Vrstva oleje na vodě

Úloha číslo: 1578

Na skvrnu oleje tloušťky 0,2 µm vytvořené na vodě dopadá kolmo sluneční světlo. Určete vlnovou délku světla, která se bude po odrazu nejvíce zesilovat. Tato vlnová délka nám určí, jak barevná se nám bude skvrna zdát při pohledu shora.

  • Nápověda 1

    Když světlo dopadne na olej, částečně se odrazí a částečně projde.

    Jak se přicházející paprsek odráží.

    Pro názornost je obrázek namalován pro šikmo dopadající paprsky, ale úlohu řešíme pro kolmo dopadající paprsky.

    Černý paprsek přichází od zdroje a na prvním rozhraní se část odrazí – tato část je značena jako červený paprsek. Pokračující část paprsku projde olejem a odrazí se na druhém rozhraní – zelený paprsek.

    O kolik jsou vzájemně fázově posunuty červený a zelený paprsek?

  • Nápověda 2

    Jak ovlivní fázi vlny její odraz? Jak se tato změna projeví na dráhovém rozdílu?

  • Nápověda 3

    Jak se v dráhovém rozdílu projeví skutečnost, že v oleji se světlo šíří pomaleji?

  • Nápověda 4

    Jaký bude celkový dráhový rozdíl obou paprsků?

  • Nápověda 5

    Jak poznáme, zda se při interferenci daný paprsek zesílí nebo zeslabí? Tedy, že vzniknou maxima, a nebo minima.

  • Řešení

    K odrazu dochází na rozhraní dvou optických prostředí. Pro nás budou důležité první dva odražené paprsky, se kterými budeme dále počítat.

    Označujeme jako opticky hustší prostředí, které má větší index lomu, a je zde tedy pomalejší rychlost šíření světla. Rozebereme dva případy, kdy světlo dopadá:

    1) z opticky řidšího prostředí na prostředí opticky hustší a odráží se s opačnou fází,
    2) z opticky hustšího prostředí na prostředí opticky řidší a odráží se se stejnou fází.

    Pro detailnější vysvětlení se podívejte do Nápovědy 2.

     

    Pokud máme vlnu, která prochází přes prostředí s jinými indexy lomu, dochází zde ke změně vlnové délky.

    Geometrická a optická dráha.

     

    Geometrická dráha paprsku je stejná jako tloušťka prostředí d. Jde nám o to, jakou vzdálenost by světlo urazilo, pokud by místo látkou (zde olejem) letělo vakuem. Protože index lomu n znamená, kolikrát je světlo v daném prostředí pomalejší než ve vakuu, je hledaná vzdálenost, tzv. optická dráha l rovna:

    \[l = nd,\]

    kde n index lomu prostředí a d je skutečně uražená vzdálenost.

    Celkový dráhový rozdíl je dán optickou dráhou, kterou musel první paprsek urazit navíc, a tím, že druhý paprsek změnil při odrazu svoji fázi:

    \[\mathrm{\Delta}l = \mathrm{\Delta}l_\mathrm{1} + \mathrm{\Delta}l_\mathrm{2} = \,\frac{\lambda}{2} + 2nd .\tag{1}\]

     

    Při interferenci vznikají maxima a minima.

    Pro maxima platí, že rozdíl optických drah se musí rovnat násobku vlnové délky.

    \[\mathrm{\Delta}l =\, k\lambda,\tag{2}\]

    kde k = (1, 2, 3,...) je řád maxima, λ je vlnová délka paprsku a Δl je celkový dráhový rozdíl.

    Podrobnější odvození naleznete – Skládání světla, Řešení nápovědy 1.

     

    Pro výpočet vezmeme rovnice (1) a (2) a dosadíme jednu do druhé. Dostaneme tedy:

    \[k\lambda = \,\frac{\lambda}{2} + \mathrm{2}nd\]

    a vyjádříme hledanou vlnovou délku λ:

    \[\lambda + \mathrm{4}nd = \mathrm{2}k\lambda\] \[\mathrm{4}nd = \lambda(2k − 1)\] \[\lambda = \,\frac{\mathrm{4}nd}{(2k − 1)}\]

    Nyní můžeme dosadit za index lomu oleje n = 1,5, tloušťku d = 0,2·10−6 m a za řád maxima k = 1 .

    \[\lambda = \,\frac{4\,\cdot\,1{,}5\,\cdot\,0{,}2 {\cdot}10^{−6}}{(2·1 − 1)}\,\mathrm{m} =\, 1200{\cdot}10^{−9}\,\mathrm{m}.\]

    Tato vlnová délka je v infračervené části spektra.

    Dosadíme-li za k = 2:

    \[\lambda = \,\frac{\mathrm{4}\,\cdot\,1{,}5\,\cdot\,0{,}2 {\cdot}10^{−6}}{(2·2 − 1)}\,\mathrm{m} =\, 400{\cdot}10^{−9}\,\mathrm{m},\]

    dostaneme světlo o vlnové délce patřící do viditelného světla.

    Dosadíme-li za k = 3:

    \[\lambda = \,\frac{\mathrm{4}\,\cdot\,1{,}5\,\cdot\,0{,}2 {\cdot}10^{−6}}{(2·3 − 1)}\,\mathrm{m} =\, 240{\cdot}10^{−9}\,\mathrm{m},\]

    vidíme, že toto světlo patří již do ultrafialové části spektra.

    Protože očima vnímáme jen viditelnou část spektra, je pro barvu olejové skvrny podstatné řešení pro hodnotu k = 2.

  • Odpověď

    Po odrazu na olejové skvrně se nejvíce zesílí vlnová délka λ = 400 nm (odpovídá pro k = 2), takže ji uvidíme fialovou.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze