Střední hodnoty průmětů spinu v obecném stavu
Úloha číslo: 4330
Uvažujme částici se spinem \(\frac{1}{2}\) v obecném stavu popsaném normovaným spinorem \[\chi = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \, ,\] kde \(a, \, b\) jsou komplexní čísla.
a) Určete střední hodnoty průmětů spinu do os \(x, \, y, \, z\).
b) Spočítejte střední hodnoty kvadrátů těchto průmětů.
c) Ověřte, že operátor kvadrátu velikosti spinu \(\hat S^2\) má vlastní čísla ve stejném tvaru jako operátor kvadrátu velikosti momentu hybnosti \(\hat L^2\). Určete střední hodnotu \(\hat S^2\) ve stavu \(\chi\).
Nápověda 1
Připomeňte si, jak lze určit střední hodnotu veličiny \(F\) ve stavu popsaném normovaným spinorem \(\chi\).
Nápověda 2
Připomeňte si tvar matic pro průmět spinu \(\frac{1}{2}\) do všech tří os \(x, y, z\).
Nápověda 3
Připomeňte si tvar vlastních čísel kvadrátu velikosti momentu hybnosti \(\hat L^2\).
Řešení a)
Vyjdeme z obecného vztahu pro střední hodnotu, do kterého dosadíme, a následně upravíme
\[ \left \langle S_x \right \rangle_{\chi} = \chi^{\dagger} \hat S_x \chi = \begin{pmatrix} a^* & b^* \end{pmatrix} \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} b^* & a^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =\frac{\hbar}{2}({ab}^*+a^*b) \, . \]Analogicky postupujeme v případě \(\langle S_y \rangle_\chi\) a \(\langle S_z \rangle_\chi\)
\[ \left \langle S_y \right \rangle_{\chi} = \chi^{\dagger} \hat S_y \chi = \begin{pmatrix} a^* & b^* \end{pmatrix} \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} {ib}^* & {-ia}^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =\frac{i\hbar}{2}({ab}^*{-a}^*b) \, , \] \[ \left \langle S_z \right \rangle_{\chi} = \chi^{\dagger} \hat S_z \chi = \begin{pmatrix} a^* & b^* \end{pmatrix} \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} a^* & {-b}^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}= \frac{\hbar}{2}({aa}^*-{bb}^*) = \frac{\hbar}{2}(|a|^2 - |b|^2) \, . \]Pozn.: Ačkoliv se ve výrazech výše vyskytují komplexní čísla, jsou všechny tři střední hodnoty reálné. Nejsnáze je to můžeme ověřit u \(\hat S_z\), kde ihned vidíme, že můžeme naměřit pouze hodnotu \(\frac{\hbar}{2}\) s pravděpodobností \(|a|^2\) nebo hodnotu \(- \frac{\hbar}{2}\) s pravděpodobností \(|b|^2\).
Řešení b)
Nejprve vypočítáme operátory kvadrátu jednotlivých průmětů spinu
\[ \hat S_x^2 = \hat S_x \hat S_x = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \frac{\hbar^2}{4}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{\hbar^2}{4} \hat {\mathbb E} \, , \]kde symbolem \(\hat {\mathbb E}\) značíme jednotkovou matici \(2×2\), toto značení je použito i dále v úloze. Pro \(\hat S_y^2\) a \(\hat S_z^2\) je výpočet analogický
\[ \hat S_y^2 = \hat S_y \hat S_y = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \frac{\hbar^2}{4}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{\hbar^2}{4} \hat {\mathbb E} \, , \] \[ \hat S_z^2 = \hat S_z \hat S_z = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \frac{\hbar^2}{4}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{\hbar^2}{4} \hat {\mathbb E} \, . \]Všechny tři operátory nám vyšly stejné a úměrné jednotkové matici, proto je střední hodnota kvadrátu průmětu spinu do každé z os \(x, \, y\) i \(z\) rovna \(\frac{\hbar^2}{4}\). Detailní výpočet naleznete v oddílu Komentář.
