Klínová vrstva

Úloha číslo: 1634

Pokud bychom chtěli určit tloušťku vlasu, můžeme tak udělat pomocí tzv. klínové vrstvy. Dáme dvě skleněné destičky na sebe, aby jejich jedna hrana splývala, a rovnoběžně s touto hranou mezi ně vložíme vlas. Destičky shora kolmo přes barevný filtr osvětlíme intenzivním červeným světlem o vlnové délce 650 nm. Na destičkách se objeví mnoho interferenčních proužků, jejichž vzdálenost je 1,6 mm. Vzdálenost vlasu od společné hrany je 25 cm. Vypočítejte z těchto údajů tloušťku vlasu.

  • Obrázek

    Klínová vrstva se sklíčky a vlasem.

    Na obrázku vyznačíme vše, co známe a potřebujeme.: l je vzdálenost vlasu od společné hrany, r je tloušťka vlasu, α je úhel, který svírají skla, d1 a d2 je šířka vrstvy vzduchu mezi skly pro dva sousední světlé proužky a Δy je vzdálenost dvou světlých proužků.

  • Nápověda 1

    Jaká je podmínka pro vznik světlých proužků (interferenčních maxim) na vrstvě vzduchu mezi oběma skly? Jaký je rozdíl tloušťky vzduchové vrstvy Δd pro paprsky dvou sousedních maxim?

  • Nápověda 2

    Vyjádřeme si vztah pro tloušťku vlasu r pomocí úhlu klínové vrstvy α, který svírají sklíčka.

  • Zápis

    λ = 650 nm = 6,5·10−7 m vlnová délka světla
    Δy = 1,6 mm  = 1,6·10−3 m vzdálenost dvou světlých proužků
    l = 25 cm = 0,25 m vzdálenost vlasu od společné hrany sklíček
    n = 1 index lomu vzduchu
    r = ? (µm) tloušťka vlasu
  • Řešení

    Klínová vrstva se sklíčky a vlasem.

    Nejprve si nakreslíme obrázek a označíme jednotlivé vzdálenosti: l je vzdálenost vlasu od společné hrany, r je tloušťka vlasu, α je úhel, který svírají skla, d1d2 je šířka vrstvy mezi skly pro jednotlivé světlé proužky a Δy je vzdálenost dvou světlých proužků.

     

    Při dopadu světla na klínovou vrstvu interferují paprsky odražené na rozhraní sklo – vzduch s paprsky odraženými na rozhraní vzduch – sklo. Celkový dráhový rozdíl je dán vztahem (viz nápověda 1):

    \[\mathrm{\Delta}l = \,\frac{\lambda}{2} + \mathrm{2}nd. \]

     

    Odvodíme si rozdíl tloušťky vzduchové vrstvy Δd pro paprsky dvou sousedních maxim, tak že vezmeme vedle sebe dva světlé proužky řádu k a k+1 a napišme si dráhové rozdíly těchto světlých proužků, které budou splňovat podmínku maxim, že Δl = :

    \[k\lambda = \,\frac{\lambda}{2} + \mathrm{2}nd_\mathrm{1}. \] \[(k+1)\lambda = \,\frac{\lambda}{2} + \mathrm{2}nd_\mathrm{2}. \]

    Pro rozdíl tloušťky vzduchové vrstvy odečteme druhou rovnici od první:

    \[(k+1)\lambda − k\lambda =\,\frac{\lambda}{2} + \mathrm{2}nd_\mathrm{2} − \,\frac{\lambda}{2} − \mathrm{2}nd_\mathrm{1}.\]

    a vyjádříme si Δd = d2d1:

    \[\lambda=\, \mathrm{2}n(d_\mathrm{2} − d_\mathrm{1}),\] \[(d_\mathrm{2} − d_\mathrm{1})=\,\frac{\lambda}{\mathrm{2}n}. \]

     

    Z malého trojúhelníku si vyjádříme, jaký vztah platí pro úhel α:

    \[\mathrm{tg}\, \,\alpha=\, \frac{\mathrm{\Delta}d}{\mathrm{\Delta}y}=\,\frac{d_\mathrm{2} − d_\mathrm{1}}{\mathrm{\Delta}y},\]

    Z velkého trojúhelníku si také vyjádříme vztah pro úhel α:

    \[\mathrm{tg}\, \,\alpha=\, \frac{r}{l},\]

    kde r je tloušťka vlasu a l je vzdálenost vlasu od společné hrany.

    Dosadíme jednu rovnici do druhé za tg α a získáme vztah:

    \[\frac{\mathrm{\Delta}d}{\mathrm{\Delta}y}=\, \frac{r}{l},\]

    máme zde dvě neznámé, tloušťku vlasu r a rozdíl tloušťky vzduchové vrstvy Δd, který jsme si odvodili výše, dosadíme ho sem a vyjádříme si r:

    \[r=\, \frac{l\lambda}{\mathrm{2}n\mathrm{\Delta}y}.\]

    Dosadíme hodnoty ze zadání a dostaneme:

    \[r=\, \frac{0{,}25\,\cdot\,6{,}5{\cdot}10^{−7}}{2\,\cdot\,1\,\cdot\,1{,}6{\cdot}10^{−3}}\dot{=}\,51\,\mathrm{\mu m}.\]
  • Odpověď

    Tloušťka vlasu je 51 μm.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze