Obecně natočený SG experiment

Úloha číslo: 4359

Spočtěte pravděpodobnost naměření obou průmětů spinu \(\frac{1}{2}\) do směru, který je odchýlen v rovině \(xz\) o úhel \(\theta\) od osy \(z \,\, (\varphi = 0)\) ve stavu \(|z+\rangle\), tj. ve stavu, který odpovídá vlastnímu stavu s vlastní hodnotou \(+ \frac{\hbar}{2}\) průmětu spinu do osy \(z\).

  • Nápověda 1

    Připomeňte si nebo vyhledejte tvar matice \(\hat S_\theta\) průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do libovolného směru v rovině \(xz\). Směr je charakterizován úhlem \(\theta\), který udává odklon tohoto směru od osy \(z\) a nabývá hodnot od \(-π\) do \(π\).

  • Nápověda 2

    Připomeňte si nebo vyhledejte, jak určujeme vlastní čísla a vlastní vektory matic.

  • Nápověda 3

    Připomeňte si nebo vyhledejte, jak je třeba rozložit popis stavu vstupujícího do měření a jak lze z tohoto rozkladu určit pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot.

  • Řešení

    Do Sternova–Gerlachova zařízení vstupují elektrony, které mají průmět spinu do osy \(z\) roven \(+ \frac{\hbar}{2}\). Tomuto vlastnímu číslu přísluší vlastní vektor \(\left |z+ \right \rangle = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\).

    Svazek elektronů v tomto stavu dále projde magnetem natočeným ve směru \(\theta\). Axiom o měření říká, že nejprve musíme stav, který vstupuje do měření, vyjádřit jako lineární kombinaci vlastních stavů měřené veličiny.

  • Odpověď

    Pravděpodobnosti naměření jednotlivých průmětů spinu \(\frac{1}{2}\) do směru, který je odchýlen o úhel \(\theta\) od osy \(z \,\, (\varphi = 0)\) ve stavu \(|z+\rangle\) jsou

    \[ P_+ = \cos^2 \frac{\theta}{2} \, , \] \[ P_- = \sin^2 \frac{\theta}{2} \, . \]
  • Komentář – výpočet druhého vlastního vektoru

    V této sekci se zaměříme na vlastní vektor pro záporný průmět spinu \(- \frac{\hbar}{2}\). Vlastní vektor \(\vec v\) příslušný tomuto vlastnímu číslu \(\lambda\) určíme dosazením do rovnice \(\left ( \hat S_\theta - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) \cdot \vec v = \vec o\) a následnou úpravou

    \[ \left ( \hat S_\theta - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) \cdot \vec v = \left ( \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & − \cos \theta \end{pmatrix} + \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right ) \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \cos \theta + 1 & \sin \theta \\ \sin \theta & - \cos \theta + 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, . \]

    Tuto rovnost vydělíme faktorem \(\frac{\hbar}{2}\) a rozepíšeme na rovnosti jednotlivých složek. Získáme tak soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých

    \[ \left ( \cos \theta + 1 \right ) v_1 + \sin \theta \, v_2 = 0 \, , \] \[ \sin \theta \, v_1 + \left ( 1 - \cos \theta \right ) v_2 = 0 \, . \]

    Tyto rovnice jsou lineárně závislé. Ze druhé rovnice tedy okamžitě vidíme, že jedním z řešení soustavy je \(v_1 = \cos \theta - 1, v_2 = \sin \theta\). Tímto jsme určili směr vlastního vektoru, který přísluší vlastnímu číslu \(- \frac{\hbar}{2}\). Nyní jej ještě normujme

    \[ \frac{1}{\sqrt{|v_1|^2 + |v_2|^2}} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \theta - 2 \cos \theta + 1 + \sin^2 \theta}} \begin{pmatrix} \cos \theta - 1 \\ \sin \theta \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{1}{\sqrt{2 - 2 \cos \theta}} \begin{pmatrix} \cos \theta - 1 \\ \sin \theta \end{pmatrix} \, . \]

    S využitím vztahů pro dvojnásobný úhel goniometrických funkcí můžeme výrazy výše upravit na

    \[ \frac{1}{\sqrt{2 - 2 \cos \theta}} \begin{pmatrix} \cos \theta - 1 \\ \sin \theta \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{1}{\sqrt{2 \left (1 - \cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2} \right )}} \begin{pmatrix} \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2} - \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2} \\ 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{1}{\sqrt{4 \sin^2 \frac{\theta}{2}}} \begin{pmatrix} -2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \\ 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \, . \]

    Nyní odmocníme a vydělíme, čímž získáme jednotkový vlastní vektor ve tvaru

    \[ \frac{1}{\sqrt{4 \sin^2 \frac{\theta}{2}}} \begin{pmatrix} -2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \\ 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2}} \begin{pmatrix} -2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \\ 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \sin \frac{\theta}{2} \\ \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \, . \]

    Vzhledem k tomu, že tento vlastní vektor přísluší vlastnímu číslu \(- \frac{\hbar}{2}\), tj. zápornému průmětu spinu do směru charakterizovaného úhlem \(\theta\), budeme tento vektor nadále značit

    \[ |\theta - \rangle = \begin{pmatrix} - \sin \frac{\theta}{2} \\ \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \, . \]
  • Komentář – výpočet koeficientů rozkladu pomocí skalárního součinu

    Hledané koeficienty \(c_1, \, c_2\) rozkladu

    \[ |z+\rangle = c_1 |\theta +\rangle + c_2 |\theta -\rangle \]

    můžeme určit pomocí skalárního součinu

    \[ c_1 = \langle \theta + | \, z+ \rangle = \begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} & \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \cos \frac{\theta}{2} \, , \] \[ c_2 = \langle \theta - | \, z+ \rangle = \begin{pmatrix} - \sin \frac{\theta}{2} & \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = - \sin \frac{\theta}{2} \, . \]

    Oba postupy, jak s využitím soustavy dvou rovnic o dvou neznámých, tak s využitím skalárního součinu, jsou korektní a dávají stejné výsledky.

  • Odkazy

    V úloze Spinový stav daný úhlem θ je řešena obrácená úloha, tj. ve stavu \(|\theta +\rangle\) měříme průmět spinu do směru \(z\) (není tam ale uvedeno, že se jedná o vlastní stav \(\hat S_{\theta}\)). Porovnáním výsledků vidíme, že pravděpodobnosti naměření jsou stejné. Nezáleží totiž na tom, jak si směry pojmenujeme, ale pouze na relativním úhlu mezi směrem, pro který se jedná o vlastní stav s kladnou hodnotou průmětu spinu, a směrem natočení Sternova–Gerlachova zařízení.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze