Pauliho hamiltonián
Úloha číslo: 4362
Pauliho hamiltonián pro částici s nábojem \(q\), hmotností \(m\) a spinem \(\frac{1}{2}\) v konzervativním poli s potenciální energií \(V(\vec r)\) a v elektromagnetickém poli s potenciály \(\vec A\) a \(\varphi\) má tvar
\[ \hat H^P = \left [ \frac{1}{2m} \left (\hat{\vec p} - q \, \vec A \right )^2 + q \, \varphi + V \right ] \, \mathbb{E} + \mu_B \, \hat{\vec \sigma} \cdot \vec B + \hat H_{SO} \, , \]kde \(\hat{\vec p}\) je operátor hybnosti, \(\mathbb{E}\) je jednotková matice \(2 \times 2\), \(\mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e}\) je Bohrův magneton, \(\hat{\vec \sigma}\) jsou Pauliho matice, \(\vec B\) je vektor magnetické indukce a \(\hat H_{SO} \sim \hat{\vec L} \cdot \hat{\vec S}\) je tzv. spin-orbitální interakce.
Rozepište Pauliho hamiltonián do matic.
Nápověda
Připomeňte si nebo vyhledejte matematickou strukturu jednotlivých veličin v Pauliho hamiltoniánu (co je skalár, co vektor, co matice).
Řešení
Při rozepisování do matic se podíváme na každý sčítanec v Pauliho hamiltoniánu zvlášť.
V prvním sčítanci (v hranaté závorce) jsou druhý a třetí člen skaláry. V prvním členu (v kulaté závorce) vidíme kombinaci vektoru a vektorového diferenciálního operátoru. Celá kulatá závorka je zde umocněna na druhou, což lze interpretovat jako skalární součin příslušného vektoru se sebou samým nebo jako druhou mocninu velikosti tohoto vektoru. Můžeme tedy říct, že po vynásobení tohoto sčítance jednotkovou maticí dostaneme diagonální matici \(2 \times 2\), jejíž prvky budou obsahovat diferenciální operátory. Blíže se tomuto sčítanci věnujeme na konci úlohy v sekci Komentář.
V prostředním sčítanci vidíme skalár \(\mu_B\) a skalární součin \(\hat{\vec \sigma} \cdot \vec B\). Zde násobíme třísložkový vektor, jehož složky jsou matice \(2 \times 2\) s třísložkovým vektorem magnetické indukce. Tento součin nyní vypočteme
\[ \hat{\vec \sigma} \cdot \vec B = \left ( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 0 & −i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & −1 \end{pmatrix} \right ) \cdot \left ( B_x, \, B_y, \, B_z \right ) = \] \[ = \begin{pmatrix} 0 & B_x \\ B_x & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & − i \, B_y \\ i \, B_y & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} B_z & 0 \\ 0 & − B_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B_z & B_x − i \, B_y \\ B_x + i \, B_y & - B_z \end{pmatrix} \, . \]Celý prostřední sčítanec je tedy
\[ \mu_B \, \begin{pmatrix} B_z & B_x − i \, B_y \\ B_x + i \, B_y & - B_z \end{pmatrix} \, . \]O posledním sčítanci víme, že je úměrný skalárnímu součinu \(\hat{\vec L} \cdot \hat{\vec S}\). Zde násobíme třísložkový vektor, jehož složky jsou diferenciální operátory s třísložkovým vektorem, jehož složky jsou matice \(2 \times 2\). Tento součin nyní vypočteme analogicky jako u předchozího sčítance
\[ \hat{\vec L} \cdot \hat{\vec S} = \left ( \hat L_x, \, \hat L_y, \, \hat L_z \right ) \cdot \frac{\hbar}{2} \, \left ( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 0 & −i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & −1 \end{pmatrix} \right ) = \] \[ = \frac{\hbar}{2} \left [ \begin{pmatrix} 0 & \hat L_x \\ \hat L_x & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & − i \, \hat L_y \\ i \, \hat L_y & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \hat L_z & 0 \\ 0 & − \hat L_z \end{pmatrix} \right ] = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \hat L_z & \hat L_x − i \, \hat L_y \\ \hat L_x + i \, \hat L_y & - \hat L_z \end{pmatrix} \, . \]Ve výsledku tedy dostaneme matici \(2 \times 2\), jejíž prvky jsou diferenciální operátory. Pro přehlednost zápisu ponecháme i nadále značení \(\hat H_{SO}\), ačkoliv už víme, že se jedná o matici \(2 \times 2\).
