Sbírka řešených úloh

Obecně natočený SG experiment

Úloha číslo: 4359

• Nápověda 1

  Připomeňte si nebo vyhledejte tvar matice \(\hat S_\theta\) průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do libovolného směru v rovině \(xz\). Směr je charakterizován úhlem \(\theta\), který udává odklon tohoto směru od osy \(z\) a nabývá hodnot od \(-π\) do \(π\).

• Řešení nápovědy 1

  K určení této matice nejprve určíme operátor průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do zadaného směru \(\vec n\), který v rovině \(xz\) vyjádříme pomocí úhlu \(\theta\). Jednotkový vektor ve směru \(\vec n\) má tvar

  \[ \vec n = \left ( \sin \theta, \, 0, \, \cos \theta \right ) \, . \]

  K určení průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do tohoto směru využijeme skalární součin

  \[ \hat S_\theta = \hat{\vec S} \cdot \vec n = \hat S_x \sin \theta + \hat S_z \cos \theta \, . \]

  Nyní dosadíme za operátory obou průmětů spinu a sečteme, čímž získáme výsledek

  \[ \hat S_\theta = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \sin \theta + \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & −1 \end{pmatrix} \cos \theta = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & − \cos \theta \end{pmatrix} \, . \]

• Nápověda 2

  Připomeňte si nebo vyhledejte, jak určujeme vlastní čísla a vlastní vektory matic.

• Řešení nápovědy 2

  Vlastní čísla \(\lambda\) matice \(A\) získáme řešením charakteristické rovnice

  \[ \det \left ( A - \lambda \mathbb{E} \right ) = 0 \, , \]

  kde \(\mathbb{E}\) je jednotková matice příslušného řádu.

  Vlastní vektor \(\vec u\) příslušný vlastnímu číslu \(\lambda\) matice \(A\) získáme řešením rovnice

  \[ \left ( A - \lambda \mathbb{E} \right ) \cdot \vec u = \vec o \, , \]

  kde \(\vec o\) je nulový vektor.

• Nápověda 3

  Připomeňte si nebo vyhledejte, jak je třeba rozložit popis stavu vstupujícího do měření a jak lze z tohoto rozkladu určit pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot.

• Řešení nápovědy 3

  Díky axiomu o měření víme, že stav, který vstupuje do měření, musíme rozložit na lineární kombinaci vlastních stavů měřené veličiny. Pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot jsou rovny druhé mocnině velikosti příslušného koeficientu v této lineární kombinaci.

• Řešení

  Do Sternova–Gerlachova zařízení vstupují elektrony, které mají průmět spinu do osy \(z\) roven \(+ \frac{\hbar}{2}\). Tomuto vlastnímu číslu přísluší vlastní vektor \(\left |z+ \right \rangle = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\).

  Svazek elektronů v tomto stavu dále projde magnetem natočeným ve směru \(\theta\). Axiom o měření říká, že nejprve musíme stav, který vstupuje do měření, vyjádřit jako lineární kombinaci vlastních stavů měřené veličiny.

• Řešení – vlastní čísla a vlastní vektory

  K tomu potřebujeme určit vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory matice \(\hat S_\theta\) průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do směru charakterizovaného úhlem \(\theta\). Tato matice má tvar (viz Nápověda 1)

  \[ \hat S_\theta = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & − \cos \theta \end{pmatrix} \, . \]

  Vlastní čísla \(\lambda\) určíme dosazením do charakteristické rovnice \(\det \left ( \hat S_\theta - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) = 0\) a následnou úpravou

  \[ \det \left ( \hat S_\theta - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) = \det \left ( \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & − \cos \theta \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right ) = \] \[ = \det \begin{pmatrix} \frac{\hbar}{2} \cos \theta - \lambda & \frac{\hbar}{2} \sin \theta \\ \frac{\hbar}{2} \sin \theta & − \frac{\hbar}{2} \cos \theta - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 - \frac{\hbar^2}{4} \cos^2 \theta - \frac{\hbar^2}{4} \sin^2 \theta = 0 \, . \]

  Nyní využijeme známý vztah \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) a vzorec pro rozdíl čtverců, čímž získáme výsledek

  \[ \lambda^2 - \frac{\hbar^2}{4} \cos^2 \theta - \frac{\hbar^2}{4} \sin^2 \theta = \lambda^2 - \frac{\hbar^2}{4} \left ( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right ) = \] \[ = \lambda^2 - \frac{\hbar^2}{4} = \left (\lambda - \frac{\hbar}{2} \right ) \left (\lambda + \frac{\hbar}{2} \right ) = 0 \, . \]

  Vlastní čísla jsou tedy \(\lambda_{1{,}2} = \pm \frac{\hbar}{2}\).

