Vyzařování a voltampérová charakteristika žárovky
Úloha číslo: 614
Pro běžnou žárovku neplatí, že by proud, který jí prochází, byl přímo úměrný napětí (tj. voltampérová charakteristika žárovky není lineární), protože v důsledku průchodu elektrického proudu se vlákno žárovky zahřívá, a tím se zvětšuje jeho elektrický odpor. Pokud je teplota vlákna podstatně větší než teplota okolí, můžeme předpokládat:
Určete závislost proudu procházejícího žárovkou na připojeném napětí.
Nápověda 1
Vztah mezi napětím U a proudem I popisuje Ohmův zákon
\[I = \frac{U}{R}.\]Do tohoto vztahu je třeba dosadit vztah pro odpor R, kteý závisí přímo úměrně na termodynamické teplotě vlákna T, tj.
\[ R=AT,\]kde A je konstanta.
Zbývá vyjádřit závislost termodynamické teploty vlákna T na proudu a napětí.
Nápověda 2
V ustáleném stavu platí, že výkon elektrického proudu Pel
\[ P_{el}=UI\]se rovná vyzařovanému výkonu Pz, který pro dokonale černé těleso popisuje Stefanův-Boltzmannův zákon
\[ P_z=\sigma ST^4,\]kde σ = 5,67·10−8 Wm−2K−4 je tzv. Stefanova-Boltzmannova konstanta a S plocha.
Odsud můžeme vyjádřit teplotu vlákna.
Rozbor
Pokud by nedocházelo ke změně elektrického odporu vlákna žárovky, potom by proud byl úměrný napětí. Se zvětšujícím se proudem se ale vlákno žárovky stále více a více zahřívá, a tím roste jeho elektrický odpor. Proud narůstá pomaleji než by odpovídalo situaci s konstantním odporem vlákna.
Elektrický proud procházející vláknem žárovky zde uvolňuje Joulovo teplo, které vlákno ohřívá. Vlákno žárovky zároveň vyzařuje do okolí energii ve formě záření. Množství vyzařované energie je úměrné T 4 (za předpokladu, že se vlákno chová jako dokonale černé těleso, tzv. Stefanův-Boltzmannův zákon), kde T je termodynamická teplota. Odsud tedy můžeme vyjádřit vztah pro teplotu v závislosti na elektrickém napětí a proudu. Tento vztah potom dosadíme do Ohmova zákona.
Řešení
V ustáleném stavu platí, že výkon elektrického proudu Pel se rovná vyzařovanému výkonu Pz.
Výkon elektrického proudu je dán součinem napětí U a proudu I:
\[P_{el}=UI .\]Vyzařovaný výkon dokonale černého tělesa popisuje Stefanův-Boltzmannův zákon
\[P_{z}=σST^{4} ,\]kde σ = 5,67·10−8 Wm−2K−4 je tzv. Stefanova-Boltzmannova konstanta a S plocha. Odsud můžeme vyjádřit teplotu vlákna:
\[UI=\sigma ST^4\] \[T=\sqrt[4]{\frac{UI}{\sigma S}}.\]Máme vyjádřit závislost proudu I na napětí U. Tu popisuje Ohmův zákon:
\[I=\frac{U}{R},\]kde elektrický odpor R je podle zadání úměrný termodynamické teplotě (neznámou konstantu úměrnosti označíme A): \(R=AT\).
Vztah pro elektrický odpor R a termodynamickou teplotu T dosadíme do Ohmova zákona:
\[I=\frac{U}{AT}=\frac{U}{A\sqrt[4]\frac{UI}{\sigma S}}\]a vyjádříme proud I:
\[I=\frac{U}{A}\sqrt[4]{\frac{\sigma S}{UI}}\hspace{15px}/^4\] \[I^4=\frac{U^4}{A^4}\,\frac{\sigma S}{UI}\] \[I^5=\frac{\sigma S}{A^4}U^3\hspace{15px}/\sqrt[5]{()}\] \[I=\sqrt[5]{\frac{\sigma S}{A^4}}\,U^{\frac{3}{5}}\] \[I=CU^{\frac{3}{5}}.\]V posledním vztahu jsme kombinaci konstant A, S a σ označili jako C. Jedná se o konstantu charakterizující danou žárovku. Dále z posledního vztahu také vidíme, že se zvětšujícím se napětím opravdu proud roste pomaleji, než by odpovídalo přímé úměrnosti.
Odpověď
Při teplotách výrazně vyšších než teplota okolí je proud procházející žárovkou úměrný \(U^{\frac{3}{5}} .\)
