Spinový stav – komplexní vektor

Úloha číslo: 4329

Uvažujme elektron ve stavu popsaném spinorem

\[ \chi=A\begin{pmatrix} 3i\\ 4 \end{pmatrix} \, . \]

a) Určete normovací konstantu \(A\).

b) Určete střední hodnoty průmětů spinu do os \(x\), \(y\) a \(z\).

c) Vypočítejte neurčitosti \(\delta {S_x}\), \(\delta {S_y}\), \(\delta {S_z}\).

d) Ověřte, že hodnoty určené v části c) splňují relace neurčitosti.

  • Nápověda – potřebné vztahy

    Připomeňte si následující vztahy:

    • normování vlnové funkce

    • tvar matic operátorů pro průmět spinu do jednotlivých os

    • výpočet střední hodnoty veličiny v daném stavu

    • neurčitost veličiny v daném stavu

    • tvar relací neurčitosti pro průměty spinu do jednotlivých os

  • Řešení a)

    Vyjdeme z normovací podmínky, do které dosadíme, a následně upravíme

    \[ 1 = \chi^{\dagger}\chi = |A|^2 \begin{pmatrix}-3i & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3i\\4\end{pmatrix} = |A|^2 (9+16) = 25 |A|^2 \, . \]

    Odtud si vyjádříme velikost normovací konstanty

    \[ 1=25|A|^2 \, , \] \[ |A|^2 = \frac{1}{25} \, , \] \[ |A| = \frac{1}{5} \, . \]

    Tímto jsme určili velikost normovací konstanty \(A\). V tomto případě tedy může být normovací konstanta libovolné číslo ve tvaru \(\frac{1}{5}e^{i\alpha}\), kde \(e^{i\alpha}\) je komplexní jednička. Pro jednoduchost zvolíme \(A = \frac{1}{5}\).

  • Řešení b)

    Vyjdeme z obecného vztahu pro střední hodnotu, do kterého dosadíme, a následně upravíme

    \[ \langle S_x \rangle_{\chi} = \chi^{\dagger} \hat S_x \chi = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -3i & 4 \end{pmatrix} \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3i \\ 4 \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{50} \begin{pmatrix} 4 & -3i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3i \\ 4 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{50} (12i - 12i) = 0 \, . \]

    Analogicky postupujeme v případě \(S_y\) a \(S_z\)

    \[ \langle S_y \rangle_{\chi} = \chi^{\dagger} \hat S_y \chi = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -3i & 4 \end{pmatrix} \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3i \\ 4 \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{50} \begin{pmatrix} 4i & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3i \\ 4 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{50} (-12 - 12) = -\frac{12}{25} \hbar \, , \] \[ \langle S_z \rangle_{\chi} = \chi^{\dagger} \hat S_z \chi = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -3i & 4 \end{pmatrix} \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3i \\ 4 \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{50} \begin{pmatrix} -3i & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3i \\ 4 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{50} (9 - 16) = -\frac{7}{50} \hbar \, . \]
  • Řešení c)

    K výpočtu neurčitosti potřebujeme kromě střední hodnoty (viz minulý oddíl) určit ještě střední hodnotu kvadrátu jednotlivých průmětů spinu. Uvědomíme-li si, že druhá mocnina průmětu spinu do každé z os \(x, \, y\) i \(z\) je \(\frac{\hbar^2}{4} \hat {\mathbb E}\), kde \( \hat {\mathbb E}\) je jednotková matice \(2×2\), je zřejmé, že střední hodnota kvadrátu průmětu spinu do každé z os \(x, \, y\) i \(z\) je právě \(\frac{\hbar^2}{4} \) v libovolném stavu. Detailní výpočet tohoto faktu naleznete v úloze Střední hodnoty průmětů spinu v obecném stavu, Řešení a).

    Nyní už stačí jen dosadit do vztahu pro druhou mocninu neurčitosti a upravit

    \[ \left ( \delta S_x \right )^2 = \left \langle S_x^2 \right \rangle_{\chi} - \left \langle S_x \right \rangle_{\chi} ^2 = \frac{\hbar^2}{4} - 0 = \frac{\hbar^2}{4} \, . \]

    K vypočtení neurčitosti nyní pouze odmocníme výsledek

    \[ \delta S_x = \frac{\hbar}{2} \, . \]

