Sbírka řešených úloh

Spinový stav – komplexní vektor

Úloha číslo: 4329

• Nápověda – potřebné vztahy

  Připomeňte si následující vztahy:

  • normování vlnové funkce

  • tvar matic operátorů pro průmět spinu do jednotlivých os

  • výpočet střední hodnoty veličiny v daném stavu

  • neurčitost veličiny v daném stavu

  • tvar relací neurčitosti pro průměty spinu do jednotlivých os

• Řešení nápovědy – potřebné vztahy

  Pro normované spinory musí platit tzv. normovací podmínka \[\chi^{\dagger} \chi = 1 \, ,\] kde křížek značí hermitovsky sdruženou matici, tj. matici transponovanou a komplexně sdruženou.

  Odtud lze po dosazení a úpravě určit normovací konstantu.

  Matice pro průmět spinu \(\frac{1}{2}\) do jednotlivých os mají tvar \[(\hat S_x, \, \hat S_y, \, \hat S_z) = \frac{\hbar}{2} \left(\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1& 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 &−i \\ i& 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& −1 \end{pmatrix}\right) \, .\]

  Střední hodnotu veličiny \(F\) ve stavu popsaném normovaným spinorem \(\chi\) lze určit dle vztahu \[\left \langle F \right \rangle_{\chi} = \left \langle \chi \, \Big | \, \hat F \chi \right \rangle = \chi^{\dagger} \hat F \chi \, ,\] kde \(\hat F\) je matice operátoru, který přísluší veličině \(F\).

  Neurčitost \(\delta F\) veličiny \(F\) ve stavu popsaném spinorem \(\chi\) lze určit ze vztahu \[(\delta F)^2 = \left \langle F^2 \right \rangle_{\chi} - \left \langle F \right \rangle_{\chi} ^2 \, .\]

  Relace neurčitosti pro průměty spinu do jednotlivých os ve stavu popsaném spinorem \(\chi\) mají tvar \[\delta S_i \, \delta S_j \geq \frac{\hbar}{2} \left | \left \langle S_k \right \rangle_{\chi} \right | \, , \qquad i, j, k = 1, 2, 3 \, .\]

• Řešení a)

  Vyjdeme z normovací podmínky, do které dosadíme, a následně upravíme

  \[ 1 = \chi^{\dagger}\chi = |A|^2 \begin{pmatrix}-3i & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3i\\4\end{pmatrix} = |A|^2 (9+16) = 25 |A|^2 \, . \]

  Odtud si vyjádříme velikost normovací konstanty

  \[ 1=25|A|^2 \, , \] \[ |A|^2 = \frac{1}{25} \, , \] \[ |A| = \frac{1}{5} \, . \]

  Tímto jsme určili velikost normovací konstanty \(A\). V tomto případě tedy může být normovací konstanta libovolné číslo ve tvaru \(\frac{1}{5}e^{i\alpha}\), kde \(e^{i\alpha}\) je komplexní jednička. Pro jednoduchost zvolíme \(A = \frac{1}{5}\).

• Řešení b)

  Vyjdeme z obecného vztahu pro střední hodnotu, do kterého dosadíme, a následně upravíme

  \[ \langle S_x \rangle_{\chi} = \chi^{\dagger} \hat S_x \chi = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -3i & 4 \end{pmatrix} \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3i \\ 4 \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{50} \begin{pmatrix} 4 & -3i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3i \\ 4 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{50} (12i - 12i) = 0 \, . \]

  Analogicky postupujeme v případě \(S_y\) a \(S_z\)

  \[ \langle S_y \rangle_{\chi} = \chi^{\dagger} \hat S_y \chi = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -3i & 4 \end{pmatrix} \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3i \\ 4 \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{50} \begin{pmatrix} 4i & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3i \\ 4 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{50} (-12 - 12) = -\frac{12}{25} \hbar \, , \] \[ \langle S_z \rangle_{\chi} = \chi^{\dagger} \hat S_z \chi = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -3i & 4 \end{pmatrix} \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3i \\ 4 \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{50} \begin{pmatrix} -3i & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3i \\ 4 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{50} (9 - 16) = -\frac{7}{50} \hbar \, . \]

• Řešení c)

  K výpočtu neurčitosti potřebujeme kromě střední hodnoty (viz minulý oddíl) určit ještě střední hodnotu kvadrátu jednotlivých průmětů spinu. Uvědomíme-li si, že druhá mocnina průmětu spinu do každé z os \(x, \, y\) i \(z\) je \(\frac{\hbar^2}{4} \hat {\mathbb E}\), kde \( \hat {\mathbb E}\) je jednotková matice \(2×2\), je zřejmé, že střední hodnota kvadrátu průmětu spinu do každé z os \(x, \, y\) i \(z\) je právě \(\frac{\hbar^2}{4} \) v libovolném stavu. Detailní výpočet tohoto faktu naleznete v úloze Střední hodnoty průmětů spinu v obecném stavu, Řešení a).

