Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Spektrum pozitronia

Úloha číslo: 4353

Pozitronium je vázaný systém elektronu a pozitronu (pozitron je antičástice elektronu, má opačný náboj a stejnou hmotnost jako elektron). Tento exotický vázaný stav, který je podobný atomu vodíku, je velmi nestabilní.

a) Rozhodněte, zda je pro určení energetických hladin atomu vodíku, resp. pozitronia potřeba uvažovat redukovanou hmotnost.

b) Určete energii základního stavu pozitronia.

c) Určete vlnovou délku fotonu vyzářeného při přechodu pozitronia z prvního excitovaného stavu do základního stavu.

d) Porovnejte tuto vlnovou délku s odpovídajícím přechodem v atomu vodíku v Lymanově sérii.

  • Teorie – redukovaná hmotnost

    Pozitronium je atom podobný vodíku – jde o kladně nabité jádro s jedním elektronem (s tím rozdílem, že místo protonu je jádro tvořeno pozitronem). Vztah pro energii elektronu v atomu pozitronia proto bude podobný jako pro atom vodíku. Energie n-té energetické hladiny je \[E_n = \frac{E_1}{n^2}\,,\] kde E1 je energie základního stavu.

    Při odvození vztahu pro energii nahlížíme na systém elektronu a jádra jako na problém dvou těles, resp. problém dvou hmotných bodů podobně jako v teoretické mechanice. Místo pohybu elektronu a jádra vůči okolí tak řešíme zvlášť pohyb jejich hmotného středu (v atomu s velmi hmotným jádrem je hmotný střed v podstatě na stejném místě jako jádro) a zvlášť relativní pohyb elektronu vůči jádru (při velmi těžkém jádře lze tento relativní pohyb ztotožnit s pohybem elektronu vůči okolí). Stejně jako v teoretické mechanice nahrazujeme hmotnost elektronu me tzv. redukovanou hmotností \[\mu = \frac{m_e m_J}{m_e + m_J}\] a hmotnost jádra mJ celkovou hmotností atomu \[M = m_e + m_J \,.\] Vztah pro energii základního stavu pak má tvar \[E_1 = -\frac{(ke^2)^2 \mu}{2\hbar^2} \,.\]

  • Nápověda a)

    Porovnejte redukovanou hmotnost a hmotnost elektronu

    i) v případě atomu vodíku,

    ii) v případě pozitronia.

    Je relativní rozdíl mezi redukovanou hmotností a hmotností elektronu v obou případech srovnatelný s přesností, která stačí pro určení energetických hladin?
  • Řešení a) i)

    V případě atomu vodíku je hmotnost jádra \(m_J\) přibližně dvoutisíckrát větší než hmotnost elektronu, \(m_J = 2000 \,m_e\).

    Redukovanou hmotnost pro atom vodíku \(\mu_H\) vypočteme jako \[\mu_H = \frac{m_J m_e}{m_J + m_e} = \frac{2000 \,m_e^2}{2001 \,m_e} \,\dot{=}\, 0{,}9995\,m_e \,. \]

    Rozdíl redukované hmotnosti a hmotnosti elektronu je \[\Delta\mu_H = m_e - \mu_H = m_e - 0{,}9995\,m_e = 0{,}0005\,m_e \,,\] a jejich relativní rozdíl je \[\frac{\Delta\mu_H}{m_e} = 0{,}0005 \,.\] Tyto dvě hmotnosti se tak liší řádově o desetiny promile.

    Tento rozdíl lze pro první přiblížení zanedbat a při určování hodnot energií atomu vodíku uvažovat místo redukované hmotnosti pouze hmotnost elektronu.

  • Řešení a) ii)

    V případě pozitronia je hmotnost jádra i elektronu stejná, \(m_J = m_e\).

    Redukovanou hmotnost pro pozitronium \(\mu_P\) vypočteme jako \[\mu_P = \frac{m_e m_e}{m_e + m_e} = \frac{m_e^2}{2m_e} = \frac{m_e}{2} \,. \]

    Rozdíl redukované hmotnosti a hmotnosti elektronu je \[\Delta\mu_P = m_e - \mu_P = m_e - \frac{m_e}{2} = \frac{m_e}{2} \,,\] hmotnost elektronu je tak dvojnásobná v porovnání s redukovanou hmotností.

