Vlastnosti maticového formalismu pro l = 1
Úloha číslo: 4364
Zavedeme označení báze \(|l, \, m\rangle\) Hilbertova prostoru pro \(l = 1\)
\[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \equiv |1, \, 1\rangle \, , \qquad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \equiv |1, \, 0\rangle \, , \qquad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \equiv |1, \, -1\rangle \, . \]Operátory složek momentu hybnosti a operátor kvadrátu velikosti momentu hybnosti mají v tomto značení tvar
\[ \hat L_x = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \, , \qquad \hat L_y = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \, , \] \[ \hat L_z = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \, , \qquad \hat L^2 = 2 \hbar^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \, . \]Proč jsou \(\hat L_z\) a \(\hat L^2\) diagonální? Jaký je význam čísel na diagonále?
Ověřte, že i v „maticové“ reprezentaci zůstaly v platnosti vztahy \[\hat L^2 = \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2\,,\] \[\left [\hat L_j, \hat L_k \right ] = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat L_l\,,\] \[\left [\hat L_j, \hat L^2 \right ] = 0\,,\] \[\hat L_z \, |l, \, m\rangle = m\hbar \, |l, \, m\rangle\,,\] \[\hat L^2 |l, \, m\rangle = \hbar^2 \, l(l + 1) \, |l, \, m\rangle\,.\]
Pozn.: Odvození tvaru těchto matic naleznete v úloze Maticový formalismus pro l = 1, Řešení b).
Nápověda
Připomeňte si definici komutátoru dvou operátorů.
Řešení
Jelikož jsou dané operátory vyjádřené v bázi \(|l, \, m\rangle\) vlastních stavů operátorů \(\hat L_z\) a \(\hat L^2\), jsou jejich matice diagonální. Z téhož důvodu jsou prvky na diagonále vlastní čísla příslušných operátorů.
K ověření vztahu \(\hat L^2 = \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2\) přímo dosadíme do pravé strany rovnosti a upravíme
\[ \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2 = \] \[ = \left [ \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \right ]^2 + \left [ \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \right ]^2 + \left [ \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \right ]^2 = \] \[ = \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} + \] \[ + \hbar^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 2\hbar^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \hat L^2 \, . \]Tímto jsme potvrdili platnost daného vztahu v „maticové“ reprezentaci.
Nyní ověříme vztah \(\left [\hat L_j, \hat L_k \right ] = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat L_l\). Výpočet provedeme pro složky \(\hat L_x, \, \hat L_y\). Opět zde jde o přímý výpočet, při kterém dosadíme do definice komutátoru (viz Nápověda) a upravíme
\[ \left [\hat L_x, \hat L_y \right ] = \hat L_x \hat L_y - \hat L_y \hat L_x = \] \[ = \frac{\hbar^2}{2} \left [ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \right ] = \] \[ = \frac{\hbar^2}{2} \left [ \begin{pmatrix} i & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & -i \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -i & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & i \end{pmatrix} \right ] = \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 2i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2i \end{pmatrix} = \] \[ = i\hbar \, \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = i\hbar \hat L_z \, . \]Pro zbylé dva komutátory probíhá výpočet analogicky. Komutační relace složek momentu hybnosti v „maticové“ reprezentaci tedy zůstávají ve stejném tvaru, na který jsme zvyklí ze souřadnicové reprezentace.
Výpočet komutátoru složky momentu hybnosti a kvadrátu velikosti momentu hybnosti zde ukážeme pro \(x\)‑ovou složku. Provedeme jej opět přímým dosazením a úpravami
\[ \left [\hat L_x, \hat L^2 \right ] = \hat L_x \hat L^2 - \hat L^2 \hat L_x = \] \[ = \frac{2\hbar^3}{\sqrt2} \left [ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \right ] = \] \[ = \frac{2\hbar^3}{\sqrt2} \left [ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \right ] = 0 \, . \]Pro zbylé dva komutátory probíhá výpočet analogicky. Libovolná složka momentu hybnosti tedy komutuje s kvadrátem velikosti momentu hybnosti i v této reprezentaci.
Vztah pro vlastní čísla \(z\)‑ové složky momentu hybnosti ověříme pro \(|1, \, 1\rangle\). Přímo dosadíme do levé strany vztahu a upravíme
\[ \hat L_z \, |1, \, 1\rangle = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hbar \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hbar |1, \, 1\rangle \, . \]Jelikož víme, že zde platí \(m = 1\), potvrdili jsme tímto, že
\[ \hat L_z \, |1, \, 1\rangle = 1 \cdot \hbar \, |1, \, 1\rangle \, . \]Výpočet pro \(m = 0, \, m = -1\) je zcela analogický. Celkově tedy platí \(\hat L_z \, |l, \, m\rangle = m\hbar \, |l, \, m\rangle\).
Vztah pro vlastní čísla velikosti kvadrátu momentu hybosti ověříme opět pro \(|1, \, 1\rangle\) přímým dosazením do levé strany vztahu a upravou
\[ \hat L^2 |1, \, 1\rangle = 2 \hbar^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 2 \hbar^2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 2 \hbar^2 |1, \, 1\rangle \, . \]Jelikož jsme výpočet provedli pro \(l = 1\), můžeme říct, že platí
\[ \hat L^2 |1, \, 1\rangle = \hbar^2 \, l(l+1) \, |1, \, 1\rangle \, . \]Výpočet pro \(m = 0, \, m = -1\) je zcela analogický. Celkově tedy platí \(\hat L^2 \, |l, \, m\rangle = \hbar^2 \, l(l+1) \, |l, \, m\rangle\).
Odpověď
Operátory \(\hat L_z, \, \hat L^2\) jsou diagonální, neboť jsou vyjádřeny v bázi svých vlastních stavů. Prvky na diagonále jsou jejich vlastní čísla.
Všechny vztahy ze zadání, které známe v souřadnicové reprezentaci, platí i v „maticové“ reprezentaci.