    V případě \(S_y\) a \(S_z\) postupujeme zcela analogicky

    \[ \left ( \delta S_y \right )^2 = \left \langle S_y^2 \right \rangle_{\chi} - \left \langle S_y \right \rangle_{\chi} ^2 = \frac{\hbar^2}{4} - (-\frac{12}{25} \hbar)^2 = \frac{49}{2500} \hbar^2 \, , \] \[ \delta S_y = \frac{7}{50} \hbar \, , \] \[ \left ( \delta S_z \right )^2 = \left \langle S_z^2 \right \rangle_{\chi} - \left \langle S_z \right \rangle_{\chi} ^2 = \frac{\hbar^2}{4} - (-\frac{7}{50} \hbar)^2 = \frac{144}{625} \hbar^2 \, , \] \[ \delta S_z = \frac{12}{25} \hbar \, . \]
  • Řešení d)

    Vzhledem ke tvaru relací neurčitosti budeme ověřovat jejich platnost jen pro tři různé dvojice průmětu spinu. Vyjdeme z obecného vztahu, do kterého dosadíme, upravíme a rozhodneme, zda daná nerovnost platí:

    Pro dvojici \(S_x\) a \(S_y\) máme na levé straně \[ \delta S_x \, \delta S_y = \frac{\hbar}{2} \frac{7 \hbar}{50} = \frac{7}{100} \hbar^2 \]

    a na pravé straně

    \[ \frac{\hbar}{2} \, \left | \left \langle S_z \right \rangle_{\chi} \right | = \frac{\hbar}{2} \, \left |-\frac{7}{50} \hbar \right | = \frac{7}{100} \hbar^2 \, . \]

    Zřejmě tedy platí \(\delta S_x \, \delta S_y \geq \frac{\hbar}{2} \left | \left \langle S_z \right \rangle_{\chi} \right |\).

    Zcela analogicky postupujeme pro dvojici \(S_x\), \(S_z\)

    \[ \delta S_x \, \delta S_z = \frac{\hbar}{2} \frac{12 \hbar}{25} = \frac{6}{25} \hbar^2 \, , \] \[ \frac{\hbar}{2} \, \left | \left \langle S_y \right \rangle_{\chi} \right | = \frac{\hbar}{2} \, \left |-\frac{12}{25} \hbar \right | = \frac{6}{25} \hbar^2 \, . \]

    Zřejmě tedy platí \(\delta S_x \, \delta S_z \geq \frac{\hbar}{2} \left | \left \langle S_y \right \rangle_{\chi} \right |\).

    A pro dvojici \(S_y\) a \(S_z\) dostaneme

    \[ \delta S_y \, \delta S_z = \frac{7 \hbar}{50} \frac{12 \hbar}{25} = \frac{42}{625} \hbar^2 \, , \] \[ \frac{\hbar}{2} \, \left | \left \langle S_x \right \rangle_{\chi} \right | = \frac{\hbar}{2} \cdot 0 = 0 \, . \]

    Zřejmě tedy platí \(\delta S_y \, \delta S_z \geq \frac{\hbar}{2} \left | \left \langle S_x \right \rangle_{\chi} \right |\).

    Pozn.: Tento případ je obzvlástě zajímavý, protože ukazuje, že i pro nekomutující operátory může střední hodnota jejich komutátoru v nějakém konkrétním stavu vyjít nulová.

  • Odpověď

    a) Normovací konstanta \(A\) má velikost \(\frac{1}{5}\).

    b) Střední hodnoty průmětů spinu do os \(x, \, y\) a \(z\) v daném stavu jsou \[ \left \langle S_x \right \rangle_{\chi} = 0 \, , \] \[ \left \langle S_y \right \rangle_{\chi} = - \frac{12}{25} \hbar \, , \] \[ \left \langle S_z \right \rangle_{\chi} = - \frac{7}{50} \hbar \, . \]

    c) Neurčitosti průmětu spinu do os \(x, \, y\) a \(z\) v daném stavu jsou: \[ \delta S_x = \frac{\hbar}{2} \, , \] \[ \delta S_y = \frac{7}{50} \hbar \, , \] \[ \delta S_z = \frac{12}{25} \hbar \, . \]

    d) Ověřili jsme platnost relací neurčitosti v daném stavu pro všechny dvojice průmětů spinů do jednotlivých os.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: GRIFFITHS, David J. Introduction to Quantum Mechanics. 2nd ed. Upper Saddle
River: Pearson Prentice Hall, 2005
×Původní zdroj: GRIFFITHS, David J. Introduction to Quantum Mechanics. 2nd ed. Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall, 2005
Zaslat komentář k úloze