Jacobiho identita
Úloha číslo: 719
Dokažte tzv. Jacobiho identitu
\[\left[\hat A, \left[\hat B,\hat C \right] \right] + \left[\hat B, \left[\hat C,\hat A \right] \right] + \left[\hat C, \left[\hat A,\hat B \right] \right]=0\,.\]Nápověda
Jacobiho identitu lze dokázat přímým výpočtem s použitím základním pravidel pro počítání s operátory.
Řešení
Podle základních pravidel pro počítání s komutátory (viz nápověda) postupně odvozujeme:
\[\left[\hat A, \left[\hat B,\hat C \right] \right] + \left[\hat B, \left[\hat C,\hat A \right] \right] + \left[\hat C, \left[\hat A,\hat B \right] \right]=\]rozepíšeme „vnitřní“ komutátory podle definice
\[=\left[\hat A,\hat B \hat C - \hat C \hat B \right]+\left[\hat B,\hat C \hat A - \hat A \hat C \right]+\left[\hat C,\hat A \hat B - \hat B \hat A \right]=\]využijeme linearitu komutátoru
\[=\left[ \hat A, \hat B \hat C \right]-\left[ \hat A, \hat C \hat B \right]+\left[ \hat B, \hat C \hat A \right]-\left[ \hat B, \hat A \hat C \right]+\left[ \hat C, \hat A \hat B \right]-\left[ \hat C, \hat B \hat A \right]=\]rozepíšeme komutátory se složeným operátorem na základní komutátory
\[=\hat B \left[ \hat A, \hat C \right]+\left[ \hat A, \hat B \right] \hat C-\hat C \left[ \hat A, \hat B \right]-\left[ \hat A, \hat C \right] \hat B + \hat C \left[ \hat B, \hat A \right]+\left[ \hat B, \hat C \right] \hat A -\] \[-\hat A \left[ \hat B, \hat C \right]-\left[ \hat B, \hat A \right] \hat C+\hat A \left[ \hat C, \hat B \right]+\left[ \hat C, \hat A \right] \hat B - \hat B \left[ \hat C, \hat A \right]-\left[ \hat C, \hat B \right] \hat A =\]posčítáme stejné členy
\[=2 \hat B \left[ \hat A, \hat C \right]- 2 \left[ \hat A, \hat C \right] \hat B + 2 \left[ \hat A, \hat B \right] \hat C-2 \hat C \left[ \hat A, \hat B \right] + 2 \left[ \hat B, \hat C \right] \hat A - 2 \hat A \left[ \hat B, \hat C \right] =\]znovu použijeme definici komutátoru
\[=2 ( \hat B \hat A \hat C - \hat B \hat C \hat A - \hat A \hat C \hat B + \hat C \hat A \hat B + \hat A \hat B \hat C - \hat B \hat A \hat C - \hat C \hat A \hat B + \hat C \hat B \hat A + \hat B \hat C \hat A - \hat C \hat B \hat A - \hat A \hat B \hat C + \hat A \hat C \hat B ).\]Nakonec vidíme, že se nám všechny členy odečetly (pro pořádek připomeňme, že skládání operátorů není komutativní, takže je třeba odečítat členy, kde mají operátory stejné pořadí)
\[\left[\hat A, \left[\hat B,\hat C \right] \right] + \left[\hat B, \left[\hat C,\hat A \right] \right] + \left[\hat C, \left[\hat A,\hat B \right] \right]=0\,.\]Přímým výpočtem jsme dokázali platnost Jacobiho identity.
