Sbírka řešených úloh

Vlastnosti stavu s ostrými hodnotami L² a L_z

Úloha číslo: 4361

• Nápověda 1

  Připomeňte si nebo vyhledejte, jak určujeme průmět momentu hybnosti do směru $\vec n$. Využijte vyjádření vektoru $\vec n$ ve sférických souřadnicích.

• Řešení nápovědy 1

  Jednotkový vektor ve směru $\vec n$ má ve sférických souřadnicích tvar

  $$\vec n = \left (\sin \vartheta \cos \varphi, \, \sin \vartheta \sin \varphi, \, \cos \vartheta \right ) \, .$$

  K určení průmětu momentu hybnosti do tohoto směru využijeme skalární součin

  $$\hat L_{\vec n} = \hat L \cdot \vec n = \hat L_x \sin \vartheta \cos \varphi + \hat L_y \sin \vartheta \sin \varphi + \hat L_z \cos \vartheta \, .$$

• Nápověda 2

  Připomeňte si, jak lze určit střední hodnotu veličiny $F$ ve stavu popsaném normovanou vlnovou funkcí $\psi$. Dále si připomeňte nebo vyhledejte definici lineárního hermitovského operátoru.

• Řešení nápovědy 2

  Střední hodnotu veličiny $F$ ve stavu popsaném normovanou vlnovou funkcí $\psi$ lze určit dle vztahu $$\langle F \rangle_{\psi} = \left \langle \psi \, \Big | \, \hat F \psi \right \rangle = \psi^{\dagger} \hat F \psi \, ,$$ kde $\hat F$ je operátor příslušející veličině $F$ a křížek značí hermitovsky sdruženou matici, tj. matici transponovanou a komplexně sdruženou.

  Lineární operátor $\hat G$ je hermitovský, pokud pro libovolné dvě vlnové funkce $\varphi$ a $\psi$ z Hilbertova prostoru platí

  $$\left \langle \varphi \, \Big | \, \hat G \psi \right \rangle = \left \langle \hat G \varphi \, \Big | \, \psi \right \rangle \, .$$

• Nápověda 3

  Připomeňte si nebo vyhledejte, co pro danou částici znamená, že se nachází ve stavu $\psi = |lm\rangle$ s ostrými hodnotami $L^2$ a $L_z$.

• Řešení nápovědy 3

  Stav $\psi = |lm\rangle$ s ostrými hodnotami $L^2$ a $L_z$ znamená, že měření těchto veličin má nulovou odchylku a střední hodnoty těchto veličin jsou rovny příslušným vlastním číslům, tj. v tomto stavu platí

  $$\left \langle L^2 \right \rangle_\psi = \hbar^2 l \left (l+1 \right ) \, ,$$ $$\left \langle L_z \right \rangle_\psi = m\hbar \, .$$

  Při výpočtu středních hodnot ostatních složek momentu hybnosti či jejich kvadrátů bude tedy vhodné vyjádřit daný operátor pomocí operátorů $\hat L_z$ a $\hat L^2$, jejichž střední hodnoty známe. K tomu lze využít jak vztah mezi složkami a velikostí vektorového operátoru, tak relace neurčitosti mezi složkami operátoru momentu hybnosti.

• Řešení a)

  Operátor průmětu momentu hybnosti do směru $\vec n$ má tvar (viz Nápověda 1)

  $$\hat L_{\vec n} = \hat L_x \sin \vartheta \cos \varphi + \hat L_y \sin \vartheta \sin \varphi + \hat L_z \cos \vartheta \, .$$

  K určení jeho střední hodnoty potřebujeme určit střední hodnoty operátorů $\hat L_x, \, \hat L_y, \, \hat L_z$. Zaměřme se nyní na $x$-ovou a $y$-ovou složku. Z komutačních relací složek momentu hybnosti (viz Komutátory se složkou momentu hybnosti, Odpověď) víme, že

  $$\hat L_x = \frac{1}{i\hbar}\left( \hat L_y \hat L_z - \hat L_z \hat L_y \right) \, ,$$ $$\hat L_y = \frac{1}{i\hbar}\left( \hat L_z \hat L_x - \hat L_x \hat L_z \right) \, .$$

  Střední hodnotu $L_x$ ve stavu $\psi = |lm\rangle$ tedy určíme jako

  $$\left \langle L_x \right \rangle_\psi = \left \langle \frac{1}{i\hbar} \left( \hat L_y \hat L_z - \hat L_z \hat L_y \right) \right \rangle_\psi = \frac{1}{i\hbar} \left ( \left \langle \hat L_y \hat L_z \right \rangle_\psi - \left \langle \hat L_z \hat L_y \right \rangle_\psi \right ) \, .$$

  Při výpočtu středních hodnot v závorce výše vyjdeme z obecného vztahu pro střední hodnotu, do kterého dosadíme

  $$\left \langle \hat L_z \hat L_y \right \rangle_\psi = \left \langle \psi \, \Big | \, \hat L_z \hat L_y \psi \right \rangle \, .$$

