Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Porucha periodická v čase
Úloha číslo: 2293
Uvažujme systém nacházející se v čase t=0 ve vlastním stavu |i⟩ neporušeného hamiltoniánu ˆH0. Vypočítejte pravděpodobnost přechodu systému v časovém intervalu (0,τ) z počátečního stavu do stavu |j⟩ vlivem poruchy s periodickým časovým průběhem ve tvaru
ˆV=ˆϑeiωt+ˆϑ†e−iωt,kde ˆϑ a ˆϑ† jsou obecné, navzájem hermitovsky sdružené operátory, vyjádřené pomocí ˆx a ˆp.
Nápověda 1 – Princip nestacionární poruchové metody
Připomeňte si princip nestacionární poruchové metody v kvantové mechanice. Nemáte-li přístup k vlastním poznámkám, můžete nahlédnout v sekci Časově konstantní porucha, Řešení nápovědy 1 na její stručné zopakování.
Řešení
Zajímá nás pravděpodobnost přechodu systému vlivem zadané poruchy do vlastního stavu |j⟩. Spočítejme proto koeficient c(p)j(t), který stojí před vlastním stavem |j⟩ v lineární kombinaci pro konečný stav systému při vypnutí poruchy. Dosaďme do vzorce, který platí v prvním řádu poruchové teorie
c(p)j(τ)=1iℏ∫τ0⟨j|ˆV(t)i⟩eiEj−Eiℏtdt.Označme
⟨j|ˆϑi⟩=ϑji, ⟨j|ˆϑ†i⟩=ϑ†ji, Ej−Eiℏ=ωji.Díky hermitovosti operátorů platí
ϑ†ji=⟨j|ˆϑ†i⟩=⟨ˆϑj|i⟩=⟨i|ˆϑj⟩∗=ϑ∗ij.Dosaďme nyní do vzorce pro výpočet koeficientu c(p)j(τ) tvar uvažované poruchy
c(p)j(τ)=1iℏ∫τ0⟨j|(ˆϑeiωt+ˆϑ†e−iωt)i⟩eiωjitdtA spočtěme integrál
c(p)j(τ)=1iℏ∫τ0⟨j|ˆϑi⟩eiωteiωjitdt+1iℏ∫τ0⟨ j|ˆϑ†i⟩e−iωteiωjitdt= =1iℏ∫τ0ϑjiei(ωji+ω)tdt+1iℏ∫τ0ϑ†jiei(ωji−ω)tdt=1iℏϑji[ei(ωji+ω)ti(ωji+ω)]τ0+1iℏϑ∗ij[ei(ωji−ω)ti(ωji−ω)]τ0= =−1ℏϑji(ei(ωji+ω)τ−1ωji+ω)+−1ℏϑ∗ij(ei(ωji−ω)τ−1ωji−ω)= =−1ℏϑjiei(ωji+ω)2τ(ei(ωji+ω)2τ−e−i(ωji+ω)2τωji+ω)+−1ℏϑ∗ijei(ωji−ω)2τ(ei(ωji−ω)2τ−e−i(ωji−ω)2τωji−ω)= =−2iℏϑjiei(ωji+ω)2τ(sin((ωji+ω)2τ)ωji+ω)+−2iℏϑ∗ijei(ωji−ω)2τ(sin((ωji−ω)2τ)ωji−ω)= =−iℏeiωji2τ[ϑjieiω2τ(sin(ωji+ω2τ)ωji+ω2)+ϑ∗ijei−ω2τ(sin(ωji−ω2τ)ωji−ω2)].Pravděpodobnost přechodu tedy je
Pi→j=|c(p)j(τ)|2=1ℏ2|ϑjieiω2τ(sin(ωji+ω2τ)ωji+ω2)+ϑ∗ijei−ω2τ(sin(ωji−ω2τ)ωji−ω2)|2.Z grafu funkce sin(x)x vidíme, že funkce nabývá nezanedbatelných hodnot jen na okolí nuly.
Omezíme-li se na ωji taková, že
ωji−ω2≪ωji+ω2,neboli
ωji≈ω,tedy můžeme zanedbat první člen vystupující ve výrazu pro pravděpodobnost přechodu. Pravděpodobnost přechodu pro ωji blízká ω je přibližně
Pi→j≐|ϑ∗ij|2ℏ2|sin(ωji−ω2τ)ωji−ω2|2.Navíc můžeme psát
ωji−ω≈0⇒Ej≈Ei+ℏω.Poslední výraz znamená, že systém přejde do stavu s energií větší o ℏω, což můžeme interpretovat jako absorpci fotonu dopadajícího záření o energii ℏω.
Podobně můžeme postupovat pro
ωji≈−ω,můžeme zanedbat druhý člen vystupující ve výrazu pro pravděpodobnost přechodu. Pravděpodobnost přechodu pro ωji blízká −ω je přibližně
Pi→j≐|ϑji|2ℏ2|sin(ωji+ω2τ)ωji+ω2|2.Analogicky k předchozímu případu je
ωji+ω≈0⇒Ej≈Ei−ℏω.Poslední výraz znamená snížení energie e ℏω a to můžeme interpretovat jako stimulovanou emisi fotonu o energii ℏω.
Odpověď
Uvažujeme-li systém nacházející se v čase t=0 ve vlastním stavu |i⟩ neporušeného hamiltoniánu ˆH0, na který působí porucha ˆV periodická v čase
ˆV=ˆϑeiωt+ˆϑ†e−iωt,kde ˆϑ a ˆϑ† jsou obecné, navzájem hermitovsky sdružené operátory, vyjádřené pomocí ˆx a ˆp, pak je pravděpodobnost přechodu systému v časovém intervalu (0,τ) z počátečního stavu do stavu |j⟩ rovna
Pi→j=|c(p)j(τ)|2=1ℏ2|ϑjieiω2τ(sin(ωji+ω2τ)ωji+ω2)+ϑ∗ijei−ω2τ(sin(ωji−ω2τ)ωji−ω2)|2,kde
⟨j|ˆϑi⟩=ϑji, ⟨j|ˆϑ†i⟩=ϑ†ji=ϑ∗ij, Ej−Eiℏ=ωji.Pro speciální případ ωji≈−ω jsou pravděpodobnosti přechodů a energie konečných stavů rovny
Pi→j≐|ϑji|2ℏ2|sin(ωji+ω2τ)ωji+ω2|2, Ej≈Ei−ℏωa pro ωji≈ω
Pi→j≐|ϑ∗ij|2ℏ2|sin(ωji−ω2τ)ωji−ω2|2, Ej≈Ei+ℏω.První případ můžeme interpretovat jako stimulovanou emisi fotonu o energii ℏω a druhý případ jako absorpci fotonu dopadajícího záření o energii ℏω.