Sbírka řešených úloh

Klasický model spinu

Úloha číslo: 4328

• Potřebné konstanty

  \(m\) = 9,11·10-34 kg	hmotnost elektronu
  \(\varepsilon_\mathrm{0}\) = 8,85·10-12 F m−1	permitivita vakua
  \(\hbar\) = 1,055·10-34 J s-1	redukovaná Planckova konstanta
  \(e\) = 1,6·10-19 C	velikost elementárního náboje
  \(c\) = 3·108 m s-1	rychlost světla ve vakuu

• Nápověda 1

  Vyhledejte, jak souvisí moment hybnosti s úhlovou rychlostí, resp. s obvodovou rychlostí bodu na rovníku koule.

• Řešení nápovědy 1

  Velikost momentu hybnosti vzhledem k ose rotace je dána vztahem

  \[ \hspace{40px}L=J\omega \, , \]

  kde \(J\) je moment setrvačnosti vzhledem k ose rotace a \(\omega\) je úhlová rychlost.

  Pro kouli s poloměrem \(r_\mathrm{c}\) je velikost úhlové rychlosti rovna \(\omega = \frac{v}{r}\), kde \(v\) je obvodová rychlost bodu na rovníku.

  Celkově tedy

  \[ L=J \frac{v}{r_\mathrm{c}} \, . \]

• Nápověda 2

  Připomeňte si nebo vyhledejte, jak určit moment setrvačnosti koule \(J\).

• Řešení nápovědy 2

  Vyjdeme z obecného vztahu pro moment setrvačnosti tuhého tělesa

  \[ J = \int_{\mathrm{V}} \rho R^\mathrm{2} \, \mathrm{d}V \, , \]

  kde \(R\) je vzdálenost objemového elementu \(\mathrm{d}V\) od osy rotace.

  Kouli lze nejsnáze popsat ve sférických souřadnicích. Pro přechod z kartézských souřadnic ke sférickým platí vztahy

  \[x=r \sin \theta \cos \varphi \, ,\] \[y=r \sin \theta \sin \varphi \, ,\] \[z=r \cos \theta \, .\]

  Jelikož je moment setrvačnosti koule stejný vůči všem osám, které procházejí jejím středem, zvolíme si osu rotace tak, aby vyjádření vzdálenosti od osy rotace \(R\) bylo co nejjednodušší. Volíme tedy osu \(z\) a díky tomu platí \(R=r\sin \theta\).

  Dále potřebujeme určit objemový element \(\mathrm{d}V\). Ten má ve sférických souřadnicích tvar

  \[ \mathrm{d}V = r^{\mathrm{2}} \sin \theta \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi \, . \]

  Objemový integrál jsme tedy převedli na trojný integrál. Posledním krokem před přímým výpočtem je stanovení integračních mezí. Jelikož integrujeme přes celou kouli, musí se \(r\) měnit od nuly do poloměru koule \(r_\mathrm{c}\), úhel \(\theta\) má hodnoty od nuly do \(π\) a úhel \(\varphi\) nabývá hodnot od nuly do \(2π\).

  Nyní dosadíme do obecného vztahu pro moment setrvačnosti a provedeme výpočet

  \[ J=\int_{0}^{2π}\int_{0}^{r_\mathrm{c}}\int_{0}^{\pi} \rho\, (r \sin\theta)^2r^2 \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\varphi = [\varphi]_0^{2\pi} \rho \int_{0}^{r_\mathrm{c}}\int_{0}^{\pi} r^4 \sin ^3 \theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}r = \] \[ = 2 \pi \rho \left [\frac{r^5}{5} \right] _0^{r_c}\int_{0}^{\pi} \sin ^3 \theta \, \mathrm{d}\theta = \frac{2}{5} \pi \rho r_c^5 \int_{0}^{\pi} (1-\cos ^2 \theta) \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \, . \]

  Nyní provedeme substituci: \(\cos\theta = u\), tedy \(\sin\theta = - \mathrm{d}u\).

  Dále je třeba přepočítat integrační meze: \(\theta = 0\) → \(u=1\), \(\theta = \pi\) → \(u=-1\).

  Po dosazení a úpravě získáme

  \[ J=\frac{2}{5} \rho \pi r_c^5 \int_{-1}^{1} (1-u^2) \, \mathrm{d}u = \frac{2}{5} \rho \pi r_c^5 \left [u-\frac{u^3}{3} \right]_{-1}^1 = \frac{2}{5} \rho \frac{4}{3} \pi r_c^5 \, . \]

  Na závěr využijeme vzorec pro objem koule \(V=\frac{4}{3} \pi r_\mathrm{c}^3\) a vztah pro hmotnost \(m=\rho V\), čímž dostaneme

  \[ J=\frac{2}{5}\rho V r_\mathrm{c}^2=\frac{2}{5}mr_\mathrm{c}^2 \, . \]

• Řešení

  Využijeme vztah mezi momentem hybnosti \(L\) a úhlovou rychlostí \(\omega\) \[ L = J \omega \, , \] kde \(J\) je moment setrvačnosti a vyjádříme obvodovou rychlost \(v = r_\mathrm{c} \, \omega\) jako

  \[ v=r_\mathrm{c} \frac{L}{J} \, . \]

  Moment setrvačnosti tuhé koule \(J = \frac{2}{5}mr_\mathrm{c}^2\) (viz řešení 2. nápovědy výše) dosadíme do vztahu pro obvodovou rychlost a upravíme

  \[ v=r_\mathrm{c} \frac{\frac{\hbar}{2}}{\frac{2}{5}mr_\mathrm{c}^2}= \frac{5 \hbar}{4mr_\mathrm{c}} \, . \]

  Do tohoto vztahu nyní dosadíme za poloměr \(r_c\), upravíme a vyčíslíme hodnotu rychlosti

  \[ v= \frac{5 \hbar}{4m \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_\mathrm{0} m\mathrm{c}^2}} = \frac{5 \pi \varepsilon_\mathrm{0} \hbar c^2}{e^2} \dot=  5{,}15·10^{10} \mathrm{m s^{-1}} \, . \]

• Odpověď

  Nejrychlejší bod na povrchu elektronu by se pohyboval rychlostí 5,15\(\cdot\)10¹⁰ m s^-1.

  Toto je rychlost přibližně stokrát větší než rychlost světla. Jelikož jsme počítali nerelativisticky, nemůžeme učinit závěr, že je to nemožné. V relativistickém výpočtu by nám při stejném momentu hybnosti vyšla jiná úhlová rychlost (podobně jako při stejné hybnosti dává klasický a relativistický výpočet různé rychlosti). Ale přesto je to indicie, že tento model nevypadá realisticky.

• Komentář – odvození klasického poloměru elektronu

  Klasický poloměr elektronu odvodíme za předpokladu, že enegie jeho elektrostatického pole odpovídá jeho klidové energii \(E = m {c}^2\).

  Elektron uvažujeme jako tuhou kuličku s elementárním nábojem \(e\) rovnoměrně rozmístěným na povrchu. Energii \(E_\mathrm{p}\) jeho elektrostatického pole určíme dle vztahu

  \[ E_\mathrm{p} = e \varphi \, , \]

  kde \(\varphi\) je elektrický potenciál.

  Vzhledem k rozmístění náboje dosadíme do tohoto vztahu elektrický potenciál na povrchu rovnoměrně nabité sféry s poloměrem \(r_\mathrm{c}\), který známe z úlohy Pole rovnoměrně nabité sféry a víme odtud, že odpovídá potenciálu bodového náboje ve středu koule. Celkově je tedy enegie elektrostatického pole elektronu

  \[ E_\mathrm{p} = e \frac{e}{4 \pi \varepsilon_\mathrm{0}} \, \frac{1}{r_\mathrm{c}} = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_\mathrm{0}} \, \frac{1}{r_\mathrm{c}} \, . \]

  Tuto hodnotu nyní porovnáme s klidovou energií energií elektronu a vyjádříme si poloměr \(r_\mathrm{c}\)

  \[ E_\mathrm{p} = E \, , \] \[ \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_\mathrm{0}} \, \frac{1}{r_\mathrm{c}} = m {c}^2 \, , \] \[ r_\mathrm{c} = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 m{c}^2} \, . \]

  Dostali jsme vztah uvedený v zadání úlohy.