Sbírka řešených úloh

Spektrum pozitronia

Úloha číslo: 4353

• Teorie – redukovaná hmotnost

  Pozitronium je atom podobný vodíku – jde o kladně nabité jádro s jedním elektronem (s tím rozdílem, že místo protonu je jádro tvořeno pozitronem). Vztah pro energii elektronu v atomu pozitronia proto bude podobný jako pro atom vodíku. Energie n-té energetické hladiny je \[E_n = \frac{E_1}{n^2}\,,\] kde E₁ je energie základního stavu.

  Při odvození vztahu pro energii nahlížíme na systém elektronu a jádra jako na problém dvou těles, resp. problém dvou hmotných bodů podobně jako v teoretické mechanice. Místo pohybu elektronu a jádra vůči okolí tak řešíme zvlášť pohyb jejich hmotného středu (v atomu s velmi hmotným jádrem je hmotný střed v podstatě na stejném místě jako jádro) a zvlášť relativní pohyb elektronu vůči jádru (při velmi těžkém jádře lze tento relativní pohyb ztotožnit s pohybem elektronu vůči okolí). Stejně jako v teoretické mechanice nahrazujeme hmotnost elektronu m_e tzv. redukovanou hmotností \[\mu = \frac{m_e m_J}{m_e + m_J}\] a hmotnost jádra m_J celkovou hmotností atomu \[M = m_e + m_J \,.\] Vztah pro energii základního stavu pak má tvar \[E_1 = -\frac{(ke^2)^2 \mu}{2\hbar^2} \,.\]

• Nápověda a)

  Porovnejte redukovanou hmotnost a hmotnost elektronu

  i) v případě atomu vodíku,

  ii) v případě pozitronia.

  Je relativní rozdíl mezi redukovanou hmotností a hmotností elektronu v obou případech srovnatelný s přesností, která stačí pro určení energetických hladin?

• Řešení a) i)

  V případě atomu vodíku je hmotnost jádra \(m_J\) přibližně dvoutisíckrát větší než hmotnost elektronu, \(m_J = 2000 \,m_e\).

  Redukovanou hmotnost pro atom vodíku \(\mu_H\) vypočteme jako \[\mu_H = \frac{m_J m_e}{m_J + m_e} = \frac{2000 \,m_e^2}{2001 \,m_e} \,\dot{=}\, 0{,}9995\,m_e \,. \]

  Rozdíl redukované hmotnosti a hmotnosti elektronu je \[\Delta\mu_H = m_e - \mu_H = m_e - 0{,}9995\,m_e = 0{,}0005\,m_e \,,\] a jejich relativní rozdíl je \[\frac{\Delta\mu_H}{m_e} = 0{,}0005 \,.\] Tyto dvě hmotnosti se tak liší řádově o desetiny promile.

  Tento rozdíl lze pro první přiblížení zanedbat a při určování hodnot energií atomu vodíku uvažovat místo redukované hmotnosti pouze hmotnost elektronu.

• Řešení a) ii)

  V případě pozitronia je hmotnost jádra i elektronu stejná, \(m_J = m_e\).

  Redukovanou hmotnost pro pozitronium \(\mu_P\) vypočteme jako \[\mu_P = \frac{m_e m_e}{m_e + m_e} = \frac{m_e^2}{2m_e} = \frac{m_e}{2} \,. \]

  Rozdíl redukované hmotnosti a hmotnosti elektronu je \[\Delta\mu_P = m_e - \mu_P = m_e - \frac{m_e}{2} = \frac{m_e}{2} \,,\] hmotnost elektronu je tak dvojnásobná v porovnání s redukovanou hmotností.

  Tento rozdíl už není zanedbatelný, proto musíme při určování hodnot energií pozitronia uvažovat redukovanou hmotnost a ne pouze hmotnost elektronu.

• Řešení b)

  V předchozí části jsme ukázali, že při určování energie stavů pozitronia musíme uvažovat redukovanou hmotnost místo hmotnosti elektronu, protože v případě pozitronia neplatí, že by hmotnost jádra byla mnohem větší než hmotnost elektronu, jako tomu bylo v případě atomu vodíku.

  Energie základního stavu pozitronia je dána vztahem \[E_1^P = -\frac{(ke^2)^2 \mu_P}{2\hbar^2} = -\frac{1}{2}\frac{(ke^2)^2 m_e}{2\hbar^2}\,,\] kde \(\mu_P = \frac{m_e}{2}\) je redukovaná hmotnost pro pozitronium.