  Nyní využijeme toho, že složky momentu hybnosti jsou lineární hermitovské operátory, díky čemuž můžeme provést úpravu (viz Nápověda 2)

  $$\left \langle \psi \, \Big | \, \hat L_z \hat L_y \psi \right \rangle = \left \langle \hat L_z \psi \, \Big | \, \hat L_y \psi \right \rangle \, .$$

  Jelikož má částice ve stavu $\psi = |lm\rangle$ ostré hodnoty $L_z$, můžeme dosadit $\hat L_z \psi = m\hbar \, \psi$, čímž dostaneme

  $$\left \langle \hat L_z \hat L_y \right \rangle_\psi = \left \langle m\hbar \, \psi \, \Big | \, \hat L_y \psi \right \rangle = m\hbar \left \langle \psi \, \Big | \, \hat L_y \psi \right \rangle = m\hbar \, \left \langle L_y \right \rangle_\psi \, .$$

  Analogicky dostaneme

  $$\left \langle \hat L_y \hat L_z \right \rangle_\psi = m\hbar \, \left \langle L_y \right \rangle_\psi \, .$$

  Dosazením těchto středních hodnot a úpravou získáme výsledek

  $$\left \langle L_x \right \rangle_\psi = \frac{1}{i\hbar} \left ( \left \langle \hat L_y \hat L_z \right \rangle_\psi - \left \langle \hat L_z \hat L_y \right \rangle_\psi \right ) = \frac{1}{i\hbar} \left ( m\hbar \, \left \langle L_y \right \rangle_\psi - m\hbar \, \left \langle L_y \right \rangle_\psi \right ) = 0 \, .$$

  Výpočet pro $\left \langle L_y \right \rangle_\psi$ je zcela anlogický, proto zde uvádíme pouze výsledek

  $$\left \langle L_y \right \rangle_\psi = 0 \, .$$

  Výraz pro střední hodnotu průmětu momentu hybnosti do směru $\vec n$ ve stavu $\psi = |lm\rangle$ se po dosazení výsledků určených výše zredukuje na tvar

  $$\langle L_{\vec n} \rangle_\psi = 0 \cdot \sin \vartheta \cos \varphi + 0 \cdot \sin \vartheta \sin \varphi + \langle L_z \rangle_\psi \cos \vartheta = \langle L_z \rangle_\psi \cos \vartheta \, .$$

  Nyní opět můžeme dosadit $\langle L_z\rangle_\psi = m\hbar$, čímž získáme výsledek

  $$\langle L_{\vec n} \rangle_\psi = m\hbar \cos \vartheta \, .$$

• Řešení b)

  Jelikož $\hat L^2 = \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2 \,$, platí $\left \langle L^2 \right \rangle = \left \langle L_x^2 \right \rangle + \left \langle L_y^2 \right \rangle + \left \langle L_z^2 \right \rangle$. Ze symetrie usuzujeme, že pro částici ve stavu $\psi = |lm\rangle$ platí $\left \langle L_x^2 \right \rangle_\psi = \left \langle L_y^2 \right \rangle_\psi$. Odtud můžeme říct, že

  $$\left \langle L_x^2 \right \rangle_\psi = \left \langle L_y^2 \right \rangle_\psi = \frac{1}{2} \left ( \left \langle L^2 \right \rangle_\psi - \left \langle L_z^2 \right \rangle_\psi \right ) \, .$$

  Jelikož má částice ve stavu $\psi = |lm\rangle$ ostré hodnoty $L_z$ a $L^2$, můžeme dosadit

  $$\langle L_z\rangle_\psi = m\hbar \, ,$$ $$\langle L^2\rangle_\psi = \hbar^2 \, l(l+1) \, ,$$

  čímž dostaneme

  $$\left \langle L_x^2 \right \rangle_\psi = \left \langle L_y^2 \right \rangle_\psi = \frac{1}{2} \left [ \hbar^2 \, l(l+1) - m^2\hbar^2 \right ] = \frac{\hbar^2}{2} \left [ l(l+1) - m^2 \right ] \, .$$

  Povšimněte si, že ve stavu $\psi = |lm\rangle$ platí $\left \langle L_x \right \rangle_\psi = \left \langle L_y \right \rangle_\psi = 0 \,$ a zároveň $\left \langle L_x^2 \right \rangle_\psi = \left \langle L_y^2 \right \rangle_\psi \neq 0 \,$. Nemůžeme tedy říct, že by moment hybnosti mířil podél osy $z$. Tomuto postřehu se detailněji věnujeme v sekci Komentář.