  Nyní už stačí jen dosadit do vztahu pro druhou mocninu neurčitosti a upravit

  \[ \left ( \delta S_x \right )^2 = \left \langle S_x^2 \right \rangle_{\chi} - \left \langle S_x \right \rangle_{\chi} ^2 = \frac{\hbar^2}{4} - 0 = \frac{\hbar^2}{4} \, . \]

  K vypočtení neurčitosti nyní pouze odmocníme výsledek

  \[ \delta S_x = \frac{\hbar}{2} \, . \]

  V případě \(S_y\) a \(S_z\) postupujeme zcela analogicky

  \[ \left ( \delta S_y \right )^2 = \left \langle S_y^2 \right \rangle_{\chi} - \left \langle S_y \right \rangle_{\chi} ^2 = \frac{\hbar^2}{4} - (-\frac{12}{25} \hbar)^2 = \frac{49}{2500} \hbar^2 \, , \] \[ \delta S_y = \frac{7}{50} \hbar \, , \] \[ \left ( \delta S_z \right )^2 = \left \langle S_z^2 \right \rangle_{\chi} - \left \langle S_z \right \rangle_{\chi} ^2 = \frac{\hbar^2}{4} - (-\frac{7}{50} \hbar)^2 = \frac{144}{625} \hbar^2 \, , \] \[ \delta S_z = \frac{12}{25} \hbar \, . \]

• Řešení d)

  Vzhledem ke tvaru relací neurčitosti budeme ověřovat jejich platnost jen pro tři různé dvojice průmětu spinu. Vyjdeme z obecného vztahu, do kterého dosadíme, upravíme a rozhodneme, zda daná nerovnost platí:

  Pro dvojici \(S_x\) a \(S_y\) máme na levé straně \[ \delta S_x \, \delta S_y = \frac{\hbar}{2} \frac{7 \hbar}{50} = \frac{7}{100} \hbar^2 \]

  a na pravé straně

  \[ \frac{\hbar}{2} \, \left | \left \langle S_z \right \rangle_{\chi} \right | = \frac{\hbar}{2} \, \left |-\frac{7}{50} \hbar \right | = \frac{7}{100} \hbar^2 \, . \]

  Zřejmě tedy platí \(\delta S_x \, \delta S_y \geq \frac{\hbar}{2} \left | \left \langle S_z \right \rangle_{\chi} \right |\).

  Zcela analogicky postupujeme pro dvojici \(S_x\), \(S_z\)

  \[ \delta S_x \, \delta S_z = \frac{\hbar}{2} \frac{12 \hbar}{25} = \frac{6}{25} \hbar^2 \, , \] \[ \frac{\hbar}{2} \, \left | \left \langle S_y \right \rangle_{\chi} \right | = \frac{\hbar}{2} \, \left |-\frac{12}{25} \hbar \right | = \frac{6}{25} \hbar^2 \, . \]

  Zřejmě tedy platí \(\delta S_x \, \delta S_z \geq \frac{\hbar}{2} \left | \left \langle S_y \right \rangle_{\chi} \right |\).

  A pro dvojici \(S_y\) a \(S_z\) dostaneme

  \[ \delta S_y \, \delta S_z = \frac{7 \hbar}{50} \frac{12 \hbar}{25} = \frac{42}{625} \hbar^2 \, , \] \[ \frac{\hbar}{2} \, \left | \left \langle S_x \right \rangle_{\chi} \right | = \frac{\hbar}{2} \cdot 0 = 0 \, . \]

  Zřejmě tedy platí \(\delta S_y \, \delta S_z \geq \frac{\hbar}{2} \left | \left \langle S_x \right \rangle_{\chi} \right |\).

  Pozn.: Tento případ je obzvlástě zajímavý, protože ukazuje, že i pro nekomutující operátory může střední hodnota jejich komutátoru v nějakém konkrétním stavu vyjít nulová.

• Odpověď

  a) Normovací konstanta \(A\) má velikost \(\frac{1}{5}\).

  b) Střední hodnoty průmětů spinu do os \(x, \, y\) a \(z\) v daném stavu jsou \[ \left \langle S_x \right \rangle_{\chi} = 0 \, , \] \[ \left \langle S_y \right \rangle_{\chi} = - \frac{12}{25} \hbar \, , \] \[ \left \langle S_z \right \rangle_{\chi} = - \frac{7}{50} \hbar \, . \]

  c) Neurčitosti průmětu spinu do os \(x, \, y\) a \(z\) v daném stavu jsou: \[ \delta S_x = \frac{\hbar}{2} \, , \] \[ \delta S_y = \frac{7}{50} \hbar \, , \] \[ \delta S_z = \frac{12}{25} \hbar \, . \]

  d) Ověřili jsme platnost relací neurčitosti v daném stavu pro všechny dvojice průmětů spinů do jednotlivých os.