Landauovy hladiny
Úloha číslo: 2289
Uvažujme částici s kladným nábojem \(e\) v homogenním magnetickém poli popsaném vektorovým potenciálem \(\vec{A}=(−By,\,0,\,0)\). Nalezněte přesné řešení pro energii – tzv. Landauovy hladiny. Vlnovou funkci předpokládejte ve tvaru \[\psi(\vec{r})=\chi(y)\,e^{\frac{i}{\hbar}(p_xx+p_zz)}.\]
Nápověda 1
Vyhledejte tvar Hamiltoniánu pro částici v elektromagnetickém poli.
Nápověda 2
Napište si stacionární Schrödingerovu rovnici pro částici v zadaném magnetickém poli a dosaďte předpokládaný tvar vlnové funkce. Rovnici upravujte do tvaru problému, jehož řešení dobře známe.
Řešení
Nejprve ověřme, že zadaný vektorový potenciál \(\vec{A}=(−By,\,0,\,0)\) popisuje homogenní magnetické pole. Dosaďme do vzorce
\[\vec{B}=\mathrm{rot}\,\vec{A}=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}−\frac{\partial A_y}{\partial z},\,\frac{\partial A_x}{\partial z}−\frac{\partial A_z}{\partial x},\,\frac{\partial A_y}{\partial x}−\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)=(0−0,\,0−0,\,0−(−B))=(0,\,0,\,B).\]Vidíme, že pole je homogenní.
Povšimněme si, že předpokládaný tvar hledané vlnové funkce odpovídá v souřadnicích \(x\) a \(z\) tvaru vlnové funkce volné částice, neznámá je jen závislost na souřadnici \(y\).
Vycházejme ze stacionární Schrödingerovy rovnice
\[\hat{H}\psi=E\psi,\]kde uvažujeme Hamiltonián částice v magnetickém poli s vektorovým potenciálem \(\vec{A}=(−By,\,0,\,0),\)
\[\hat{H}=\frac{1}{2m}\left(\hat{\vec{p}}−e\vec{A}\right)^2.\]Rozepišme operátor hybnosti a operátor příslušící vektorovému potenciálu do složek. Schrödingerova rovnice má potom tvar
\[\frac{1}{2m}\left[\left(−i\hbar\frac{\partial }{\partial x}+eBy\right)^2+\left(−i\hbar\frac{\partial }{\partial y}\right)^2+\left(−i\hbar\frac{\partial }{\partial z}\right)^2 \right]\psi=E\psi.\]Do této rovnice dosaďme předpokládaný tvar vlnové funkce
\[\psi(\vec{r})=\chi(y)e^{\frac{i}{\hbar}(p_xx+p_zz)},\] \[\frac{1}{2m}\left[−\hbar^2\frac{\partial^2 }{\partial x^2}−2i\hbar eBy\frac{\partial }{\partial x}+e^2B^2y^2−\hbar^2\frac{\partial^2 }{\partial y^2}−\hbar^2\frac{\partial^2 }{\partial z^2} \right]\chi(y)e^{\frac{i}{\hbar}(p_xx+p_zz)}=E\chi(y)e^{\frac{i}{\hbar}(p_xx+p_zz)}.\]Tuto rovnici budeme dále upravovat
\[\frac{1}{2m}\left[−\hbar^2\left(\frac{i}{\hbar}\right)^2{p_x}^2−2i\hbar eBy\frac{i}{\hbar}p_x+e^2B^2y^2−\hbar^2\left(\frac{i}{\hbar}\right)^2{p_z}^2 −\hbar^2\frac{\partial^2 }{\partial y^2}\right]\chi(y)e^{\frac{i}{\hbar}(p_xx+p_zz)}=E\chi(y)e^{\frac{i}{\hbar}(p_xx+p_zz)}.\]Nyní můžeme obě strany rovnice vydělit exponenciální funkcí \(e^{\frac{i}{\hbar}(p_xx+p_zz)}\) a převést konstanty na pravou stranu
\[−\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \chi(y)}{\partial y^2}+\frac{1}{2m}\left(p_x+Bey\right)^2\chi(y)=\left(E−\frac{{p_z}^2}{2m}\right)\chi(y),\] \[−\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \chi(y)}{\partial y^2}+\frac{e^2B^2}{2m}\left(\frac{p_x}{Be}+y\right)^2\chi(y)=\left(E−\frac{{p_z}^2}{2m}\right)\chi(y).\]Pokud v poslední rovnici provedeme substituci \[\xi=y+\frac{p_x}{Be},\] (posuneme souřadnici) a označíme \[\mathcal{E}=E−\frac{{p_z}^2}{2m},\] dostaneme rovnici lineárního harmonického oscilátoru v souřadnici \(\xi\), s energií \(\mathcal{E}\) a frekvencí \(\omega_B\), kde \(\omega_B=\frac{eB}{m}\)
\[−\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \chi(\xi)}{\partial \xi^2}+\frac{1}{2}m\omega_B^2\xi^2\chi(\xi)=\mathcal{E}\chi(\xi).\]Jelikož známe řešení této rovnice a jim příslušné energie, můžeme psát
\[E−\frac{{p_z}^2}{2m}=\hbar\omega_B\left(n+\frac{1}{2}\right).\]Výraz
\[E=\frac{{p_z}^2}{2m}+\hbar\omega_B\left(n+\frac{1}{2}\right)\]jsou hledané Landauovy hladiny.
Odpověď
Přesné řešení pro energie – tzv. Landanuovy hladiny jsou
\[E=\frac{{p_z}^2}{2m}+\hbar\omega_B\left(n+\frac{1}{2}\right).\]
