Sbírka řešených úloh

Zachování neurčitosti hybnosti

Úloha číslo: 895

• Poznámka

  Úloha odpovídá například přechodu od jámy v klidu k jámě v pohybu. Šířka jámy se nemění, střední hodnota souřadnice vzhledem ke stěnám jámy se nemění, střední hodnota hybnosti vzhledem ke stěnám jámy se nemění, relace neurčitosti se nemění.

• Nápověda

  Operátor hybnosti má v tomto případě tvar \(\hat p = -i \hbar {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x}\) .

  Střední hodnota veličiny A, které přísluší operátor \(\hat A\), ve stavu ψ je dána vztahem

  \[\langle A \rangle = \langle \psi| \hat A \psi \rangle =\int_0^L \psi^*(x) \hat A \psi(x) \mathrm{d} x\,.\]

  Neurčitost A je pak dána vztahem

  \[\Delta A = \sqrt{\langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2}\,.\]

• Řešení

  Napišme si nejprve střední hodnoty hybnosti v obou stavech. Ve stavu ψ je

  \[\langle p \rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \psi^{\ast}(x) (-i \hbar) {\mathrm{d} \psi(x) \over \mathrm{d} x} \mathrm{d} x = -i \hbar \int\limits_{-\infty}^{\infty} \psi^{\ast}(x) {\mathrm{d} \psi(x) \over \mathrm{d} x} \mathrm{d} x\,.\]

  Ve stavu \(\tilde{\psi}(x)\) je

  \[\langle \tilde{p} \rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty} {\tilde\psi}^{\ast}(x) (-i \hbar) {\mathrm{d} \tilde\psi(x) \over \mathrm{d} x} \mathrm{d} x =\]

  dosadíme a provedeme derivaci

  \[=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-i{p_0 x \over \hbar}} \psi^{\ast}(x) (-i \hbar) \left[ {ip_0 \over \hbar} \mathrm{e}^{i{p_0 x \over \hbar}} \psi(x) + \mathrm{e}^{i{p_0 x \over \hbar}} {\mathrm{d} \psi(x) \over \mathrm{d} x} \right] \mathrm{d} x = \]

  roznásobíme závorku a vynásobíme exponenciály

  \[= p_0 \int\limits_{-\infty}^{\infty} \psi^{\ast}(x) \psi(x) \mathrm{d} x -i \hbar \int\limits_{-\infty}^{\infty} \psi^{\ast}(x) {\mathrm{d} \psi(x) \over \mathrm{d} x} \mathrm{d} x\,.\]

  Integrál v prvním členu je díky normovanosti ψroven jedné. Druhý člen je roven střední hodnotě impulzu v prvním stavu. Dostáváme tedy

  \[\langle \tilde{p} \rangle = p_0 + \langle p \rangle\,.\]

  Ukázali jsme tedy, že se střední hodnoty impulzů v obou stavech nazájem liší. Pro výpočet neurčitostí teď ještě stejným způsobem vyjádříme střední hodnoty kvadrátů impulzů v obou stavech.

  \[\langle p^2 \rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \psi^{\ast}(x) (-\hbar^2) {\mathrm{d}^2 \psi(x) \over \mathrm{d} x^2} \mathrm{d} x = -\hbar^2 \int\limits_{-\infty}^{\infty} \psi^{\ast}(x) {\mathrm{d}^2 \psi(x) \over \mathrm{d} x^2} \mathrm{d} x \]

  a pro druhý stav

  \[\langle {\tilde{p}}^2 \rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty} {\tilde\psi}^{\ast}(x) (-\hbar^2) {\mathrm{d}^2 \tilde\psi(x) \over \mathrm{d} x^2} \mathrm{d} x =\]

  dosadíme, zderivujeme a upravíme

  \[= \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-i{p_0 x \over \hbar}} \psi^{\ast}(x) (-\hbar^2)\,\cdot \,\left[ \left( {ip_0 \over \hbar} \right)^2 \mathrm{e}^{i{p_0 x \over \hbar}} \psi(x) + 2 {ip_0 \over \hbar} \mathrm{e}^{i{p_0 x \over \hbar}} {\mathrm{d} \psi(x) \over \mathrm{d} x} + \mathrm{e}^{i{p_0 x \over \hbar}} {\mathrm{d}^2 \psi(x) \over \mathrm{d} x^2} \right] \mathrm{d}x =\] \[= {p_0}^2 \int\limits_{-\infty}^{\infty} \psi^{\ast}(x) \psi(x) \mathrm{d} x - 2 p_0 ~i \hbar \int\limits_{-\infty}^{\infty} \psi^{\ast}(x) {\mathrm{d} \psi(x) \over \mathrm{d} x} \mathrm{d} x -\hbar^2 \int\limits_{-\infty}^{\infty} \psi^{\ast}(x) {\mathrm{d}^2 \psi(x) \over \mathrm{d} x^2} \mathrm{d} x\,.\]

  S využitím normovanosti vlnové funkce ψ dostáváme

  \[\langle {\tilde{p}}^2 \rangle = {p_0}^2 + 2 p_0 \langle p \rangle + \langle p^2 \rangle\,.\]

   

  Teď vyjádříme neurčitost hybnosti v druhém stavu

  \[\mathrm{\Delta} \tilde{p} = \sqrt{ \langle {\tilde{p}}^2 \rangle - \langle \tilde{p} \rangle^2 } = \sqrt{ {p_0}^2 + 2 p_0 \langle p \rangle + \langle p^2 \rangle - \left( p_0 + \langle p \rangle \right)^2 } =\sqrt{ \langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2 }= \Delta p\]

  a dostali jsme, že se neurčitost rovná neurčitosti ve stavu prvním, což bylo naším úkolem.