Srovnání sil
Úloha číslo: 639
Řádově porovnejte velikosti
- gravitační síly, kterou působí Slunce na elektron na povrchu Země,
- gravitační síly, kterou působí proton na elektron v atomu vodíku,
- elektrické síly, kterou působí proton na elektron v atomu vodíku.
Nápověda 1 – potřebné hodnoty
Uvažujte tyto hodnoty:
- hmotnost Slunce mS = 2,0·1030 kg,
- hmotnost protonu mp = 1,67·10−27 kg,
- hmotnost elektronu me = 9,1·10−31 kg,
- vzdálenost Země od Slunce R = 150·109 m,
- vzdálenost elektronu od jádra v atomu vodíku (tzv. Bohrův poloměr atomu) r = 5,3·10−11 m ,
- gravitační konstanta κ = 6,67·10−11 N m2 kg−2,
- elementární náboj e = 1,6·10−19 C,
- permitivita vakua ε0 = 8,85·10-12 F m-1.
Nápověda 2
Pro výpočet velikosti gravitační síly použijte Newtonův zákon
a pro výpočet elektrické síly Coulombův zákon
Řešení
Velikost gravitační síly působící mezi Sluncem a elektronem na povrchu Země je podle Newtonova zákona rovna
\[F_{GS} = \kappa {m_s m_e \over R^2} \approx 5{,}4 {\cdot} 10^{-33}\,.\]Velikost gravitační síly působící mezi protonem a elektronem v atomu vodíku je podle Newtonova zákona rovna
\[F_{gp} = \kappa {m_p m_e \over r^2} \approx 3{,}6 {\cdot} 10^{-47}\,.\]Velikost elektrické síly působící mezi protonem a elektronem v atomu vodíku je podle Coulombova zákona rovna
\[F_{ep} = {1 \over 4 \pi \epsilon_0} {e^2 \over r^2} \approx 8{,}2 {\cdot} 10^{-8}\,.\]Poměr mezi elektrickou a gravitační silou, působící mezi protonem a elektronem v atomu vodíku, je tedy řádově roven
\[{F_{ep} \over F_{gp}} \approx 10^{39}.\]Poměr mezi elektrickou silou, působící mezi protonem a elektronem v atomu vodíku, a gravitační silou, působící mezi Sluncem a elektronem na povrchu Země, je řádově roven
\[{F_{ep} \over F_{gS}} \approx 10^{25}.\]Ze srovnání můžeme vidět, že elektrická síla je mnohem silnější než gravitační, a to i když jde o malé náboje versus veliké hmotnosti. Tento příklad tedy ilustruje, proč můžeme při propočítávání atomu vodíku vliv gravitace bez obav zanedbat.
Komentář
Skutečnost, že gravitace je v porovnání s jinými interakcemi tolik slabá, fyzikům také velmi ztěžuje vytvoření kvantové teorie gravitace. Na její finální podobu v současné době existuje několik kandidátů. Jsou to především M-teorie, jejíž součástí je teorie superstrun, smyčková teorie gravitace, teorie supergravitace a další. Teorie jsou to komplexní, problém je s jejich testováním. Od začátku jsou vymýšleny se záměrem, aby v dosažitelných podmínkách dávaly stejné výsledky jako obecná relativita, a extrémních podmínek, kde se předpovědi liší, zatím nejsme schopni dosáhnout.
Více viz například článek M. Šrubaře Testování kvantové gravitace z VUT v Brně [cit. 11.5.2008].