  Všimněme si, že výraz \[-\frac{(ke^2)^2 m_e}{2\hbar^2}\] je energie základního stavu atomu vodíku \[E_1^H = -13{,}6\,\text{eV} \,.\] V případě atomu vodíku lze místo redukované hmotnosti použít hmotnost elektronu \(m_e\) a přesnost bude přesto dostačující. Energii základního stavu pozitronia tak můžeme vypočítat jako \[ E_1^P = \frac{E_1^H}{2} = \frac{-13{,}6\,\text{eV}}{2} = -6{,}8\,\text{eV} \,. \]

• Nápověda c)

  Přechody mezi energetickými hladinami atomu a souvislost se spektrem atomu je popsána v Nápovědě 2 u úlohy „Balmerova“ série pro ion helia He+.

• Řešení c)

  Energie fotonu vyzářeného při přechodu elektronu v pozitroniu z jedné energetické hladiny na druhou (označme je hlavními kvantovými čísly \(n_A,\,n_B\)) je \[ \Delta E_{AB} = E_A - E_B = \frac{E_1^P}{n_A^2} - \frac{E_1^P}{n_B^2} = E_1^P\left(\frac{1}{n_A^2} - \frac{1}{n_B^2}\right)\,, \] kde \(E_1^P\) je energie základního stavu pozitronia.

  Foton vyzářený při přechodu elektronu pozitronia z prvního excitovaného stavu s \(n_B = 2\) do základního stavu s \(n_A = 1\) má energii \[\Delta E_{AB} = E_1^P\left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) = \frac{3}{4}\,E_1^P = \frac{3}{4} \cdot 6{,}8\,\text{eV}= 5{,}1\,\text{eV}\,.\]

  Mezi energií vyzářeného fotonu, jeho frekvencí a vlnovou délkou a rychlostí světla platí vztah \[\Delta E_{AB} = hf = h\frac{c}{\lambda} \,.\] Vlnová délka fotonu vyzářeného při přechodu z prvního excitovaného do základního stavu pozitronia tak je \[\lambda = h\frac{c}{\Delta E_{AB}} \,. \]

  Po číselném dosazení a převedení energie z elektronvoltů na základní jednotku dostaneme vlnovou délku \[ \lambda = 6{,}626\,\cdot\,10^{-34} \cdot \frac{3\,\cdot\,10^8}{(5{,}1\,\cdot\,1{,}602\,\cdot\,10^{-19})} \,\dot{=}\, 243\,\text{nm} \,. \]

  Vidíme, že vlnová délka přechodu z prvního excitovaného do základního stavu pozitronia spadá do ultrafialového spektra.

• Řešení d)

  Rozdíl energie mezi prvním excitovaným stavem a základním stavem atomu vodíku je \[\Delta E_{AB} = E_1^H\left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) = \frac{3}{4}\,E_1^H = \frac{3}{4} \cdot 13{,}6\,\text{eV}= 10{,}2\,\text{eV}\,,\] je tedy dvojnásobný než v případě pozitronia.

  Foton vyzářený při tomto přechodu tak má dvojnásobnou energii než by měl elektron v odpovídajícím přechodu v pozitroniu.

  Mezi energií vyzářeného fotonu, jeho frekvencí a vlnovou délkou a rychlostí světla platí vztah \[\Delta E_{AB} = hf = h\frac{c}{\lambda} \,.\] Vlnová délka fotonu vyzářeného při přechodu z prvního excitovaného do základního stavu atomu vodíku tak je \[\lambda = h\frac{c}{\Delta E_{AB}} \,. \]

  Po číselném dosazení a převedení energie z elektronvoltů na základní jednotku dostaneme vlnovou délku \[ \lambda = 6{,}626\,\cdot\,10^{-34} \cdot \frac{3\,\cdot\,10^8}{(10{,}2\,\cdot\,1{,}602\,\cdot\,10^{-19})} \,\dot{=}\, 122 \,\text{nm} \,. \]

  Vlnová délka přechodu z prvního excitovaného do základního stavu atomu vodíku v Lymanově sérii spadá také do ultrafialového spektra a má ještě kratší vlnovou délku než odpovídající přechod pro pozitronium.

• Odpověď

  a) V případě pozitronia je, na rozdíl od atomu vodíku, potřeba uvažovat redukovanou hmotnost místo hmotnosti elektronu, protože jádro pozitronia a elektron mají stejnou hmotnost. Nemůžeme tak jádro považovat za nekonečně těžké, jako tomu je v případě atomu vodíku, kdy je jádro asi dvoutisíckrát těžší než elektron.

  Relativní rozdíl mezi hmotností elektronu a redukovanou hmotností je v případě atomu vodíku v řádu desetin promile, zatímco v případě pozitronia je 50 %.

  b) Energie základního stavu pozitronia je \(-6{,}8\,\text{eV}\).

  c) Vlnová délka fotonu vyzářeného při přechodu pozitronia z prvního excitovaného stavu do základního stavu je \(243\,\text{nm}\).

  d) Vlnová délka fotonu vyzářeného při odpovídajícím přechodu v atomu vodíku v Lymanově sérii je \(122\,\text{nm}\), tedy poloviční oproti vlnové délce přechodu pozitronia.