Sbírka řešených úloh

Vlastnosti maticového formalismu pro l = 1

Úloha číslo: 4364

• Nápověda

  Připomeňte si definici komutátoru dvou operátorů.

• Řešení nápovědy

  Komutátor dvou operátorů $\hat A, \, \hat B$ je definován jako

  $$\left [\hat A, \hat B \right ] = \hat A \hat B - \hat B \hat A \, .$$

• Řešení

  Jelikož jsou dané operátory vyjádřené v bázi $|l, \, m\rangle$ vlastních stavů operátorů $\hat L_z$ a $\hat L^2$, jsou jejich matice diagonální. Z téhož důvodu jsou prvky na diagonále vlastní čísla příslušných operátorů.

  K ověření vztahu $\hat L^2 = \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2$ přímo dosadíme do pravé strany rovnosti a upravíme

  $$\hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2 =$$ $$= \left [ \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \right ]^2 + \left [ \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \right ]^2 + \left [ \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \right ]^2 =$$ $$= \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} +$$ $$+ \hbar^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} =$$ $$= \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} =$$ $$= \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 2\hbar^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \hat L^2 \, .$$

  Tímto jsme potvrdili platnost daného vztahu v „maticové“ reprezentaci.

  Nyní ověříme vztah $\left [\hat L_j, \hat L_k \right ] = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat L_l$. Výpočet provedeme pro složky $\hat L_x, \, \hat L_y$. Opět zde jde o přímý výpočet, při kterém dosadíme do definice komutátoru (viz Nápověda) a upravíme

  $$\left [\hat L_x, \hat L_y \right ] = \hat L_x \hat L_y - \hat L_y \hat L_x =$$ $$= \frac{\hbar^2}{2} \left [ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \right ] =$$ $$= \frac{\hbar^2}{2} \left [ \begin{pmatrix} i & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & -i \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -i & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & i \end{pmatrix} \right ] = \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 2i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2i \end{pmatrix} =$$ $$= i\hbar \, \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = i\hbar \hat L_z \, .$$

  Pro zbylé dva komutátory probíhá výpočet analogicky. Komutační relace složek momentu hybnosti v „maticové“ reprezentaci tedy zůstávají ve stejném tvaru, na který jsme zvyklí ze souřadnicové reprezentace.

  Výpočet komutátoru složky momentu hybnosti a kvadrátu velikosti momentu hybnosti zde ukážeme pro $x$‑ovou složku. Provedeme jej opět přímým dosazením a úpravami

  $$\left [\hat L_x, \hat L^2 \right ] = \hat L_x \hat L^2 - \hat L^2 \hat L_x =$$ $$= \frac{2\hbar^3}{\sqrt2} \left [ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \right ] =$$ $$= \frac{2\hbar^3}{\sqrt2} \left [ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \right ] = 0 \, .$$

  Pro zbylé dva komutátory probíhá výpočet analogicky. Libovolná složka momentu hybnosti tedy komutuje s kvadrátem velikosti momentu hybnosti i v této reprezentaci.

  Vztah pro vlastní čísla $z$‑ové složky momentu hybnosti ověříme pro $|1, \, 1\rangle$. Přímo dosadíme do levé strany vztahu a upravíme

  $$\hat L_z \, |1, \, 1\rangle = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hbar \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hbar |1, \, 1\rangle \, .$$

  Jelikož víme, že zde platí $m = 1$, potvrdili jsme tímto, že

  $$\hat L_z \, |1, \, 1\rangle = 1 \cdot \hbar \, |1, \, 1\rangle \, .$$

  Výpočet pro $m = 0, \, m = -1$ je zcela analogický. Celkově tedy platí $\hat L_z \, |l, \, m\rangle = m\hbar \, |l, \, m\rangle$.

  Vztah pro vlastní čísla velikosti kvadrátu momentu hybosti ověříme opět pro $|1, \, 1\rangle$ přímým dosazením do levé strany vztahu a upravou

  $$\hat L^2 |1, \, 1\rangle = 2 \hbar^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 2 \hbar^2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 2 \hbar^2 |1, \, 1\rangle \, .$$

  Jelikož jsme výpočet provedli pro $l = 1$, můžeme říct, že platí

  $$\hat L^2 |1, \, 1\rangle = \hbar^2 \, l(l+1) \, |1, \, 1\rangle \, .$$

  Výpočet pro $m = 0, \, m = -1$ je zcela analogický. Celkově tedy platí $\hat L^2 \, |l, \, m\rangle = \hbar^2 \, l(l+1) \, |l, \, m\rangle$.

• Odpověď

  Operátory $\hat L_z, \, \hat L^2$ jsou diagonální, neboť jsou vyjádřeny v bázi svých vlastních stavů. Prvky na diagonále jsou jejich vlastní čísla.

  Všechny vztahy ze zadání, které známe v souřadnicové reprezentaci, platí i v „maticové“ reprezentaci.