Hladiny energie v nekonečné jámě
Úloha číslo: 617
Částice o hmotnosti m uvězněná v nekonečně hluboké jednorozměrné potenciálové jámě šířky L může nabývat diskrétních energií
\[\hspace{40px}E_n=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} ,\hspace{30px}n=1, 2, 3, ...\ .\]
(Podrobné odvození najdete v úloze Symetrická nekonečná pravoúhlá jáma této sbírky.)
1) Určete energetický rozdíl hladin s kvantovými čísly n a n + 1.
2) Zvětšuje se tento rozdíl s rostoucím n, nebo se naopak zmenšuje?
3) Je rozdíl energií mezi některými dvěma po sobě následujícími hladinami větší, než je energie nižší z nich?
Řešení 1
Energetický rozdíl hladin s kvantovými čísly n a n + 1 je roven
\[{\Delta} E_n=E_{n+1}-E_n ,\] \[{\Delta} E_n=\frac{(n+1)^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,-\,\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} ,\] \[{\Delta} E_n=\frac{(2n+1)\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} .\]Řešení 2
Rozdíl \({\Delta} E_n=\frac{(2n+1)\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\) se s rostoucím n zvětšuje.
Nápověda ke 3
Hledáme taková n přirozená, pro která by bylo
\[\hspace{42px}{\Delta} E_n \,>\, E_n\] neboli \[\frac{(2n+1)\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \,>\, \frac{n^2\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} .\]Řešení 3
Hledáme taková n přirozená, pro která je
\[\frac{(2n+1)\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,>\,\frac{n^2\pi^2 \hbar^2}{2mL^2},\]
\[2n+1\,>\,n^2 ,\]
\[0\,>\,n^2-2n-1 .\]
\(\hspace{40px}D=4+4=8\) a kořeny \(n_{1{,}2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2} .\)
Nerovnost můžeme přepsat do tvaru
\[\hspace{75px}0\,>\,\left(n-1+\sqrt{2}\right)\left(n-1-\sqrt{2}\right) .\]Součin na pravé straně nabývá záporných hodnot pro n z intervalu (1 − √2 , 1 + √2), výchozí nerovnost proto platí pouze pro reálná čísla z intervalu (1 − √2 , 1 + √2), tj. pro přirozená čísla 1 a 2.
Ověření výsledku
Pro zkoušku se můžeme přesvědčit, že skok mezi E1 a E2 je opravdu větší než E1, skok mezi E2 a E3 je opravdu větší než E2, ale dál už energie roste rychleji, než rozdíl mezi jednotlivými hladinami (kvadraticky vs. lineárně).
\[E_1=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\] \[E_2=4\,\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\] \[E_3=9\,\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\] \[E_4=16\,\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\]
\[{\Delta} E_1=3\,\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,>\,E_1\] \[{\Delta} E_2=5\,\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,>\,E_2\] \[{\Delta} E_3=7\,\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,<\,E_3\]
