Klasický model spinu

Úloha číslo: 4328

Uvažujme klasický obraz elektronu jako tuhé kuličky rotující kolem své osy s poloměrem

\[ r_\mathrm{c} = \frac{e^\mathrm{2}}{4 \pi \varepsilon_\mathrm{0} mc^\mathrm{2}}  \dot =  2{,}81·10^{\mathrm{-15}}  \mathrm{m} \, . \]

Jedná se o tzv. klasický poloměr elektronu, získaný za předpokladu, že hmotnost elektronu souvisí s energií jeho elektrostatického pole dle vztahu \(E=m{c^\mathrm{2}}\). Uvažujme dále, že se otáčí s momentem hybnosti o velikosti \(\frac{\hbar}{2}\). Jak rychle (v m s-1) by se pohyboval bod na „rovníku“ elektronu (tj. na průsečnici povrchu tělesa s rovinou procházející středem tělesa, kolmou k ose rotace)? Dává tento model smysl?

Pozn.: Experimentálně byla určena skutečná hodnota poloměru elektronu ještě mnohem menší než \(r_\mathrm{c}\), ale to situaci jen zhoršuje.

  • Potřebné konstanty

    \(m\) = 9,11·10-34 kg hmotnost elektronu
    \(\varepsilon_\mathrm{0}\) = 8,85·10-12 F m−1 permitivita vakua
    \(\hbar\) = 1,055·10-34 J s-1 redukovaná Planckova konstanta
    \(e\) = 1,6·10-19 C velikost elementárního náboje
    \(c\) = 3·108 m s-1 rychlost světla ve vakuu
  • Nápověda 1

    Vyhledejte, jak souvisí moment hybnosti s úhlovou rychlostí, resp. s obvodovou rychlostí bodu na rovníku koule.

  • Nápověda 2

    Připomeňte si nebo vyhledejte, jak určit moment setrvačnosti koule \(J\).

  • Řešení

    Využijeme vztah mezi momentem hybnosti \(L\) a úhlovou rychlostí \(\omega\) \[ L = J \omega \, , \] kde \(J\) je moment setrvačnosti a vyjádříme obvodovou rychlost \(v = r_\mathrm{c} \, \omega\) jako

    \[ v=r_\mathrm{c} \frac{L}{J} \, . \]

    Moment setrvačnosti tuhé koule \(J = \frac{2}{5}mr_\mathrm{c}^2\) (viz řešení 2. nápovědy výše) dosadíme do vztahu pro obvodovou rychlost a upravíme

    \[ v=r_\mathrm{c} \frac{\frac{\hbar}{2}}{\frac{2}{5}mr_\mathrm{c}^2}= \frac{5 \hbar}{4mr_\mathrm{c}} \, . \]

    Do tohoto vztahu nyní dosadíme za poloměr \(r_c\), upravíme a vyčíslíme hodnotu rychlosti

    \[ v= \frac{5 \hbar}{4m \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_\mathrm{0} m\mathrm{c}^2}} = \frac{5 \pi \varepsilon_\mathrm{0} \hbar c^2}{e^2} \dot=  5{,}15·10^{10} \mathrm{m s^{-1}} \, . \]
  • Odpověď

    Nejrychlejší bod na povrchu elektronu by se pohyboval rychlostí 5,15\(\cdot\)1010 m s-1.

    Toto je rychlost přibližně stokrát větší něž rychlost světla. Jelikož jsme počítali nerelativisticky, nemůžeme učinit závěr, že je to nemožné. V relativistickém výpočtu by nám při stejném momentu hybnosti vyšla jiná úhlová rychlost (podobně jako při stejné hybnosti dává klasický a relativistický výpočet různé rychlosti). Ale přesto je to indicie, že tento model nevypadá realisticky.

  • Komentář – odvození klasického poloměru elektronu

    Klasický poloměr elektronu odvodíme za předpokladu, že enegie jeho elektrostatického pole odpovídá jeho klidové energii \(E = m {c}^2\).

    Elektron uvažujeme jako tuhou kuličku s elementárním nábojem \(e\) rovnoměrně rozmístěným na povrchu. Energii \(E_\mathrm{p}\) jeho elektrostatického pole určíme dle vztahu

    \[ E_\mathrm{p} = e \varphi \, , \]

    kde \(\varphi\) je elektrický potenciál.

    Vzhledem k rozmístění náboje dosadíme do tohoto vztahu elektrický potenciál na povrchu rovnoměrně nabité sféry s poloměrem \(r_\mathrm{c}\), který známe z úlohy Pole rovnoměrně nabité sféry a víme odtud, že odpovídá potenciálu bodového náboje ve středu koule. Celkově je tedy enegie elektrostatického pole elektronu

    \[ E_\mathrm{p} = e \frac{e}{4 \pi \varepsilon_\mathrm{0}} \, \frac{1}{r_\mathrm{c}} = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_\mathrm{0}} \, \frac{1}{r_\mathrm{c}} \, . \]

    Tuto hodnotu nyní porovnáme s klidovou energií energií elektronu a vyjádříme si poloměr \(r_\mathrm{c}\)

    \[ E_\mathrm{p} = E \, , \] \[ \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_\mathrm{0}} \, \frac{1}{r_\mathrm{c}} = m {c}^2 \, , \] \[ r_\mathrm{c} = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 m{c}^2} \, . \]

    Dostali jsme vztah uvedený v zadání úlohy.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Původní zdroj: GRIFFITHS, David J. Introduction to Quantum Mechanics. 2nd ed. Upper Saddle
River: Pearson Prentice Hall, 2005
×Původní zdroj: GRIFFITHS, David J. Introduction to Quantum Mechanics. 2nd ed. Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall, 2005
Zaslat komentář k úloze