Celkově tedy můžeme Pauliho hamiltonián vyjádřit pomocí matic jako
\[ \hat H^P = \left [ \frac{1}{2m} \left (\hat{\vec p} - q \, \vec A \right )^2 + q \, \varphi + V \right ] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \mu_B \, \begin{pmatrix} B_z & B_x − i \, B_y \\ B_x + i \, B_y & - B_z \end{pmatrix} + \hat H_{SO} \, . \]Odpověď
Pauliho hamiltonián rozepsaný do matic má tvar
\[ \hat H^P = \left [ \frac{1}{2m} \left (\hat{\vec p} - q \, \vec A \right )^2 + q \, \varphi + V \right ] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \mu_B \, \begin{pmatrix} B_z & B_x − i \, B_y \\ B_x + i \, B_y & - B_z \end{pmatrix} + \hat H_{SO} \, . \]Komentář – detailnější rozbor prvního sčítance
V prvním sčítanci ihned vidíme, že část \(\left ( q \, \varphi + V \right ) \mathbb{E}\) je matice \(2 \times 2\), jelikož jde o pouhé násobení jednotkové matice tohoto řádu skalárem.
V části \(\left [ \frac{1}{2m} \left (\hat{\vec p} - q \, \vec A \right )^2 \right ] \mathbb{E}\) nejprve roznásobíme závorku, přičemž s násobením postupujeme opatrně z důvodu výskytu operátoru
\[ \left [ \frac{1}{2m} \left (\hat{\vec p} - q \, \vec A \right )^2 \right ] \mathbb{E} = \frac{1}{2m} \left [ \hat{\vec p}^2 - q \, \hat{\vec p} \cdot \vec A - q \, \vec A \cdot \hat{\vec p} + q^2 \vec A^2 \right ] \mathbb{E} = \] \[ = \frac{\hat{\vec p}^2}{2m} \mathbb{E} - \frac{q}{2m} \left (\hat{\vec p} \cdot \vec A + \vec A \cdot \hat{\vec p} \right ) \mathbb{E} + \frac{q^2 \vec A^2}{2m} \mathbb{E} \, . \]Zde máme v prvním členu skalární operátor \(\hat{\vec p}^2\) dělený skalárem \(\frac{1}{2m}\), jedná se tedy o kinetickou energii částice. Po vynásobení jednotkovou maticí tedy získáme diagonální matici, jejíž prvky jsou diferenciální operátory.
Prostřední člen bez znalosti vektorového potenciálu \(\vec A\) nemůžeme dále upravit. Uvažovali jsme obecné elektromagnetické pole a mohlo by se stát, že operátor složky hybnosti nebude komutovat s příslušnou složkou vektorového potenciálu \(\vec A = \vec A \left( \vec r \right)\) a v důsledku toho nebude první sčítanec v tomto členu totožný se druhým. Můžeme však říct, že po vynásobení tohoto členu jednotkovou maticí dostaneme opět diagonální matici \(2 \times 2\).
V posledním členu máme \(\vec A^2\), což je skalár, přenásobený skalárem \(\frac{q^2}{2m}\). Po vynásobení jednotkovou maticí tedy dostaneme diagonální matici, jejíž prvky jsou právě \(\frac{q^2 \vec A^2}{2m}\).
S takto rozepsaným prvním sčítancem má Pauliho hamiltonián tvar
\[ \hat H^P = \begin{pmatrix} \frac{\hat{\vec p}^2}{2m} & 0 \\ 0 & \frac{\hat{\vec p}^2}{2m} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{q}{2m} \left (\hat{\vec p} \cdot \vec A + \vec A \cdot \hat{\vec p} \right ) & 0 \\ 0 & \frac{q}{2m} \left (\hat{\vec p} \cdot \vec A + \vec A \cdot \hat{\vec p} \right ) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{q^2 \vec A^2}{2m} & 0 \\ 0 & \frac{q^2 \vec A^2}{2m} \end{pmatrix} + \] \[ + \begin{pmatrix} q \, \varphi + V & 0 \\ 0 & q \, \varphi + V \end{pmatrix} + \mu_B \, \begin{pmatrix} B_z & B_x − i \, B_y \\ B_x + i \, B_y & - B_z \end{pmatrix} + \hat H_{SO} \, . \]