Řešení c)
Nejprve nalezneme tvar operátoru \(\hat S^2\). K tomu využijeme vztah \(\hat S_x^2 + \hat S_y^2 + \hat S_z^2 = \hat S^2\), do kterého dosadíme výše určené hodnoty, čímž dostaneme
\[ \hat S^2 = \frac{\hbar^2}{4} \hat{\mathbb{E}} + \frac{\hbar^2}{4} \hat{\mathbb{E}} + \frac{\hbar^2}{4} \hat{\mathbb{E}} = \frac{3}{4} \hbar^2 \hat{\mathbb{E}} \, . \]Jednotková matice má vlastní číslo \(1\). Z toho plyne, že \(\hat S^2\) bude mít jediné vlastní číslo rovné \(\frac{3}{4} \hbar^2\).
Vlastní čísla operátoru kvadrátu momentu hybnosti mají tvar \(\hbar^2 l(l+1)\). Dosadíme za \(l\) hodnotu \(s = \frac{1}{2}\), čímž dostaneme
\[ \hbar^2 s(s+1) = \hbar^2 \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 1) = \hbar^2 \frac{1}{2} \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \hbar^2 \, . \]Tím jsme ověřili, že operátor kvadrátu velikosti spinu \(\hat S^2\) má vlastní čísla ve stejném tvaru jako operátor kvadrátu velikosti momentu hybnosti \(\hat L^2\).
Jelikož má \(\hat S^2\) jediné vlastní číslo rovné \(\frac{3}{4} \hbar^2\), je střední hodnota kvadrátu velikosti spinu vždy \(\left \langle S^2 \right \rangle = \frac{3}{4} \hbar^2\) bez ohledu na stav \(\chi\).
Odpověď
a) Určili jsme střední hodnoty průmětů spinu do os \(x, \, y, \, z\) ve stavu popsaném normovaným spinorem \(\chi\) \[\left \langle S_x \right \rangle_{\chi} = \frac{\hbar}{2}({ab}^*+a^*b) \, ,\] \[\left \langle S_y \right \rangle_{\chi} = \frac{i\hbar}{2}({ab}^*-a^*b) \, ,\] \[\left \langle S_z \right \rangle_{\chi} = \frac{\hbar}{2}(|a|^2 - |b|^2) \, .\]
b) Určili jsme střední hodnoty kvadrátů těchto průmětů ve stejném stavu \[\left \langle S_x^2 \right \rangle_{\chi} = \left \langle S_y^2 \rangle_{\chi} = \langle S_z^2 \right \rangle_{\chi} = \frac{\hbar^2}{4} \, .\]
c) Vlastní čísla operátoru kvadrátu velikosti spinu mají tvar \(\hbar ^2 s(s+1)\). Operátory \(\hat S^2\) a \(\hat L^2\) mají tedy vlastní čísla v témže tvaru. Střední hodnota kvadrátu velikosti spinu je vždy
\[ \left \langle S^2 \right \rangle = \frac{3}{4} \hbar^2 \]bez ohledu na stav \(\chi\).
Komentář – detailní výpočet ⟨ Sx2 ⟩χ
Opět zde využijeme obecného vztahu pro střední hodnotu, do kterého dosadíme matici operátoru a stavu a upravíme. Díky tomu, že pracujeme s jednotkovou maticí, se některé výpočty značně zjednoduší
\[ \left \langle S_x^2 \right \rangle_{\chi} = \chi^{\dagger} \hat S_x^2 \chi = \begin{pmatrix} a^* & b^* \end{pmatrix} \frac{\hbar^2}{4}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar^2}{4} \begin{pmatrix} a^* & b^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \frac{\hbar^2}{4}({aa}^*+{bb}^*) = \frac{\hbar^2}{4}(|a|^2 + |b|^2) \, . \]Uvědomíme-li si , že pracujeme s normovaným spinorem, tj. \(|a|^2 + |b|^2 = 1\), získáme hledaný výsledek \[ \left \langle S_x^2 \right \rangle_{\chi} = \frac{\hbar^2}{4} \, . \]
Operátory \(\hat S_y^2\) a \(\hat S_z^2\) jsou stejné jako \(\hat S_x^2\), proto \[ \left \langle S_x^2 \right \rangle_{\chi} = \left \langle S_y^2 \right \rangle_{\chi} = \left \langle S_z^2 \right \rangle_{\chi} = \frac{\hbar^2}{4} \, . \]
