Vyzařování a voltampérová charakteristika žárovky

Úloha číslo: 614

Pro běžnou žárovku neplatí, že by proud, který jí prochází, byl přímo úměrný napětí (tj. voltampérová charakteristika žárovky není lineární), protože v důsledku průchodu elektrického proudu se vlákno žárovky zahřívá, a tím se zvětšuje jeho elektrický odpor. Pokud je teplota vlákna podstatně větší než teplota okolí, můžeme předpokládat:

• Jeho teplota je dána rovnováhou mezi Joulovým teplem vzniklým průchodem elektrického proudu a energií vyzářenou do okolí. Vlákno žárovky lze považovat za dokonale černé těleso.

• Elektrický odpor vlákna žárovky je přímo úměrný termodynamické teplotě.

Určete závislost proudu procházejícího žárovkou na připojeném napětí.

  • Nápověda 1

    Vztah mezi napětím U a proudem I popisuje Ohmův zákon

    \[I = \frac{U}{R}.\]

    Do tohoto vztahu je třeba dosadit vztah pro odpor R, kteý závisí přímo úměrně na termodynamické teplotě vlákna T, tj.

    \[ R=AT,\]

    kde A je konstanta.

    Zbývá vyjádřit závislost termodynamické teploty vlákna T na proudu a napětí.

  • Nápověda 2

    V ustáleném stavu platí, že výkon elektrického proudu Pel

    \[ P_{el}=UI\]

    se rovná vyzařovanému výkonu Pz, který pro dokonale černé těleso popisuje Stefanův-Boltzmannův zákon

    \[ P_z=\sigma ST^4,\]

    kde σ = 5,67·10−8 Wm−2K−4 je tzv. Stefanova-Boltzmannova konstanta a S plocha.

    Odsud můžeme vyjádřit teplotu vlákna.

  • Rozbor

    Pokud by nedocházelo ke změně elektrického odporu vlákna žárovky, potom by proud byl úměrný napětí. Se zvětšujícím se proudem se ale vlákno žárovky stále více a více zahřívá, a tím roste jeho elektrický odpor. Proud narůstá pomaleji než by odpovídalo situaci s konstantním odporem vlákna.

    Elektrický proud procházející vláknem žárovky zde uvolňuje Joulovo teplo, které vlákno ohřívá. Vlákno žárovky zároveň vyzařuje do okolí energii ve formě záření. Množství vyzařované energie je úměrné T 4 (za předpokladu, že se vlákno chová jako dokonale černé těleso, tzv. Stefanův-Boltzmannův zákon), kde T je termodynamická teplota. Odsud tedy můžeme vyjádřit vztah pro teplotu v závislosti na elektrickém napětí a proudu. Tento vztah potom dosadíme do Ohmova zákona.

  • Řešení

    V ustáleném stavu platí, že výkon elektrického proudu Pel se rovná vyzařovanému výkonu Pz.

    Výkon elektrického proudu je dán součinem napětí U a proudu I:

    \[P_{el}=UI .\]

    Vyzařovaný výkon dokonale černého tělesa popisuje Stefanův-Boltzmannův zákon

    \[P_{z}=σST^{4} ,\]

    kde σ = 5,67·10−8 Wm−2K−4 je tzv. Stefanova-Boltzmannova konstanta a S plocha. Odsud můžeme vyjádřit teplotu vlákna:

    \[UI=\sigma ST^4\] \[T=\sqrt[4]{\frac{UI}{\sigma S}}.\]

    Máme vyjádřit závislost proudu I na napětí U. Tu popisuje Ohmův zákon:

    \[I=\frac{U}{R},\]

    kde elektrický odpor R je podle zadání úměrný termodynamické teplotě (neznámou konstantu úměrnosti označíme A): \(R=AT\).

    Vztah pro elektrický odpor R a termodynamickou teplotu T dosadíme do Ohmova zákona:

    \[I=\frac{U}{AT}=\frac{U}{A\sqrt[4]\frac{UI}{\sigma S}}\]

    a vyjádříme proud I:

    \[I=\frac{U}{A}\sqrt[4]{\frac{\sigma S}{UI}}\hspace{15px}/^4\] \[I^4=\frac{U^4}{A^4}\,\frac{\sigma S}{UI}\] \[I^5=\frac{\sigma S}{A^4}U^3\hspace{15px}/\sqrt[5]{()}\] \[I=\sqrt[5]{\frac{\sigma S}{A^4}}\,U^{\frac{3}{5}}\] \[I=CU^{\frac{3}{5}}.\]

    V posledním vztahu jsme kombinaci konstant A, S a σ označili jako C. Jedná se o konstantu charakterizující danou žárovku. Dále z posledního vztahu také vidíme, že se zvětšujícím se napětím opravdu proud roste pomaleji, než by odpovídalo přímé úměrnosti.

  • Odpověď

    Při teplotách výrazně vyšších než teplota okolí je proud procházející žárovkou úměrný \(U^{\frac{3}{5}} .\)

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Zaslat komentář k úloze