Potenciálová bariéra
Úloha číslo: 609
Uvažujte tunelování elektronu o celkové energii E = 5,1 eV pravoúhlou potenciálovou bariérou o výšce V0 = 6,8 eV a šířce a = 750 pm.
a) Jak přibližně je velký koeficient průchodu T pro tyto elektrony?
b) O kolik procent se změní koeficient průchodu, změní-li se o 1,0 % výška bariéry?
c) O kolik procent se změní koeficient průchodu, změní-li se o 1,0 % šířka bariéry?
d) O kolik procent se změní koeficient průchodu, změní-li se o 1,0 % kinetická energie dopadajícího elektronu?
Při výpočtu můžete užít kalkulačku pro výpočet hyperbolického sinu.
Ilustrativní aplet
Jak závisí pravděpodobnost průchodu částice potenciálovým valem na jeho výšce, šířce a energii nalétávající částice? Z kvalitativního hlediska je odpověď intuitivní. Prozkoumejme ale tuto problematiku v nějakém konkrétním případě trochu více kvantitativně.
Pohrajte si s apletem Quantum Tunneling dostupným na adrese http://phys.educ.ksu.edu/vqm/html/qtunneling.html. Z nabízených částic si vyberte elektron a výšku pravoúhlé potenciálové bariéry nastavte větší, než je energie nalétávajícího elektronu. Zvolte zobrazení hustoty pravděpodobnosti a sledujte, jak se mění pravděpodobnost průchodu částice skrze překážku při různých vzájemných poměrech energie elektronu, výšky a šířky potenciálové bariéry.
Vzhledem k omezené detailnosti zobrazeného průběhu je zásadnější změna křivky vidět až při velkých změnách v nastavení volitelných parametrů. Ve skutečnosti je ale závislost pravděpodobnosti pro tunelování velmi citlivá na změnu kteréhokoli z parametrů, jak si můžete sami propočítat v následující úloze.
Nápověda – koeficient průchodu
Koeficient průchodu je pro pravoúhlou bariéru roven
\[ T = \frac{1}{1\,+\,\frac{V_0^2 \,\sinh^2 (\kappa a)}{4E(V_0-E) }}=\frac{1}{1\,+\,\frac{\sinh^2 (\kappa a)}{4}\cdot \frac{1}{{\frac{E}{V_0} \left( 1-\frac{E}{V_0} \right)}}}, \]kde
\[ \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}. \]Podrobné odvození najdete v každé učebnici kvantové mechaniky, např. v knize SKÁLA, L. Úvod do kvantové mechaniky. Praha: Academia, 2005. ISBN 80-200-1316-4.
Podrobné řešení
Řešení – shrnutí
parametry koeficient průchodu změna vůči T V0, E, a T 1,01V0, E, a 83,5 % T -17,5 % T 0,99V0, E, a 120,0 % T +20,0 % T V0, E, 1,01a 90,5 % T -9,5 % T V0, E, 0,99a 110,5 % T +10,5 % T V0, 1,01E, a 114,0 % T +14,0 % T V0, 0,99E, a 88,0 % T -12,0 % T
Pravděpodobnost průchodu elektronu pravoúhlou potenciálovou bariérou roste s klesající výškou bariéry, s klesající šířkou bariéry a s rostoucí kinetickou energií nalétávajícího elektronu. Největší vliv se zdá mít výška bariéry – změna výšky o jediné procento změní pravděpodobnost protunelování o celých cca 20%!
