Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Porucha periodická v čase

Úloha číslo: 2293

Uvažujme systém nacházející se v čase t=0 ve vlastním stavu |i neporušeného hamiltoniánu ˆH0. Vypočítejte pravděpodobnost přechodu systému v časovém intervalu (0,τ) z počátečního stavu do stavu |j vlivem poruchy s periodickým časovým průběhem ve tvaru

ˆV=ˆϑeiωt+ˆϑeiωt,

kde ˆϑˆϑ jsou obecné, navzájem hermitovsky sdružené operátory, vyjádřené pomocí ˆxˆp.

  • Nápověda 1 – Princip nestacionární poruchové metody

    Připomeňte si princip nestacionární poruchové metody v kvantové mechanice. Nemáte-li přístup k vlastním poznámkám, můžete nahlédnout v sekci Časově konstantní porucha, Řešení nápovědy 1 na její stručné zopakování.

  • Řešení

    Zajímá nás pravděpodobnost přechodu systému vlivem zadané poruchy do vlastního stavu |j. Spočítejme proto koeficient c(p)j(t), který stojí před vlastním stavem |j v lineární kombinaci pro konečný stav systému při vypnutí poruchy. Dosaďme do vzorce, který platí v prvním řádu poruchové teorie

    c(p)j(τ)=1iτ0j|ˆV(t)ieiEjEitdt.

    Označme

    j|ˆϑi=ϑji, j|ˆϑi=ϑji, EjEi=ωji.

    Díky hermitovosti operátorů platí

    ϑji=j|ˆϑi=ˆϑj|i=i|ˆϑj=ϑij.

    Dosaďme nyní do vzorce pro výpočet koeficientu c(p)j(τ) tvar uvažované poruchy

    c(p)j(τ)=1iτ0j|(ˆϑeiωt+ˆϑeiωt)ieiωjitdt

    A spočtěme integrál

    c(p)j(τ)=1iτ0j|ˆϑieiωteiωjitdt+1iτ0 j|ˆϑieiωteiωjitdt= =1iτ0ϑjiei(ωji+ω)tdt+1iτ0ϑjiei(ωjiω)tdt=1iϑji[ei(ωji+ω)ti(ωji+ω)]τ0+1iϑij[ei(ωjiω)ti(ωjiω)]τ0= =1ϑji(ei(ωji+ω)τ1ωji+ω)+1ϑij(ei(ωjiω)τ1ωjiω)= =1ϑjiei(ωji+ω)2τ(ei(ωji+ω)2τei(ωji+ω)2τωji+ω)+1ϑijei(ωjiω)2τ(ei(ωjiω)2τei(ωjiω)2τωjiω)= =2iϑjiei(ωji+ω)2τ(sin((ωji+ω)2τ)ωji+ω)+2iϑijei(ωjiω)2τ(sin((ωjiω)2τ)ωjiω)= =ieiωji2τ[ϑjieiω2τ(sin(ωji+ω2τ)ωji+ω2)+ϑijeiω2τ(sin(ωjiω2τ)ωjiω2)].

    Pravděpodobnost přechodu tedy je

    Pij=|c(p)j(τ)|2=12|ϑjieiω2τ(sin(ωji+ω2τ)ωji+ω2)+ϑijeiω2τ(sin(ωjiω2τ)ωjiω2)|2.

    Z grafu funkce sin(x)x vidíme, že funkce nabývá nezanedbatelných hodnot jen na okolí nuly.

    Obr. 1: Graf funkce (sin(x))/x

     

    Omezíme-li se na ωji taková, že

    ωjiω2ωji+ω2,

    neboli

    ωjiω,

    tedy můžeme zanedbat první člen vystupující ve výrazu pro pravděpodobnost přechodu. Pravděpodobnost přechodu pro ωji blízká ω je přibližně

    Pij|ϑij|22|sin(ωjiω2τ)ωjiω2|2.

    Navíc můžeme psát

    ωjiω0EjEi+ω.

    Poslední výraz znamená, že systém přejde do stavu s energií větší o ω, což můžeme interpretovat jako absorpci fotonu dopadajícího záření o energii ω.

     

    Podobně můžeme postupovat pro

    ωjiω,

    můžeme zanedbat druhý člen vystupující ve výrazu pro pravděpodobnost přechodu. Pravděpodobnost přechodu pro ωji blízká ω je přibližně

    Pij|ϑji|22|sin(ωji+ω2τ)ωji+ω2|2.

    Analogicky k předchozímu případu je

    ωji+ω0EjEiω.

    Poslední výraz znamená snížení energie e ω a to můžeme interpretovat jako stimulovanou emisi fotonu o energii ω.

  • Odpověď

    Uvažujeme-li systém nacházející se v čase t=0 ve vlastním stavu |i neporušeného hamiltoniánu ˆH0, na který působí porucha ˆV periodická v čase

    ˆV=ˆϑeiωt+ˆϑeiωt,

    kde ˆϑˆϑ jsou obecné, navzájem hermitovsky sdružené operátory, vyjádřené pomocí ˆxˆp, pak je pravděpodobnost přechodu systému v časovém intervalu (0,τ) z počátečního stavu do stavu |j rovna

    Pij=|c(p)j(τ)|2=12|ϑjieiω2τ(sin(ωji+ω2τ)ωji+ω2)+ϑijeiω2τ(sin(ωjiω2τ)ωjiω2)|2,

    kde

    j|ˆϑi=ϑji, j|ˆϑi=ϑji=ϑij, EjEi=ωji.

    Pro speciální případ ωjiω jsou pravděpodobnosti přechodů a energie konečných stavů rovny

    Pij|ϑji|22|sin(ωji+ω2τ)ωji+ω2|2, EjEiω

    a pro ωjiω

    Pij|ϑij|22|sin(ωjiω2τ)ωjiω2|2, EjEi+ω.

    První případ můžeme interpretovat jako stimulovanou emisi fotonu o energii ω a druhý případ jako absorpci fotonu dopadajícího záření o energii ω.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze