Sbírka řešených úloh

Vzduchová čočka pod vodou

Úloha číslo: 1920

Dvojvypuklá čočka, jejíž povrch tvoří velmi tenké sklo, je naplněna vzduchem. Její poloměry křivosti jsou \(1 \mathrm{cm}\) a \(2 \mathrm{cm}\). Ponoříme ji do vody. Jaká bude její ohnisková vzdálenost? Rozhodněte, zda se jedná o spojnou nebo rozptylnou čočku.

• Zápis

  \(r_{1}=1 \mathrm{cm}\)	poloměr křivosti první optické plochy
  \(r_{2}=2 \mathrm{cm}\)	poloměr křivosti druhé optické plochy
  \(f= ?\)	ohnisková vzdálenost čočky

• Nápověda 1

  Jak byste zapsali, že poloměry křivosti ovlivňují ohniskovou vzdálenost čočky? Předpokládejte, že se jedná o tenkou čočku.

• Řešení nápovědy 1

  Napíšeme zobrazovací rovnici pro tenkou čočku: \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{č}}{n_{p}}−1\right)\left(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}\right),\] kde \(n_{č}\) je index lomu čočky a \(n_{p}\) je index lomu prostředí.

• Nápověda 2

  Ze zobrazovací rovnice pro tenkou čočku vyjádřete ohniskovou vzdálenost a dopočítejte ji číselně.

• Řešení nápovědy 2

  Ze zobrazovací rovnice vyjádříme ohniskovou vzdálenost: \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{č}}{n_{p}}−1\right)\left(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}\right),\] \[f=\frac{1}{\left(\frac{n_{č}}{n_{p}}−1\right)\left(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}\right)}.\] Upravíme zlomek: \[f=\frac{1}{\left(\frac{n_{č}−n_{p}}{n_{p}}\right)\left(\frac{r_{2}+r_{1}}{r_{1}r_{2}}\right)},\] \[f=\frac{n_{p}r_{1}r_{2}} {\left(n_{č}−n_{p}\right)\left(r_{1}+r_{2}\right)}.\]

   

  Číselné řešení

  Ze zadání víme:

  \(r_{1}=1 \mathrm{cm}\)

  \(r_{2}=2 \mathrm{cm}\)

  \(f= ?\)

  V tabulkách dohledáme hodnotu indexu lomu vzduchu (čočky): \(n_{č}=1{,}00\) a indexu lomu vody (prostředí): \(n_{p}=1{,}33\)

  Dosadíme:

  \(f=\frac{n_{p}r_{1}r_{2}} {\left(n_{č}−n_{p}\right)\left(r_{1}+r_{2}\right)}= \frac{1{,}33{\cdot} 1\cdot 2} {\left(1{,}00−1{,}33\right)\left(1+2\right)} \mathrm{cm}= \frac{2{,}66} {\left(−0{,}33\right)\cdot 3} \mathrm{cm} \dot=−2{,}7 \mathrm{cm} .\)

• Nápověda 3

  Ohniskovou vzdálenost jsme určili, nyní je třeba rozhodnout, zda se jedná o spojnou či rozptylnou čočku. Podle vzhledu se zdá, že se jedná o spojnou čočku. Je tomu skutečně tak?

• Řešení nápovědy 3

  Ohnisková vzdálenost nám vyšla záporná. Znaménková konvence uvedená v Zobrazení netopýra kulovým zrcadlem a spojnou čočkou, Poloměr křivosti a ohnisková vzdálenost nám říká, že pokud je ohnisková vzdálenost záporná, pak se jedná o rozptylnou čočku. Z toho plyne, že naše čočka se chová jako rozptylka.

• Poznámka

  Určíme, jak by se naše čočka ve vodě chovala, pokud by byla vyplněna sklem o indexu lomu \(n_{č}=1{,}5\).

  Vypočítáme její ohniskovou vzdálenost:

  \(f=\frac{n_{p}r_{1}r_{2}} {\left(n_{č}−n_{p}\right)\left(r_{1}+r_{2}\right)}= \frac{1{,}33{\cdot} 1\cdot 2} {\left(1{,}5−1{,}33\right)\left(1+2\right)} \mathrm{cm}= \frac{2{,}66} {0{,}5{\cdot} 3} \mathrm{cm} \dot= 1{,}8 \mathrm{cm} .\)

  Ohnisková vzdálenost vyšla kladná. Odtud plyne, že by se chovala jako spojka.

  Z optiky jsme zvyklí většinou používat skleněné čočky ve vzduchu. Podle tvaru čočky, pak můžeme určit, zda se jedná o spojku nebo rozptylku. Pokud je však čočka vyrobena z jiného materiálu nebo je umístěna v jiném prostředí, tak se nemůžeme opírat jenom o její tvar. Musíme také zkoumat, zda má čočka větší či menší index lomu než okolní prostředí.

• Celkové řešení

  Ze zobrazovací rovnice víme, že poloměry křivosti ovlivňují ohniskovou vzdálenost čočky.

  Napíšeme ji pro tenkou čočku: \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{č}}{n_{p}}−1\right)\left(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}\right),\] kde \(n_{č}\) je index lomu čočky a \(n_{p}\) je index lomu prostředí.

  Ze zobrazovací rovnice vyjádříme ohniskovou vzdálenost: \[f=\frac{1}{\left(\frac{n_{č}}{n_{p}}−1\right)\left(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}\right)}.\] Upravíme zlomek: \[f=\frac{1}{\left(\frac{n_{č}−n_{p}}{n_{p}}\right)\left(\frac{r_{2}+r_{1}}{r_{1}r_{2}}\right)},\] \[f=\frac{n_{p}r_{1}r_{2}} {\left(n_{č}−n_{p}\right)\left(r_{1}+r_{2}\right)}.\]

   

  Číselné řešení

  Ze zadání víme:

  \(r_{1}=1 \mathrm{cm}\)

  \(r_{2}=2 \mathrm{cm}\)

  \(f= ?\)

  V tabulkách dohledáme hodnotu indexu lomu vzduchu (čočky): \(n_{č}=1{,}00\) a indexu lomu vody (prostředí): \(n_{p}=1{,}33\)

  Dosadíme:

  \(f=\frac{n_{p}r_{1}r_{2}} {\left(n_{č}−n_{p}\right)\left(r_{1}+r_{2}\right)}= \frac{1{,}33{\cdot} 1\cdot 2} {\left(1{,}00−1{,}33\right)\left(1+2\right)} \mathrm{cm}= \frac{2{,}66} {\left(−0{,}33\right)\cdot 3} \mathrm{cm} \dot=−2{,}7 \mathrm{cm} .\)

  Ohnisková vzdálenost nám vyšla záporná. Znaménková konvence uvedená v Zobrazení netopýra kulovým zrcadlem a spojnou čočkou, Poloměr křivosti a ohnisková vzdálenost nám říká, že pokud je ohnisková vzdálenost záporná, pak se jedná o rozptylnou čočku. Z toho plyne, že naše čočka se chová jako rozptylka.

  Je to způsobené tím, že index lomu zadané dvojvypuklé čočky je menší než index lomu prostředí. Kdyby byl index lomu čočky větší než index lomu prostředí, pak by se chovala jako spojka.

• Odpověď

  Jedná se o rozptylnou čočku s ohniskovou vzdáleností přibližně \(2{,}7 \mathrm{cm}\).