Relace neurčitosti pro zrnko prachu
Úloha číslo: 650
Je malé zrnko prachu mikroskopický nebo makroskopický objekt? Máme pro jeho popis použít kvantovou mechaniku nebo klasickou fyziku? Své rozhodnutí zdůvodněte s přihlédnutím k Heisenbergově relaci neurčitosti.
Uvažujte zrnko o rozměrech řádově μm a hmotnosti řádově mg.
Úloha je inspirována příkladem 1 z učebních textů Kubeš, P.: Svět očima fyziky dostupných na webu [cit. 1. 4. 2008].
Nápověda 1
Zamyslete se, jakým způsobem nás relace neurčitosti při měření rychlosti a polohy omezuje.
Nápověda 2
Heisenbergova relace neurčitosti má tvar
\[\mathrm{\Delta} x \,\mathrm{\Delta} p_x \geq {\hbar \over 2} ,\]kde Δx udává přesnost měření polohy a Δpx přesnost měření hybnosti, \(\hbar\) je redukovaná Planckova konstanta (\(\frac{h}{2\pi}\)).
Rozbor
Pomocí Heisenbergovy relace neurčitosti určíme maximální přesnost, které můžeme při měření v principu dosáhnout. Tato hodnota ale může být mnohem menší, než k jaké jsme schopni při měření v reálné situaci dospět. V takovém případě pro nás principiální omezení vlastně žádným omezením není a můžeme využít přístupu klasické fyziky. Pokud při měření dosahujeme přesnosti řádově srovnatelné s hodnotami vypočtenými z principu neurčitosti, musíme už používat přístupu kvantové mechaniky.
Řešení
Heisenbergova relace neurčitosti má tvar
\[\mathrm{\Delta} x \,\mathrm{\Delta} p_x \geq {\hbar \over 2} ,\]kde Δx udává přesnost měření polohy a Δpx přesnost měření hybnosti, \(\hbar\) je redukovaná Planckova konstanta (\(\frac{h}{2\pi}\)).
Levou stranu relace neurčitosti upravíme do tvaru
\[\mathrm{\Delta} x \,\mathrm{\Delta} p_x = \mathrm{\Delta} x \,m \mathrm{\Delta} v_x\,\mathrm{,}\]kde m je hmotnost a vx rychlost.
Po dosazení charakteristických rozměrů dostáváme
\[\mathrm{\Delta} x \,m \mathrm{\Delta} v_x \approx 10^{-6} 10^{-6} \mathrm{\Delta} v_x \geq {\hbar \over 2} \approx 10^{-35}.\]Po úpravě je tedy Δvx řádově
\[\mathrm{\Delta} v_x \geq 10^{-23} \,\mathrm{\,m\,s^{-1}\,} .\]Z toho vyplývá, že velikost rychlosti pohybu částice v jednom směru z principu nemůžeme určit s větší přesností než 10−23 m s−1. Při reálném měření se stopkami a mikroskopem jsme schopni rychlost určit s přesností asi 10−6 m s−1, takže principiální omezení pro nás vlastně žádným omezením není.
Budeme-li se naopak ptát, s jakou přesností (nepřesností) naměříme polohu zrníčka prachu při této nepřesnosti měření rychlosti, vyjde nám z relace neurčitosti
\[\mathrm{\Delta} x \,m \mathrm{\Delta} v_x \approx \mathrm{\Delta} x \cdot 10^{-6} 10^{-6} \geq {\hbar \over 2} \approx 10^{-35}\]pro tento případ shodou okolností řádově také
\[\mathrm{\Delta} x \geq 10^{-23} \,\mathrm{m\,.}\]To je ve srovnání s velikostí zrníčka velmi malé číslo, reálná přesnost měření polohy bude výrazně nižší.
Zrnko prachu je pro nás tedy makroskopickým objektem; pro jeho popis vystačíme s přístupem klasické mechaniky.
Odpověď
Podle Heisenbergovy relace neurčitosti můžeme rychlost zrnka měřit s přesností 10−23 m s−1, ve skutečnosti jsme ale schopni rychlost měřit s přesností řádově 10−6 m s−1. Pro tuto hodnotu nám potom vychází, že polohu můžeme určit s přesností nejvýše 10−23 m s−1, což je opět hodnota, které v reálném měření těžko dosáhneme. Heisenbergova relace neurčitosti tedy pro zrnko prachu vlastně nepředstavuje žádné omezení, neboť nejsme schopni přesnosti, kde by se projevily, dosáhnout. S dostatečnou přesností tedy můžeme využít přístup klasické mechaniky.
