Sbírka řešených úloh

Tepelná ionizace vodíku

Úloha číslo: 697

• Nápověda

  Jaká je – např. podle Bohrova modelu – energie základního stavu elektronu v atomu vodíku, resp. energie, kterou je třeba dodat, aby se tento elektron z vodíku uvolnil?

  Jak dle kinetické teorie plynů závisí vnitřní energie molekuly H₂ na teplotě T plynu?

• Řešení nápovědy

  Energie základního stavu elektronu v atomu vodíku je E₁ = −13,6 eV. Energie potřebná k jeho uvolnění je proto právě E = 13,6 eV.

   

  Podle kinetické teorie plynů je vnitřní energie jednoatomové molekuly plynu

  rovna \[\frac{3}{2}\,kT ,\] zatímco energie dvouatomové molekuly plynu je rovna \[\frac{5}{2}\,kT ,\] kde k = 1,38·10⁻²³ J·K⁻¹ je tzv. Boltzmannova konstanta. Energie molekuly H₂ je tedy při teplotě T rovna \[E=\frac{5}{2}\,kT .\]

   

  Více teorie lze nalézt například v knize BARTUŠKA, K. – SVOBODA, E. Fyzika pro gymnázia – Molekulová fyzika a termika. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2000, s. 73. ISBN 80-7196-200-7. Z online zdrojů najdete odvození také na české wikipedii pod heslem vnitřní energie ideálního plynu.)

• Řešení

  Energie základního stavu elektronu v atomu vodíku je E₁ = −13,6 eV. Energie potřebná k ionizaci atomu vodíku je proto právě E = 13,6 eV.

  Podle kinetické teorie plynů je střední kinetická energie molekuly H₂ při teplotě T rovna \[E=\frac{5}{2}\,kT ,\] kde k = 1,38·10⁻²³ J·K⁻¹ je tzv. Boltzmannova konstanta.

  Dle zadání hledáme právě takovou teplotu T, při níž je

  \[\frac{5}{2}\,kT = -E_1 ,\]

  tedy teplotu

  \[T=-\frac{2E_1}{5k} .\]

  Pozor na to, že energii musíme dosazovat v základních jednotkách, tedy v joulech. Dostáváme

  \[T=\frac{2\,\cdot\,13{,}6\,\cdot\,1{,}602\,\cdot\,10^{-19}}{5\,\cdot\,1{,}38\,\cdot\,10^{-23}}\ \mbox{K} \,\dot{=}\, 63000\ \mbox{K} ,\]

  což je teplota, s níž se na Zemi jistě nesetkáme, proto se nemusíme bát nekontrolovatelné ionizace vodíku obsaženého ve vzduchu.

• Odpověď

  Hledaná teplota je rovna přibližně 63000 K, což je teplota, s níž se na Zemi jistě nesetkáme, proto se nemusíme bát nekontrolovatelné ionizace vodíku obsaženého ve vzduchu.

• Komentář

  V nejrůznějších chemicko-fyzikálních tabulkách nebo i na anglické wikipedii můžete najít, že ionizační energie (tj. rozdíl mezi nulovou hladinou energie a nejnižší hladinou energie elektronu v atomu vodíku E₁, která je záporná) vodíku je 1312 kJ·mol⁻¹. Po vydělení Avogadrovou konstantou N_A = 6,022·10²³ mol⁻¹ dostaneme právě energii 21,787·10⁻¹⁹ J = 13,6 eV.