    Tento rozdíl už není zanedbatelný, proto musíme při určování hodnot energií pozitronia uvažovat redukovanou hmotnost a ne pouze hmotnost elektronu.

  • Řešení b)

    V předchozí části jsme ukázali, že při určování energie stavů pozitronia musíme uvažovat redukovanou hmotnost místo hmotnosti elektronu, protože v případě pozitronia neplatí, že by hmotnost jádra byla mnohem větší než hmotnost elektronu, jako tomu bylo v případě atomu vodíku.

    Energie základního stavu pozitronia je dána vztahem \[E_1^P = -\frac{(ke^2)^2 \mu_P}{2\hbar^2} = -\frac{1}{2}\frac{(ke^2)^2 m_e}{2\hbar^2}\,,\] kde \(\mu_P = \frac{m_e}{2}\) je redukovaná hmotnost pro pozitronium.

    Všimněme si, že výraz \[-\frac{(ke^2)^2 m_e}{2\hbar^2}\] je energie základního stavu atomu vodíku \[E_1^H = -13{,}6\,\text{eV} \,.\] V případě atomu vodíku lze místo redukované hmotnosti použít hmotnost elektronu \(m_e\) a přesnost bude přesto dostačující. Energii základního stavu pozitronia tak můžeme vypočítat jako \[ E_1^P = \frac{E_1^H}{2} = \frac{-13{,}6\,\text{eV}}{2} = -6{,}8\,\text{eV} \,. \]

  • Řešení c)

    Energie fotonu vyzářeného při přechodu elektronu v pozitroniu z jedné energetické hladiny na druhou (označme je hlavními kvantovými čísly \(n_A,\,n_B\)) je \[ \Delta E_{AB} = E_A - E_B = \frac{E_1^P}{n_A^2} - \frac{E_1^P}{n_B^2} = E_1^P\left(\frac{1}{n_A^2} - \frac{1}{n_B^2}\right)\,, \] kde \(E_1^P\) je energie základního stavu pozitronia.

    Foton vyzářený při přechodu elektronu pozitronia z prvního excitovaného stavu s \(n_B = 2\) do základního stavu s \(n_A = 1\) má energii \[\Delta E_{AB} = E_1^P\left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) = \frac{3}{4}\,E_1^P = \frac{3}{4} \cdot 6{,}8\,\text{eV}= 5{,}1\,\text{eV}\,.\]

    Mezi energií vyzářeného fotonu, jeho frekvencí a vlnovou délkou a rychlostí světla platí vztah \[\Delta E_{AB} = hf = h\frac{c}{\lambda} \,.\] Vlnová délka fotonu vyzářeného při přechodu z prvního excitovaného do základního stavu pozitronia tak je \[\lambda = h\frac{c}{\Delta E_{AB}} \,. \]

    Po číselném dosazení a převedení energie z elektronvoltů na základní jednotku dostaneme vlnovou délku \[ \lambda = 6{,}626\,\cdot\,10^{-34} \cdot \frac{3\,\cdot\,10^8}{(5{,}1\,\cdot\,1{,}602\,\cdot\,10^{-19})} \,\dot{=}\, 243\,\text{nm} \,. \]

    Vidíme, že vlnová délka přechodu z prvního excitovaného do základního stavu pozitronia spadá do ultrafialového spektra.

  • Odpověď

    a) V případě pozitronia je, na rozdíl od atomu vodíku, potřeba uvažovat redukovanou hmotnost místo hmotnosti elektronu, protože jádro pozitronia a elektron mají stejnou hmotnost. Nemůžeme tak jádro považovat za nekonečně těžké, jako tomu je v případě atomu vodíku, kdy je jádro asi dvoutisíckrát těžší než elektron.

    Relativní rozdíl mezi hmotností elektronu a redukovanou hmotností je v případě atomu vodíku v řádu desetin promile, zatímco v případě pozitronia je 50 %.

    b) Energie základního stavu pozitronia je \(6{,}8\,\text{eV}\).

    c) Vlnová délka fotonu vyzářeného při přechodu pozitronia z prvního excitovaného stavu do základního stavu je \(243\,\text{nm}\).

    d) Vlnová délka fotonu vyzářeného při odpovídajícím přechodu v atomu vodíku v Lymanově sérii je \(122\,\text{nm}\), tedy poloviční oproti vlnové délce přechodu pozitronia.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze