Jáma ve dvou rozměrech

Úloha číslo: 701

Pohyb částice o hmotnosti m je omezen do dvourozměrné rovinné oblasti, přičemž potenciál V(x, y) = 0 pro −axa, y \(\in\) R a V(x,y) → ∞ všude jinde.

Jáma 2D

a) Označme Ex energii částice spojenou s pohybem ve směru x, Ey energii spojenou s pohybem ve směru y a celkovou energii částice E. Jakých hodnot mohou energie Ex, Ey a E nabývat?

Dále označme \[k_x = \sqrt{\frac{2mE_x}{\hbar^2}}\] a \[k_y = \sqrt{\frac{2mE_y}{\hbar^2}},\] což je značení obvyklé při řešení odpovídající Schrödingerovy rovnice.

b) Načrtněte graf závislosti E na ky pro několik různých dovolených hodnot Ex.

c) Předpokládejte, že pohyb částice ve směru x odpovídá druhému vázanému stavu v nekonečně hluboké jednorozměrné potenciálové jámě a celková energie částice je rovna E. Najděte energii částice spojenou s jejím pohybem ve směru y.

d) Najděte předpis pro (ne nutně normovanou) vlnovou funkci ψ(xyt) popisující stav částice v případě c).

e) Předpokládejte, že celková energie částice je \[E=\frac{\pi^2 \hbar^2}{4ma^2}\,.\] Najděte předpis pro (ne nutně normovanou) vlnovou funkci ψ(xyt) popisující stav částice v takovém případě.

f) Předpokládejte, že se nepřekonatelná potenciálová bariéra objeví také v místech se souřadnicí y = ±a. (Pohyb částice bude i ve směru y omezen na úsečku.) Může celková energie částice nabývat hodnoty \[\frac{3\pi^2 \hbar^2}{4ma^2}\,?\] Pokud ano, jak byste takový stav popsali? Pokud ne, proč?

  • Nápověda k a)

    Jaká energie přísluší částici o hmotnosti m ve stavu s kvantovým číslem n v nekonečně hluboké jednorozměrné potenciálové jámě šířky L?

    (Podrobné odvození najdete v úloze Symetrická nekonečná pravoúhlá jáma této sbírky.)

  • Řešení a)

    Ve směru x je částice vázána v nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky 2a, umístěné mezi x = −ax = a. Takové situaci odpovídá diskrétní spektrum energií

    \[\hspace{30px}E_{x_n}=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m(2a)^2}=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{8ma^2}\,,\]  n = 1, 2, ... .

    Ve směru y jde o volnou částici s libovolnou kinetickou energií \[E_y \ge 0\,.\]

    Celková energie částice E je součtem energií Ex a Ey. Je proto \[E \ge \frac{\pi^2 \hbar^2}{8ma^2}\,.\]

  • Řešení b)

    Úkolem je načrtnout graf závislosti E na ky pro několik dovolených hodnot Ex.

    Označili jsme \[k_y = \sqrt{\frac{2mE_y}{\hbar^2}}\,,\] proto je \[E_y = \frac{\hbar^2 k_y^2}{2m}\,,\]

    V řešení úkolu a) jsme si připomněli, že \[E_{x_n} = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{8ma^2}\,.\]

    Z toho již lehce odvodíme závislost

    \[E=E_x + E_y = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{8ma^2}\,+\,\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m}=n^2 E_{x_1}+\frac{\hbar^2}{2m}k_y^2\,.\]

    Celková energie je úměrná ky2 a pro různá n postupně posunutá o n2-násobky nejnižší energie Ex1, chová se tedy jako E ~ ky2 + n2.

    Na následujícím obrázku jsou načrtnuty závislosti E na ky pro n = 1, 2, 3, 4.

    Energie
  • Řešení c)

    Energie částice odpovídající jejímu pohybu ve směru x má být dle zadání rovna diskrétní hladině s kvantovým číslem n = 2, tedy

    \[E_x = E_{x_2} = \frac{4\pi^2\hbar^2}{8ma^2}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}\,.\]

    Energii odpovídající pohybu částice ve směru y dostaneme jako rozdíl její celkové energie a energie Ex. Je

    \[E_y=E-E_x=E\,-\,\frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}\,.\]
  • Nápověda k d)

    Jak vypadají vlastní funkce hamiltoniánu pro případ částice v nekonečně hluboké jednorozměrné potenciálové jámě šířky L se středem v bodě x = 0?

  • Řešení d)

    Jelikož hamiltonián nezávisí na čase, lze separovat obě souřadnice a čas, to znamená vyjádřit celkovou vlnovou funkci jako součin tří funkcí

    \[\Psi(x,y,t)=X(x)\,Y(y)\,T(t)\,.\]

    Ze zadání víme, že co se týče jejího pohybu ve směru x, částice se nachází ve stavu s kvantovým číslem n = 2. Dosazením hodnot L = 2a a n = 2 do obecného předpisu (viz řešení předcházející nápovědy)

    \[\psi_n(x)= \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\]

    dostáváme

    \[X(x)=\sin\left(\frac{2\pi x}{2a}\right)=\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,.\]

     

    Ve směru y není pohyb částice omezen. Přísluší jí energie

    \[E_y=E\,-\,\frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}\,.\]

    Řešením nečasové Schrödingerovy rovnice

    \[\frac{\mbox{d}^2 Y(y)}{\mbox{d}y^2}\,+\,k_y^2\,Y(y)=0\,,\]

    kde \[k_y=\sqrt{\frac{2mE_y}{\hbar^2}}\,,\] jsou funkce

    \[Y(y)=A\,\sin(k_y y)\,+\,B\,\cos(k_y y)\,,\]

    kde A, B jsou libovolná komplexní čísla.

     

    Z řešení časové části Schrödingerovy rovnice je znám faktor

    \[T(t)=e^{-\frac{iEt}{\hbar}}\,,\]

    který vyjadřuje časovou závislost vlnové funkce popisující stav částice s energií E.

     

    Vrátíme-li se nyní k celkové vlnové funkci \(\Psi(x,y,t)\,,\) dostáváme

    \[\Psi(x,y,t)=\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,\left[A\,\sin(k_y y)\,+\,B\,\cos(k_y y)\right]\,e^{-\frac{iE t}{\hbar}}\,,\]

    kde \[k_y=\sqrt{\frac{2mE_y}{\hbar^2}}=\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \,\left(E\,-\,\frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}\right)}=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}\,-\,\frac{\pi^2}{a^2}}\,.\]

  • Řešení e)

    Dle předpokladu je celková energie částice rovna

    \[E=\frac{\pi^2 \hbar^2}{4ma^2}\,,\]

    což je více než

    \[E_{x_1}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{8ma^2}\,,\]

    ale méně než

    \[E_{x_2}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}\,.\]

    Jelikož energie Ex, spojená s pohybem částice ve směru x, může nabývat pouze vybraných diskrétních hodnot, můžeme usoudit, že

    \[E_x=E_{x_1}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{8ma^2}\,.\]

    Z pohledu jednorozměrné potenciálové jámy orientované ve směru x se tedy částice nachází ve stavu s kvantovým číslem n = 1.

    Na energii Ey, spojenou s pohybem částice ve směru y, nyní zbývá

    \[E_y=E-E_x=\frac{\pi^2 \hbar^2}{4ma^2}\,-\,\frac{\pi^2 \hbar^2}{8ma^2}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{8ma^2}\,.\]

     

    Dále budeme postupovat analogicky jako při řešení úkolu d).

    Jelikož hamiltonián nezávisí na čase, lze separovat obě souřadnice a čas, to znamená vyjádřit celkovou vlnovou funkci jako součin tří funkcí

    \[\Psi(x,y,t)=X(x)\,Y(y)\,T(t)\,.\]

    Ze zadání víme, že co se týče jejího pohybu ve směru x, částice se nachází ve stavu s kvantovým číslem n = 1. Dosazením hodnot L = 2a a n = 1 do obecného předpisu (viz Řešení nápovědy k d))

    \[\psi_n(x)= \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\]

    dostáváme

    \[X(x)=\cos\left(\frac{\pi x}{2a}\right)\,.\]

     

     
  • Řešení f)

    Dle předpokladu se nyní nepřekonatelná potenciálová bariéra objeví také v místech se souřadnicí y = ±a a pohyb částice je tak i ve směru y omezen na úsečku. Energie Ey, spojená s pohybem částice ve směru y, tak bude stejně jako energie Ex, spojená s pohybem částice ve směru x, kvantována. Možnými hodnotami jsou

    \[\hspace{30px}E_{x_{n_x}}=\frac{n_x^2 \pi^2 \hbar^2}{8ma^2}\,\] a \[\,E_{y_{n_y}}=\frac{n_y^2 \pi^2 \hbar^2}{8ma^2}\,,\]  kde nx, nx = 1, 2, ... .

    (Podrobné odvození kvantování energie naleznete v úloze Symetrická nekonečná pravoúhlá jáma této sbírky.)

    Celková energie \(E\) může nabývat hodnot

    \[E_{n_x,n_y}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{8ma^2}\,\left(n_x^2\,+\,n_y^2\right)\,.\]

    Nejnižší možné hladiny jsou

    \[\hspace{30px}E_{11}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{4ma^2}\,,\]

    \[\hspace{30px}E_{12}=E_{21}=\frac{5\pi^2 \hbar^2}{8ma^2}\,,\]

    \[\hspace{30px}E_{22}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{ma^2}\,,\]

    \(\hspace{30px}E_{13}=E_{31}=\frac{5\pi^2 \hbar^2}{4ma^2}\) atd.

    Hodnota \(\frac{3\pi^2 \hbar^2}{4ma^2}\,\) je větší než E12, ale menší než E22. Diskrétní spektrum energií

    stacionárních stavů je jednoznačně dané, proto se částice nemůže nacházet ve vlastním stavu s energií rovnou uvedené hodnotě. Pokud se ale zaměříme na střední hodnoty energie, pak existuje spousta nestacionárních stavů, pro které je zadaná energie právě touto střední hodnotou.

  • Odpovědi

    a) Možné energie jsou diskrétní \(E_{x_n}=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{8ma^2}\), n = 1, 2, ..., libovolná \(E_y \ge 0\) a celková \(E \ge \frac{\pi^2 \hbar^2}{8ma^2}\).

     

    c) Energie \(E_x = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}\) a energie \(E_y=E\,-\,\frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}\).

     

    d) Hledaná (nenormovaná) vlnová funkce má tvar

    \[\Psi(x,y,t)=\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,\left(A\,\sin(k_y y)\,+\,B\,\cos(k_y y)\right)\,e^{-\frac{iE t}{\hbar}}\,,\]

    kde \[k_y=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}\,-\,\frac{\pi^2}{a^2}}\,\] a A, B jsou nějaká komplexní čísla.

     

    e) Hledaná (nenormovaná) vlnová funkce má tvar

    \[\Psi(x,y,t)=\cos\left(\frac{\pi x}{2a}\right)\,\left[A\,\sin\left(\frac{\pi y}{2a}\right)\,+\,B\,\cos\left(\frac{\pi y}{2a}\right)\right]\,e^{-\frac{iE t}{\hbar}}\,,\]

    kde \(E=\frac{\pi^2 \hbar^2}{4ma^2}\,\) a A, B jsou nějaká komplexní čísla.

     

    f) Celková energie částice nemůže nabývat hodnoty \(\frac{3\pi^2 \hbar^2}{4ma^2}\), neboť ta neodpovídá žádné z možných hladin diskrétního energetického spektra.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze