Sbírka řešených úloh

Porucha periodická v čase

Úloha číslo: 2293

• Nápověda 1 – Princip nestacionární poruchové metody

  Připomeňte si princip nestacionární poruchové metody v kvantové mechanice. Nemáte-li přístup k vlastním poznámkám, můžete nahlédnout v sekci Časově konstantní porucha, Řešení nápovědy 1 na její stručné zopakování.

• Řešení

  Zajímá nás pravděpodobnost přechodu systému vlivem zadané poruchy do vlastního stavu $|j\rangle$. Spočítejme proto koeficient $c_j^{(p)}(t)$, který stojí před vlastním stavem $|j\rangle$ v lineární kombinaci pro konečný stav systému při vypnutí poruchy. Dosaďme do vzorce, který platí v prvním řádu poruchové teorie

  $$c_j^{(p)}(\tau)=\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{\tau}\left\langle j\Big|\hat{V}(t)i\right\rangle e^{i\frac{E_j−E_i}{\hbar}t}\, \mathrm{d}t.$$

  Označme

  $$\left\langle j\Big|\hat{\vartheta}i\right\rangle=\vartheta_{ji},$$ $$\left\langle j\bigg|\hat{\vartheta}^\dagger i\right\rangle=\vartheta_{ji}^\dagger,$$ $$\frac{E_j−E_i}{\hbar}=\omega_{ji}.$$

  Díky hermitovosti operátorů platí

  $$\vartheta_{ji}^\dagger=\left\langle j\bigg|\hat{\vartheta}^\dagger i\right\rangle=\left\langle\hat{\vartheta} j\Big|i\right\rangle=\left\langle i\Big|\hat{\vartheta} j\right\rangle^\ast=\vartheta_{ij}^\ast.$$

  Dosaďme nyní do vzorce pro výpočet koeficientu $c_j^{(p)}(\tau)$ tvar uvažované poruchy

  $$c_j^{(p)}(\tau)=\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{\tau}\left\langle j\bigg|\left(\hat{\vartheta} e^{i\omega t}+\hat{\vartheta}^\dagger e^{−i\omega t}\right) i\right\rangle e^{i\omega_{ji}t}\, \mathrm{d}t$$

  A spočtěme integrál

  $$c_j^{(p)}(\tau)=\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{\tau}\left\langle j\Big|\hat{\vartheta} i\right\rangle e^{i\omega t}e^{i\omega_{ji}t}\, \mathrm{d}t+\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{\tau}\left\langle\ j\bigg|\hat{\vartheta}^\dagger i\right\rangle e^{−i\omega t}e^{i\omega_{ji}t}\, \mathrm{d}t=$$ $$=\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{\tau}\vartheta_{ji}e^{i(\omega_{ji}+\omega)t}\, \mathrm{d}t+\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{\tau}\vartheta_{ji}^\dagger e^{i(\omega_{ji}−\omega )t}\, \mathrm{d}t=\frac{1}{i\hbar}\vartheta_{ji}\left[\frac{e^{i(\omega_{ji}+\omega)t}}{i(\omega_{ji}+\omega)}\right]_0^\tau+\frac{1}{i\hbar}\vartheta_{ij}^\ast\left[\frac{e^{i(\omega_{ji}−\omega)t}}{i(\omega_{ji}−\omega)}\right]_0^\tau=$$ $$=\frac{−1}{\hbar}\vartheta_{ji}\left(\frac{e^{i(\omega_{ji}+\omega)\tau}−1}{\omega_{ji}+\omega}\right)+\frac{−1}{\hbar}\vartheta_{ij}^\ast\left(\frac{e^{i(\omega_{ji}−\omega)\tau}−1}{\omega_{ji}−\omega}\right)=$$ $$=\frac{−1}{\hbar}\vartheta_{ji}e^{i\frac{(\omega_{ji}+\omega)}{2}\tau}\left(\frac{e^{i\frac{(\omega_{ji}+\omega)}{2}\tau}−e^{−i\frac{(\omega_{ji}+\omega)}{2}\tau}}{\omega_{ji}+\omega}\right)+\frac{−1}{\hbar}\vartheta_{ij}^\ast e^{i\frac{(\omega_{ji}−\omega)}{2}\tau}\left(\frac{e^{i\frac{(\omega_{ji}−\omega)}{2}\tau}−e^{−i\frac{(\omega_{ji}−\omega)}{2}\tau}}{\omega_{ji}−\omega}\right)=$$ $$=\frac{−2i}{\hbar}\vartheta_{ji}e^{i\frac{(\omega_{ji}+\omega)}{2}\tau}\left(\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{(\omega_{ji}+\omega)}{2}\tau\right)}{\omega_{ji}+\omega}\right)+\frac{−2i}{\hbar}\vartheta_{ij}^\ast e^{i\frac{(\omega_{ji}−\omega)}{2}\tau}\left(\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{(\omega_{ji}−\omega)}{2}\tau\right)}{\omega_{ji}−\omega}\right)=$$ $$=\frac{−i}{\hbar}e^{i\frac{\omega_{ji}}{2}\tau}\left[\vartheta_{ji}e^{i\frac{\omega}{2}\tau}\left(\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{\omega_{ji}+\omega}{2}\tau\right)}{\frac{\omega_{ji}+\omega}{2}}\right)+\vartheta_{ij}^\ast e^{i\frac{−\omega}{2}\tau}\left(\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{\omega_{ji}−\omega}{2}\tau\right)}{\frac{\omega_{ji}−\omega}{2}}\right)\right].$$

  Pravděpodobnost přechodu tedy je

  $$P_{i\rightarrow j}=\left|c_j^{(p)}(\tau)\right|^2=\frac{1}{\hbar^2}\left|\vartheta_{ji}e^{i\frac{\omega}{2}\tau}\left(\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{\omega_{ji}+\omega}{2}\tau\right)}{\frac{\omega_{ji}+\omega}{2}}\right)+\vartheta_{ij}^\ast e^{i\frac{−\omega}{2}\tau}\left(\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{\omega_{ji}−\omega}{2}\tau\right)}{\frac{\omega_{ji}−\omega}{2}}\right)\right|^2.$$

  Z grafu funkce $\frac{\mathrm{sin}(x)}{x}$ vidíme, že funkce nabývá nezanedbatelných hodnot jen na okolí nuly.

  

   

  Omezíme-li se na $\omega_{ji}$ taková, že

  $$\frac{\omega_{ji}−\omega}{2}\ll\frac{\omega_{ji}+\omega}{2},$$

  neboli

  $$\omega_{ji}\approx \omega,$$

  tedy můžeme zanedbat první člen vystupující ve výrazu pro pravděpodobnost přechodu. Pravděpodobnost přechodu pro $\omega_{ji}$ blízká $\omega$ je přibližně

  $$P_{i\rightarrow j}\doteq\frac{\left|\vartheta_{ij}^\ast\right|^2}{\hbar^2}\left|\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{\omega_{ji}−\omega}{2}\tau\right)}{\frac{\omega_{ji}−\omega}{2}}\right|^2.$$

  Navíc můžeme psát

  $$\omega_{ji}−\omega\approx 0 \Rightarrow E_j\approx E_i+\hbar\omega.$$

  Poslední výraz znamená, že systém přejde do stavu s energií větší o $\hbar\omega$, což můžeme interpretovat jako absorpci fotonu dopadajícího záření o energii $\hbar\omega.$

   

  Podobně můžeme postupovat pro

  $$\omega_{ji}\approx −\omega,$$

  můžeme zanedbat druhý člen vystupující ve výrazu pro pravděpodobnost přechodu. Pravděpodobnost přechodu pro $\omega_{ji}$ blízká $−\omega$ je přibližně

  $$P_{i\rightarrow j}\doteq\frac{\left|\vartheta_{ji}\right|^2}{\hbar^2}\left|\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{\omega_{ji}+\omega}{2}\tau\right)}{\frac{\omega_{ji}+\omega}{2}}\right|^2.$$

  Analogicky k předchozímu případu je

  $$\omega_{ji}+\omega\approx 0 \Rightarrow E_j\approx E_i−\hbar\omega.$$

  Poslední výraz znamená snížení energie e $\hbar\omega$ a to můžeme interpretovat jako stimulovanou emisi fotonu o energii $\hbar\omega.$

• Odpověď

  Uvažujeme-li systém nacházející se v čase $t=0$ ve vlastním stavu $|i\rangle$ neporušeného hamiltoniánu $\hat{H}_0$, na který působí porucha $\hat{V}$ periodická v čase

  $$\hat{V}=\hat{\vartheta} e^{i\omega t}+\hat{\vartheta}^\dagger e^{−i\omega t},$$

  kde $\hat{\vartheta}$ a $\hat{\vartheta}^\dagger$ jsou obecné, navzájem hermitovsky sdružené operátory, vyjádřené pomocí $\hat{x}$ a $\hat{p}$, pak je pravděpodobnost přechodu systému v časovém intervalu $(0,\tau)$ z počátečního stavu do stavu $|j\rangle$ rovna

  $$P_{i\rightarrow j}=\left|c_j^{(p)}(\tau)\right|^2=\frac{1}{\hbar^2}\left|\vartheta_{ji}e^{i\frac{\omega}{2}\tau}\left(\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{\omega_{ji}+\omega}{2}\tau\right)}{\frac{\omega_{ji}+\omega}{2}}\right)+\vartheta_{ij}^\ast e^{i\frac{−\omega}{2}\tau}\left(\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{\omega_{ji}−\omega}{2}\tau\right)}{\frac{\omega_{ji}−\omega}{2}}\right)\right|^2,$$

  kde

  $$\left\langle j\Big|\hat{\vartheta}i\right\rangle=\vartheta_{ji},$$ $$\left\langle j\bigg|\hat{\vartheta}^\dagger i\right\rangle=\vartheta_{ji}^\dagger=\vartheta_{ij}^\ast,$$ $$\frac{E_j−E_i}{\hbar}=\omega_{ji}.$$

  Pro speciální případ $\omega_{ji}\approx −\omega$ jsou pravděpodobnosti přechodů a energie konečných stavů rovny

  $$P_{i\rightarrow j}\doteq\frac{\left|\vartheta_{ji}\right|^2}{\hbar^2}\left|\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{\omega_{ji}+\omega}{2}\tau\right)}{\frac{\omega_{ji}+\omega}{2}}\right|^2,$$ $$E_j\approx E_i−\hbar\omega$$

  a pro $\omega_{ji}\approx \omega$

  $$P_{i\rightarrow j}\doteq\frac{\left|\vartheta_{ij}^\ast\right|^2}{\hbar^2}\left|\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{\omega_{ji}−\omega}{2}\tau\right)}{\frac{\omega_{ji}−\omega}{2}}\right|^2,$$ $$E_j\approx E_i+\hbar\omega.$$

  První případ můžeme interpretovat jako stimulovanou emisi fotonu o energii $\hbar\omega$ a druhý případ jako absorpci fotonu dopadajícího záření o energii $\hbar\omega$.