Kvadrát x-ové souřadnice a z-ová složka momentu hybnosti
Úloha číslo: 4332
Mějme operátory \(\hat A = \hat x^2\) a \(\hat B = \hat L_\mathrm{z}\).
a) Určete relaci neurčitosti pro veličiny \(A\) a \(B\).
b) Vypočítejte neurčitost \(\delta B\) pro stav atomu vodíku popsaný vlnovou funkcí \(\psi_\mathrm{nlm}\).
c) Co lze říct o \(\left \langle xy \right \rangle\) v tomto stavu?
Pozn.: Hovoříme-li o stavu atomu vodíku popsaném vlnovou funkcí \(\psi_\mathrm{nlm}\), rozumíme tím společné vlastní stavy celkové energie, kvadrátu velikosti momentu hybnosti a průmětu momentu hybnosti do osy \(z\).
Nápověda
Připomeňte si obecný tvar relací neurčitosti, vztah neurčitosti fyzikální veličiny s její střední kvadratickou odchylkou a výpočet střední kvadratické odchylky. Dále si zopakujte pravidla pro počítání komutátorů a zjednodušování komutátorů složených operátorů.
Řešení a)
K vypočtení relace neurčitosti veličin \(A, B\) musíme nejdříve určit komutátor jejich operátorů. K jeho výpočtu využijeme vztah pro úpravu komutátoru složených operátorů, neboť operátor \(\hat x^2\) je vlastně totéž jako \(\hat x \, \hat x\)
\[ \left [\hat A, \hat B \right ] = \left [\hat x^2, \hat L_z \right ] = \left [\hat x \, \hat x, \hat L_z \right ] = \hat x \left [\hat x, \hat L_z \right ] + \left [\hat x, \hat L_z \right ] \hat x \, . \]Za komutátor \(\left [\hat x, \hat L_z \right ]\) můžeme dosadit jeho hodnotu \(-i \hbar y\). Podrobný výpočet tohoto komutátoru naleznete v úloze Komutátory se složkou momentu hybnosti, Řešení a) – c). Rovněž můžeme dosadit za operátor \(\hat x\), protože \(\hat x = x\).
Po dosazení tedy získáme
\[ \left [\hat A, \hat B \right ] = x(-i \hbar y) + (-i \hbar y)x = -2i \hbar xy \, . \]Porovnáme-li náš výsledek s tvarem komutátoru v podmínce pro obecný tvar relací neurčitosti (viz Nápověda), dojdeme k závěru, že \(\hat K = -2 \hbar xy\). Nyní můžeme dosadit do obecného tvaru relací neurčitosti, což nás po úpravě dovede k výsledku
\[ \delta A \, \delta B \geq \frac{1}{2} \left | \left \langle K \right \rangle_{\psi_{\mathrm{nlm}}} \right | = \frac{1}{2} \left | \left \langle -2 \hbar xy \right \rangle_{\psi_{\mathrm{nlm}}} \right | = \frac{1}{2} \left | -2 \hbar \left \langle xy \right \rangle_{\psi_{\mathrm{nlm}}} \right | = \frac{1}{2} 2 \hbar \left | \left \langle xy \right \rangle_{\psi_{\mathrm{nlm}}} \right | = \hbar \left | \left \langle xy \right \rangle_{\psi_{\mathrm{nlm}}} \right | \, . \]Celkově tedy platí
\[ \delta x^2 \, \delta L_z \geq \hbar \left | \left \langle xy \right \rangle_{\psi_{\mathrm{nlm}}} \right | \, . \]Řešení b)
K vypočtení neurčitosti \(\delta B\) potřebujeme spočítat střední kvadratickou odchylku \(\left (\delta B \right )^2\) veličiny \(B\) ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi_{\mathrm{nlm}}\). Využijeme skutečnosti, že vlnová funkce tak, jak byla zadána, je vlastní funkcí \(\hat L_z\). Tj. \(L_z\) má v těchto stavech ostré hodnoty, což znamená, že střední hodnoty jsou rovny příslušnému vlastnímu číslu. Dosadíme tedy do obecného vztahu pro střední kvadratickou odchylku a upravíme
\[ (\delta B)^2 = \left \langle B^2 \right \rangle_{\psi_{\mathrm{nlm}}} - \left \langle B \right \rangle_{\psi_{\mathrm{nlm}}} ^2 = \left \langle L_z^2 \right \rangle_{\psi_{\mathrm{nlm}}} - \left \langle L_z \right \rangle_{\psi_{\mathrm{nlm}}} ^2 = m^2 \hbar ^2 - (m \hbar)^2 = 0 \, . \]Dospěli jsme k výsledku
\[ \delta L_z = 0 \, . \]Řešení c)
Zde využijeme obou předešlých částí. V části a) jsme získali vztah \(\delta x^2 \, \delta L_z \geq \hbar \left | \left \langle xy \right \rangle_{\psi_{\mathrm{nlm}}} \right |\). V části b) jsme vypočítali \(\delta L_z = 0\). Víme, že neurčitost \(\delta x^2\) je konečná. Můžeme tedy učinit závěr, že \(0 \geq \hbar \left | \left \langle xy \right \rangle_{\psi_{\mathrm{nlm}}} \right | \).
Odtud plyne, že ve stavech atomu vodíku popsaných \(\psi_{nlm}\) platí
\[ \left \langle xy \right \rangle_{\psi_{\mathrm{nlm}}} = 0 \, . \]Odpověď
a) Relace neurčitosti má tvar \( \delta x^2 \, \delta L_z \geq \hbar \left | \left \langle xy \right \rangle_{\psi_{\mathrm{nlm}}} \right | \).
b) Ve vlastních stavech atomu vodíku je \(\delta L_z = 0\).
c) Ve vlastních stavech atomu vodíku je \(\left \langle xy \right \rangle_{\psi_{\mathrm{nlm}}} = 0\).