  Nyní se zaměříme na vlastní vektor pro kladný průmět spinu \(+ \frac{\hbar}{2}\). Vlastní vektor \(\vec u\) příslušný tomuto vlastnímu číslu \(\lambda\) určíme dosazením do rovnice \(\left ( \hat S_\theta - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) \cdot \vec u = \vec o\) a následnou úpravou

  \[ \left ( \hat S_\theta - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) \cdot \vec u = \left ( \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & − \cos \theta \end{pmatrix} - \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right ) \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \cos \theta - 1 & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, . \]

  Tuto rovnost vydělíme faktorem \(\frac{\hbar}{2}\) a rozepíšeme na rovnosti jednotlivých složek. Získáme tak soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých

  \[ \left ( \cos \theta - 1 \right ) u_1 + \sin \theta \, u_2 = 0 \, , \] \[ \sin \theta \, u_1 - \left ( \cos \theta + 1 \right ) u_2 = 0 \, . \]

  Tyto rovnice jsou lineárně závislé. Ze druhé rovnice tedy okamžitě vidíme, že jedním z řešení soustavy je \(u_1 = \cos \theta + 1, \, u_2 = \sin \theta\). Tímto jsme určili směr vlastního vektoru, který přísluší vlastnímu číslu \(+ \frac{\hbar}{2}\). Nyní jej ještě normujme

  \[ \frac{1}{\sqrt{|u_1|^2 + |u_2|^2}} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \theta + 2 \cos \theta + 1 + \sin^2 \theta}} \begin{pmatrix} \cos \theta + 1 \\ \sin \theta \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{1}{\sqrt{2 + 2 \cos \theta}} \begin{pmatrix} \cos \theta + 1 \\ \sin \theta \end{pmatrix} \, . \]

  S využitím vztahů pro dvojnásobný úhel goniometrických funkcí můžeme výrazy výše upravit na

  \[ \frac{1}{\sqrt{2 + 2 \cos \theta}} \begin{pmatrix} \cos \theta + 1 \\ \sin \theta \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{1}{\sqrt{2 \left (1 + \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2} \right )}} \begin{pmatrix} \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2} + \cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2} \\ 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{1}{\sqrt{4 \cos^2 \frac{\theta}{2}}} \begin{pmatrix} 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} \\ 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \, . \]

  Nyní odmocníme a vydělíme, čímž získáme jednotkový vlastní vektor ve tvaru

  \[ \frac{1}{\sqrt{4 \cos^2 \frac{\theta}{2}}} \begin{pmatrix} 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} \\ 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2 \cos \frac{\theta}{2}} \begin{pmatrix} 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} \\ 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} \\ \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \, . \]

  Vzhledem k tomu, že tento vlastní vektor přísluší vlastnímu číslu \(+ \frac{\hbar}{2}\), tj. kladnému průmětu spinu do směru charakterizovaného úhlem \(\theta\), budeme tento vektor nadále značit

  \[ |\theta + \rangle = \begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} \\ \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \, . \]

  Pro vlastní číslo \(- \frac{\hbar}{2}\) je postup analogický. Výpočet příslušného vlastního vektoru naleznete na konci této úlohy v sekci Komentář – výpočet druhého vlastního vektoru. Zde jej určíme díky tomu, že víme, že vlastní vektory musí být na sebe kolmé. Jednotkový vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu \(- \frac{\hbar}{2}\), tj. zápornému průmětu spinu do směru charakterizovaného úhlem \(\theta\), je tedy

  \[ |\theta - \rangle = \begin{pmatrix} - \sin \frac{\theta}{2} \\ \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \, . \]

• Řešení – rozklad popisu stavu vstupujícího do měření

  Nyní si vyjádříme stav \(| z+ \rangle\), který vstupuje do měření jako lineární kombinaci vlastních stavů měřené veličiny

  \[ |z+\rangle = c_1 |\theta+\rangle + c_2 |\theta-\rangle \, , \]

  kde \(c_1, c_2\) jsou hledané komplexní konstanty.

  Nyní dosadíme za příslušné vlastní vektory

  \[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} \\ \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} - \sin \frac{\theta}{2} \\ \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \, . \]

  Tuto rovnost si nyní rozepíšeme na rovnosti jednotlivých složek, čímž získáme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých

  \[ 1 = c_1 \cos \frac{\theta}{2} - c_2 \sin \frac{\theta}{2} \, , \] \[ 0 = c_1 \sin \frac{\theta}{2} + c_2 \cos \frac{\theta}{2} \, . \]

  Vidíme, že řešení soustavy je \(c_1 = \cos \frac{\theta}{2}, \, c_2 = - \sin \frac{\theta}{2} \, \).

