Sbírka řešených úloh

Excitace gramu vodíku

Úloha číslo: 643

• Nápověda

  Potřebná energie bude dána součinem počtu atomů v jednom gramu a energie, která je třeba na excitaci jednoho atomu.

  Počet atomů v těleso o zadané hmotnosti se počítá v úloze Atomy v železném závaží.

  Energie nutná na excitaci se počítá např. v úloze První excitovaný stav.

• Zápis

  m = 1 g	hmotnost vodíku
  E = ? (J)	energie nutná k excitaci veškerého vodíku

  Z tabulek:

  Ar (H) =1,008	relativní atomová hmotnost vodíku
  NA = 6,02·1023 mol−1	Avogadrova konstanta (počet částic v jednom molu)
  E1 = −13,6 m eV	energie elektronu v atomu vodíku v základním stavu

• Rozbor

  Nejprve pomocí molární hmotnosti vodíku a Avogadrovy konstanty určíme počet atomů vodíku v jednom gramu. Dále určíme energii nutnou k excitaci atomu vodíku ze základního stavu. Tato energie se rovná rozdílu energie elektronu na první hladině (základní) a druhé hladině (první excitované). Celková energie potřebná k excitaci veškerého vodíku bude dána součinem počtu atomů a energie nutné k excitaci jednoho atomu.

• Řešení

  Z tabulek známe relativní atomovou hmotnost vodíku A_r (H), ta číselně odpovídá molární hmotnosti M_m vodíku v gramech. Vydělíme-li celkovou hmotnost vodíku m molární hmotností, získáme molární množství n (počet molů)

  \[n=\frac{m}{M_{\mathrm{m}}}\]

  a vynásobením Avogadrovou konstantou dostaneme počet atomů N

  \[N=nN_{\mathrm{A}}=\frac{mN_{\mathrm{A}}}{M_{\mathrm{m}}} .\]

  Při výpočtu excitační energie pro jeden atom využijeme vzorec pro energii n-té hladiny v atomu vodíku:

  \[E_{\mathrm{n}}=\frac{E_1}{n^2} .\]

  Excitační energie je rovna rozdílu energií druhé a první hladiny:

  \[E_{\mathrm{excitace}}=E_2-E_1=\frac{E_1}{4}-E_1=-\frac{3}{4}E_1.\]

  Energie E potřebná k excitaci veškerého vodíku se rovná

  \[E=NE_{\mathrm{excitace}}=\frac{mN_{\mathrm{A}}}{M_{\mathrm{m}}}\left(-\frac{3}{4}E_1\right)=-\frac{3}{4}\frac{mN_{\mathrm{A}}E_1}{M_{\mathrm{m}}},\] \[E=-\frac{3}{4}\,\frac{\left(1\,\mathrm{g}\right)\cdot\left(6{,}02{\cdot}10^{23}\mathrm{mol}^{-1}\right)\cdot\left(-13{,}6\,\mathrm{eV}\right)}{1{,}008\,\mathrm{g\,mol^{-1}}}\,\dot=\,6{,}1{\cdot}10^{24}\,\mathrm{eV}\,\dot=\,980\,\mathrm{kJ}.\]

• Odpověď

  Na excitaci jednoho gramu atomárního vodíku by bylo třeba dodat energii o velikosti 980 kJ.