• Odpověď

  a) Ve stavu $\psi = |lm\rangle$ s ostrými hodnotami $L^2$ a $L_z$ je střední hodnota průmětu momentu hybnosti do směru $\vec n$

  $$\langle L_{\vec n} \rangle_\psi = m\hbar \cos \vartheta \, .$$

  b) Ve stavu $\psi = |lm\rangle$ s ostrými hodnotami $L^2$ a $L_z$ platí

  $$\left \langle L_x^2 \right \rangle_\psi = \left \langle L_y^2 \right \rangle_\psi = \frac{\hbar^2}{2} \left [ l(l+1) - m^2 \right ] \, .$$

• Komentář – klasický model

  Z výpočtů výše víme, že ve stavu $\psi = |lm\rangle$ platí $\left \langle L_x \right \rangle_\psi = \left \langle L_y \right \rangle_\psi = 0 \,$ a zároveň střední hodnoty $\left \langle L_x^2 \right \rangle_\psi = \left \langle L_y^2 \right \rangle_\psi$ jsou nenulové. Složky momentu hybnosti $L_x$ a $L_y$ se tedy „vystředují“ na nulu, ale nemůžeme říct, že by moment hybnosti mířil podél osy $z$. Jako klasický model kvantověmechanického stacionárního stavu $\psi = |lm\rangle$ se používá soubor momentů hybnosti, které jsou náhodně rozloženy na povrchu pláště kužele s vrcholovým úhlem $\vartheta_m$ (viz obrázek níže). K charakterizaci tohoto modelu potřebujeme určit onen vrcholový úhel.

  

  Nejprve ověříme, že v tomto modelu složky $L_x$ a $L_y$ mají nulovou střední hodnotu. Průměty do os $x$ a $y$ mají dle zvoleného značení tvar

  $$L_x = \tilde{L} \cos \varphi \, ,$$ $$L_y = \tilde{L} \sin \varphi \, ,$$

  kde $\varphi \in \langle 0, \, 2\pi \rangle$.

  Střední hodnotu určíme pro $L_x$

  $$\langle L_x\rangle = \int_0^{2\pi} \tilde{L} \cos \varphi \, \mathrm{d}\varphi \, .$$

  Zde integrujeme funkci kosinus přes její periodu. Hodnota určitého integrálu výše je tedy nulová, tj.

  $$\langle L_x\rangle = 0 \, .$$

  Analogicky bychom spočítali

  $$\langle L_y\rangle = 0 \, .$$

  Nyní určíme střední hodnoty $\left \langle L_x^2 \right \rangle$ a $\left \langle L_y^2 \right \rangle$. Výpočet provedeme pro $\left \langle L_x^2 \right \rangle$

  $$\left \langle L_x^2 \right \rangle = \int_0^{2\pi} \tilde{L}^2 \cos^2 \varphi \, \mathrm{d}\varphi = \tilde{L}^2 \int_0^{2\pi} \frac{1 + \cos 2\varphi}{2} \, \mathrm{d}\varphi = \tilde{L}^2 \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} + \frac{\cos 2\varphi}{2} \, \mathrm{d}\varphi \, .$$

  Tentokrát integrujeme funkci kosinus přes dvě periody. Tato část určitého integrálu je tedy opět nulová. Celkově pak dostaneme

  $$\left \langle L_x^2 \right \rangle = \pi \tilde{L}^2 \, .$$

  Analogicky bychom spočítali

  $$\left \langle L_y^2 \right \rangle = \pi \tilde{L}^2 \, .$$

  Tímto jsme ověřili, že model kužele splňuje $\left \langle L_x \right \rangle = \left \langle L_y \right \rangle = 0 \,$ a zároveň střední hodnoty $\left \langle L_x^2 \right \rangle = \left \langle L_y^2 \right \rangle$ jsou nenulové.

  K určení vrcholového úhlu kužele využijeme výsledky určené v oddílu Řešení b). Zaměříme-li se pouze na polovinu vrcholového úhlu $\vartheta_m$, můžeme využít funkci kosinus a tento úhel určit jako

  $$\cos \frac{\vartheta_m}{2} = \frac{\langle L_z \rangle}{\sqrt{\langle L^2 \rangle}} = \frac{\langle L_z \rangle} {\sqrt{\langle L_x \rangle^2 + \langle L_y \rangle^2 + \langle L_z \rangle^2}} =$$ $$= \frac{m\hbar}{\sqrt{m^2\hbar^2 + \hbar^2 \left [ l \left (l+1 \right ) - m^2 \right ]}} = \frac{m}{\sqrt{m^2 + l \left (l+1 \right ) - m^2 }} = \frac{m}{\sqrt{l \left (l+1 \right )}} \, .$$

  Celkově tedy můžeme říct, že klasickým modelem kvantověmechanického stacionárního stavu $|lm\rangle$ je soubor momentů hybnosti, které jsou náhodně rozloženy na povrchu pláště kužele s vrcholovým úhlem $\vartheta_m$, pro který platí

  $$\cos \frac{\vartheta_m}{2} = \frac{m}{\sqrt{l \left (l+1 \right )}} \, .$$