  Nyní určíme pravděpodobnost naměření obou průmětů spinu do daného směru. Pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot jsou rovny druhé mocnině velikosti příslušného koeficientu, tj.

  \[ P_+ = |c_1|^2 = \cos^2 \frac{\theta}{2} \, , \] \[ P_- = |c_2|^2 = \sin^2 \frac{\theta}{2} \, . \]

• Odpověď

  Pravděpodobnosti naměření jednotlivých průmětů spinu \(\frac{1}{2}\) do směru, který je odchýlen o úhel \(\theta\) od osy \(z \,\, (\varphi = 0)\) ve stavu \(|z+\rangle\) jsou

  \[ P_+ = \cos^2 \frac{\theta}{2} \, , \] \[ P_- = \sin^2 \frac{\theta}{2} \, . \]

• Komentář – výpočet druhého vlastního vektoru

  V této sekci se zaměříme na vlastní vektor pro záporný průmět spinu \(- \frac{\hbar}{2}\). Vlastní vektor \(\vec v\) příslušný tomuto vlastnímu číslu \(\lambda\) určíme dosazením do rovnice \(\left ( \hat S_\theta - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) \cdot \vec v = \vec o\) a následnou úpravou

  \[ \left ( \hat S_\theta - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) \cdot \vec v = \left ( \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & − \cos \theta \end{pmatrix} + \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right ) \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \cos \theta + 1 & \sin \theta \\ \sin \theta & - \cos \theta + 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, . \]

  Tuto rovnost vydělíme faktorem \(\frac{\hbar}{2}\) a rozepíšeme na rovnosti jednotlivých složek. Získáme tak soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých

  \[ \left ( \cos \theta + 1 \right ) v_1 + \sin \theta \, v_2 = 0 \, , \] \[ \sin \theta \, v_1 + \left ( 1 - \cos \theta \right ) v_2 = 0 \, . \]

  Tyto rovnice jsou lineárně závislé. Ze druhé rovnice tedy okamžitě vidíme, že jedním z řešení soustavy je \(v_1 = \cos \theta - 1, v_2 = \sin \theta\). Tímto jsme určili směr vlastního vektoru, který přísluší vlastnímu číslu \(- \frac{\hbar}{2}\). Nyní jej ještě normujme

  \[ \frac{1}{\sqrt{|v_1|^2 + |v_2|^2}} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \theta - 2 \cos \theta + 1 + \sin^2 \theta}} \begin{pmatrix} \cos \theta - 1 \\ \sin \theta \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{1}{\sqrt{2 - 2 \cos \theta}} \begin{pmatrix} \cos \theta - 1 \\ \sin \theta \end{pmatrix} \, . \]

  S využitím vztahů pro dvojnásobný úhel goniometrických funkcí můžeme výrazy výše upravit na

  \[ \frac{1}{\sqrt{2 - 2 \cos \theta}} \begin{pmatrix} \cos \theta - 1 \\ \sin \theta \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{1}{\sqrt{2 \left (1 - \cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2} \right )}} \begin{pmatrix} \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2} - \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2} \\ 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{1}{\sqrt{4 \sin^2 \frac{\theta}{2}}} \begin{pmatrix} -2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \\ 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \, . \]

  Nyní odmocníme a vydělíme, čímž získáme jednotkový vlastní vektor ve tvaru

  \[ \frac{1}{\sqrt{4 \sin^2 \frac{\theta}{2}}} \begin{pmatrix} -2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \\ 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2}} \begin{pmatrix} -2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \\ 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \sin \frac{\theta}{2} \\ \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \, . \]

  Vzhledem k tomu, že tento vlastní vektor přísluší vlastnímu číslu \(- \frac{\hbar}{2}\), tj. zápornému průmětu spinu do směru charakterizovaného úhlem \(\theta\), budeme tento vektor nadále značit

  \[ |\theta - \rangle = \begin{pmatrix} - \sin \frac{\theta}{2} \\ \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \, . \]

• Komentář – výpočet koeficientů rozkladu pomocí skalárního součinu

  Hledané koeficienty \(c_1, \, c_2\) rozkladu

  \[ |z+\rangle = c_1 |\theta +\rangle + c_2 |\theta -\rangle \]

  můžeme určit pomocí skalárního součinu

  \[ c_1 = \langle \theta + | \, z+ \rangle = \begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} & \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \cos \frac{\theta}{2} \, , \] \[ c_2 = \langle \theta - | \, z+ \rangle = \begin{pmatrix} - \sin \frac{\theta}{2} & \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = - \sin \frac{\theta}{2} \, . \]

  Oba postupy, jak s využitím soustavy dvou rovnic o dvou neznámých, tak s využitím skalárního součinu, jsou korektní a dávají stejné výsledky.

• Odkazy

  V úloze Spinový stav daný úhlem θ je řešena obrácená úloha, tj. ve stavu \(|\theta +\rangle\) měříme průmět spinu do směru \(z\) (není tam ale uvedeno, že se jedná o vlastní stav \(\hat S_{\theta}\)). Porovnáním výsledků vidíme, že pravděpodobnosti naměření jsou stejné. Nezáleží totiž na tom, jak si směry pojmenujeme, ale pouze na relativním úhlu mezi směrem, pro který se jedná o vlastní stav s kladnou hodnotou průmětu spinu, a směrem natočení Sternova–Gerlachova zařízení.