi}\) nebo jsou přímo nulové (protože \(\hat L_z |1, \, 0\rangle = 0\)). Všechny mimodiagonální prvky jsou tedy nulové. Nulový je rovněž prvek \(E\) a pro prvek \(I\) získáme totéž, co pro prvek \(A\) pouze s opačným znaménkem.
Celkově je tedy
\[ \hat L_z = \begin{pmatrix} \hbar & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \hbar \end{pmatrix} = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \, . \]Tvar všech operátorů ze zadání v „maticové“ reprezentaci naleznete na konci úlohy v sekci Komentář.
Odpověď
a) Dimenze tohoto Hilbertova prostoru je \(3\). Všechny uvedené stavy jsou na sebe navzájem kolmé v obou reprezentacích.
b) V „maticové“ reprezentaci jsou operátory reprezentovány maticemi \(3 \times 3\). Jednotlivé složky operátorů určíme pomocí rozkladu do báze vlastních stavů. Operátor \(\hat L_z\) má tvar
\[ \hat L_z = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \, . \]Komentář – tvary operátorů v „maticové” reprezentaci
Stejným postupem jako v řešení bychom pro všechny operátory vypočítali
\[ \hat L_x = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \, , \qquad \hat L_y = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \, , \] \[ \hat L_z = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \, , \qquad \hat L^2 = 2 \hbar^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \, . \]
