Sbírka řešených úloh

Objev atomového jádra

Úloha číslo: 627

• Nápověda

  Podle de Broglieho vztahu  platí mezi vlnovou délkou a hybností částice vztah:

  \[\lambda=\frac{h}{p} ,\]

  kde h = 6,63·10⁻³⁴ Js je Planckova konstanta.

• Zápis

  Ek = 7,5 MeV	kinetická energie α částice
  d = 30 fm = 3,0·10−14 m	nejkratší vzdálenost α částice od jádra
  λ = ?	vlnová délka

  Z tabulek:

  h = 6,63·10−34 Js	Planckova konstanta
  mu = 1,66·10−27 kg	atomová hmotnostní jednotka

• Řešení

  Hybnost p a vlnová délka λ částice α spolu souvisí podle de Broglieho vztahu:

  \[\lambda=\frac{h}{p}\,\mathrm{,}\]

  kde h = 6,63·10⁻³⁴ Js je Planckova konstanta.

  Hybnost α částice p určíme z její kinetické energie E_k

  \[E_k=\frac{p^2}{2m}\,\Rightarrow\,p=\sqrt{2mE_k}=\sqrt{8m_{\mathrm{u}}E_k}.\]

  Dosadíme do vztahu pro vlnovou délku

  \[\lambda=\frac{h}{\sqrt{8m_{\mathrm{u}}E_k}}=\frac{6{,}63{\cdot}10^{-34}}{\sqrt{8{\cdot}1{,}66{\cdot}10^{-27}\cdot7{,}5{\cdot}10^6{\cdot}1{,}60{\cdot}10^{-19}}}\,\mathrm{m}=5{,}25{\cdot}10^{-15}\,\mathrm{m}.\]

• Není třeba uvažovat relativistické efekty?

  Úloha byla spočtena nerelativisticky. Ověřme ještě, že se tím nedopouštíme příliš velké chyby.

  Prvním vodítkem může být skutečnost, že kinetická energie α částice E_k = 7,5 MeV je mnohem menší než klidová energie E₀:

  \[E_0=mc^2=4m_uc^2\,\dot{=}\,6{,}0{\cdot}10^{-10}\,\mathrm{J}\,\dot{=}\,3{,}7\,\mathrm{GeV} .\]

  Určeme ještě ze zadané kinetické energie E_k α částice její rychlost v:

  \[E_k = \frac{1}{2} m v^2 \ \Rightarrow\ v=\sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \sqrt{\frac{E_k}{2m_u}}\,\dot{=}\,1{,}9{\cdot}10^7 \mathrm{m s^{-1}}\,\dot{=}\,0{,}063c\, ,\]

  kde c = 3,0·10⁸ m/s je rychlost světla ve vakuu.

  Vidíme, že rychlost α čásice je dostatečně malá v porovnání s rychlostí světla a nedopustili jsme se větší nepřesnosti tím, že jsme úlohu počítali nerelativisticky.

   

  Poznámka: Zkuste spočítat velikost rychlosti α částice podle speciální teorie relativity a určit, o kolik se liší od nerelativistické hodnoty.

• Odpověď

  Vlnová délka použitých α částic je 5,25·10⁻¹⁵ m, tj. je desetkrát menší než uvedené vzdálenosti, vlnový charakter α částic by tedy uvažován být mohl.