Elektrická intenzita, magnetická indukce a vlna
Úloha číslo: 1398
Ukažte, že vektory intenzity elektrického pole \(\vec{E}\) a magnetické indukce \(\vec{B}\) vystupující v Maxwellových rovnicích ve vakuu jsou řešením vlnové rovnice
\[\Delta \vec{U}(\vec{r},t) - \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2 \vec{U}(\vec{r},t)}{\partial t^2} = \vec{0},\]kde \(\vec{U}\) představuje buď \(\vec{E}\) nebo \(\vec{B}\) a \(c\) značí rychlost šíření vlny. Jak je vázána rychlost šíření elektromagnetické vlny ve vakuu s permitivitou a permeabilitou vakua?
Nápověda 1 – Maxwellovy rovnice pro vakuum
Napište Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru. Do nich dosaďte parametry vakua, čímž získáte Maxwellovy rovnice pro vakuum.
Nápověda 2 – řešení Maxwellových rovnic pro vakuum
Řešte soustavu Maxwellových rovnic ve vakuu vyloučením jednoho z polí \(\vec{E}\) a \(\vec{B}\). Při úpravách se bude hodit identita
\[\mathrm{rot\,rot\,} \vec{U} = \mathrm{grad\,div\,}\vec{U} - \Delta \vec{U},\]kde \(\vec{U}\) je libovolná vektorová funkce.
Nápověda 3 – určení rychlosti šíření vlny
Porovnáním získané vlnové rovnice
\[ \Delta \vec{E}-\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0 \]s jejím obecným tvarem
\[ \color{grey}{ \Delta \vec{U}- \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{U}}{\partial t^2} = 0} \]vyjádřete rychlost šíření vlny \(c\).
CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Maxwellovy rovnice
\[ \mathrm{div\,} \vec{D} = \rho, \qquad \mathrm{div\,}\vec{B} = 0, \] \[ \mathrm{rot\,} \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \qquad \mathrm{rot\,} \vec{H} = \vec{j} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}, \]kde \(\rho\) je prostorová hustota elektrického náboje, \(\vec{j}\) volný proud, \(\varepsilon_0\) permitivita a \(\mu_0\) permeabilita vakua.
Ve vakuu není žádná volná hustota náboje, nejsou zde ani žádné volné proudy, proto
\[\rho = 0, \qquad \vec{j} = 0.\]Veličiny \(\vec{B}, \vec{H}\) a \(\vec{D}, \vec{E}\) jsou ve vakuu vázány vztahy
\[B = \mu_0 H, \qquad D = \varepsilon_0 E.\]Dosazením těchto vztahů získáváme Maxwellovy rovnice ve vakuu v proměnných \(\vec{E},\ \vec{B}\)
\[\mathrm{div\,} \vec{E} = 0,\tag{1}\] \[\mathrm{div\,}\vec{B} = 0,\tag{2}\] \[\mathrm{rot\,} \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},\tag{3}\] \[ \mathrm{rot\,} \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}. \tag{4}\]Všimněme si, že Maxvellovy rovnice ve vakuu jsou vztahy pro vektorová pole \(\vec{E}\) a \(\vec{B}\), přesněji pro jejich první časové a prostorové souřadnice, zatímco ve vlnové rovnici vystupuje jedno pole (buď \(\vec{E}\), nebo \(\vec{B}\)), ovšem ve druhých derivacích.
Nejprve se budeme snažit dostat vlnovou rovnici pro \(\vec{E}\), tj. z rovnic (1) až (4) vyloučíme pole \(\vec{B}\).
Derivací (4) podle času získáme
\[ \frac{\partial}{\partial t} \mathrm{rot\,} \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}. \]Dále předpokládáme, že závislost \(\vec{B}\) na souřadnicích a čase je taková, že můžeme přehodit pořadí derivací
\[ \mathrm{rot\,}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}. \] Za časovou derivaci na levé straně dosadíme z rovnice (3) \[ - \mathrm{rot\,}\mathrm{rot\,} \vec{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}. \] Aplikujeme operátorovou identitu \(\mathrm{rot\,rot\,} \vec{E} = \mathrm{grad\,div\,}\vec{E} - \Delta \vec{E}\) \[ \Delta \vec{E} - \mathrm{grad\,}\underbrace{\mathrm{div\,}\vec{E}}_{0} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}. \] Dále použijeme, jak bylo v předchozím kroku naznačeno, rovnici (1) a po úpravě dostáváme \[ \Delta \vec{E}-\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0} \]což je vlnová rovnice pro \(\vec{E}.\)
Tím jsme ukázali, že elektrická intenzita se může ve vakuu šířit jako vlna.
Analogicky odvodíme vlnovou rovnici pro \(\vec{B}\) vyloučením pole \(\vec{E}\), tj.
derivujeme (3) podle času a přehodíme derivace
\[ \mathrm{rot\,} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = -\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}, \] dosadíme z (4) a upravíme \[ \mathrm{rot\,rot\,} \vec{B} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}, \] aplikujeme opět stejnou identitu, tentokrát pro \(\vec{B}\) \[ \mathrm{grad\,}\underbrace{\mathrm{div\,}}_{0} \vec{B} - \Delta \vec{B} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \] a použitím rovnice (2) a úpravou dostáváme \[ \Delta \vec{B}-\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = \vec{0}, \]což je vlnová rovnice pro \(\vec{B}\).
Tím jsme ukázali, že i magnetická indukce se může ve vakuu šířit jako vlna.
Porovnáním získaných vlnových rovnic
\[ \Delta \vec{E}-\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0 \] \[ \Delta \vec{B}-\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0 \]s obecným tvarem vlnové rovnice
\[ \color{grey}{ \Delta \vec{U}- \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{U}}{\partial t^2} = 0} \]získáme pro rychlost šíření \(\vec{E}\) a \(\vec{B}\) ve vakuu vztah
\[\mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{c^2} \qquad \Rightarrow \qquad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}.\]El. intenzita i mag. indukce se ve vakuu šíří rychlostí \(c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}\).
Odpověď
Elektrická intenzita i magnetická indukce ve vakuu jsou veličiny vyhovující vlnové rovnici.
Rychlost jejich šíření ve vakuu souvisí s permeabilitou a permitivitou vakua vztahem
\[ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}. \]
