Sbírka řešených úloh

Vlastnosti rovinné harmonické vlny

Úloha číslo: 1399

• a) Nápověda 1 – divergence elektrické indukce

  Pro řešení úlohy si můžeme libovolně zvolit soustavu souřadnic. Pro jednoduchost počítejme v soustavě kartézské.

  Divergence vektoru se v kartézských souřadnicích vypočítá tak, že se daný vektor skalárně pronásobí „vektorem“ nabla \(\vec\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)\). Vypočtěte divergenci vektorového pole \(\vec{D}\), tj. určete součet

  \[\mathrm{div\,} \vec{D} = \vec\nabla \cdot \vec D = \frac{\partial D_x}{\partial x} + \frac{\partial D_y}{\partial y} + \frac{\partial D_z}{\partial z}. \]

• a) Řešení nápovědy 1 – divergence elektrické indukce

  Vypočítejme divergenci vektoru elektrické indukce \(\vec{D} = (D_{0x}, D_{0y}, D_{0z})\cos( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 )\).

  \[\mathrm{div\,} \vec{D} = \vec\nabla \cdot \vec D = \frac{\partial D_{0x}}{\partial x} + \frac{\partial D_{0y}}{\partial y} + \frac{\partial D_{0z}}{\partial z}. \] \[ \begin{array}{c} = D_{0x} \frac{\partial}{\partial x} \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) + \\ +\,D_{0y} \frac{\partial}{\partial y}\cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) + \\ +\,D_{0z} \frac{\partial}{\partial z}\cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)= \end{array} \]

  Jak dopadne po derivaci například první člen získaného součtu? \[ \color{MidnightBlue}{\small D_{0x} \frac{\partial}{\partial x} \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)= D_{0x} \frac{\partial}{\partial x} \cos \left( \omega t - k_x x - k_y y - k_z z + \varphi_0 \right) =} \] \[ \color{MidnightBlue}{ = \small - k_x D_{0x} \left(-\sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)\right) = k_x D_{0x}\sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right).} \] Analogicky vyjdou i další členy.

  Vytknutím tak celkově dostáváme

  \[ = \big(\underbrace{k_x D_{0x} + k_y D_{0y} + k_z D_{0z}}_{\vec{k} \cdot \vec{D}_0}\big) \sin\left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)= \] \[ = \vec{k} \cdot \vec{D}_0 \sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right). \]

• a) Nápověda 2 – vztah vektorů k a D

  Maxwellova rovnice (Gaussův zákon elektrostatiky) má ve vakuu tvar

  \[\mathrm{div\,} \vec{D} = 0.\]

  Dosaďte do této rovnice právě vypočítanou divergenci elektrické indukce. Jaký vztah mají vektory \(\vec{k}\) a \(\vec{D}\)?

• a) Řešení nápovědy 2 – vztah vektorů k a D

  Z Maxwellových rovnic víme, že pro elektrickou indukci ve vakuu musí platit podmínka

  \[ \mathrm{div\,}\vec{D} = 0. \]

  Má tedy být

  \[ \vec{k} \cdot \vec{D}_0 \sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) = 0. \]

  Podmínka musí být splněna v celém prostoru pro všechen čas. Musí proto být

  \[ \vec{k} \cdot \vec{D}_0 = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \vec{k} \perp \vec{D}_0. \]

  Vektor elektrické indukce (i elektrické intenzity) a vlnový vektor (směr šíření) jsou ve vakuu v každý okamžik v každém místě vzájemně kolmé.

  

• b) Nápověda 1 – rotace elektrické indukce

  Rotace se v kartézských souřadnicích vypočítá tak, že se daný vektor zleva vektorově pronásobí „vektorem“ nabla \(\vec\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)\). Vypočtěte rotaci vektorového pole \(\vec{D}\), tj. součin

  \[\mathrm{rot\,} \vec{D} = \vec\nabla \times \vec D = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \times \vec{D}_0 \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) .\]

• b) Řešení nápovědy 1 – rotace elektrické indukce

  Vypočítejme rotaci vektoru elektrické indukce

  \[ \mathrm{rot\,} \vec{D} = \mathrm{rot\,}\left[ \vec{D}_0 \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) \right] = \] \[ = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \times \vec{D}_0 \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) = \] \[ = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \times \begin{pmatrix} D_{0x} \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right), \\ D_{0y} \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right), \\ D_{0z} \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) \end{pmatrix} = \]

  Jak dopadne například první složka rotace?
  

  Připomeňme pravidlo pro vektorový součin

  \[\small\color{grey}{(a,b,c)\times(d,e,f) = (bf-ce, cd-af, ae-bd)}.\]

  První složka našeho vektorového součinu je tedy

  \[\color{MidnightBlue}{\small D_{0z} \frac{\partial}{\partial y} \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) - D_{0y} \frac{\partial}{\partial z} \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) =} \] \[ \color{MidnightBlue}{\small= \left(D_{0z} k_y - D_{0y} k_z\right) \sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) .} \]

  Cyklická záměna dává okamžitou odpověď na zbývající složky rotace.

  Dostáváme tak vektor

  \[ = \begin{pmatrix} D_{0z} k_y - D_{0y} k_z, \\ D_{0x} k_z - D_{0z} k_x, \\ D_{0y} k_x - D_{0x} k_y \end{pmatrix}\sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) = \] kde v závorce identifikujeme vektorový součin \((k_x,k_y,k_z)\times(D_{0x},D_{0y},D_{0z})\) \[ =\vec{k} \times \vec{D}_0 \sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right). \]

• b) Nápověda 2 – vztah vektoru B k vektorům k, D

  2. Maxwellova rovnice (zákon elektromag. indukce) \(\mathrm{rot\,}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \) lze ve vakuu, kde \(\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E}\), přepsat na

  \[ \mathrm{rot\,}\vec{D} = -\varepsilon_0\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}. \]

  Dosaďte do této rovnice právě vypočítanou rotaci elektrické indukce a vypočítejte průběh \(\vec{B}\). Jaký vztah má magnetická indukce \(\vec{B}\) vzhledem k vektorům \(\vec{k}, \vec{D}\)?

• b) Řešení nápovědy 2 – vztah vektoru B k vektorům k, D

  Druhá Maxwellova rovnice má ve vakuu tvar

  \[ \mathrm{rot\,}\vec{D} = -\varepsilon_0\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}. \]

  Dosazením vypočítané rotace máme

  \[ \vec{k} \times \vec{D}_0 \sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) = -\varepsilon_0\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}. \]

  Vyjádříme časovou derivaci magnetické indukce

  \[ \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\frac{1}{\varepsilon_0} \vec{k} \times \vec{D}_0 \sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right). \]

  Integrací podle času získáme

  \[ \vec{B} = -\frac{ \vec{k} \times \vec{D}_0}{\varepsilon_0} \int \sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) \mathrm{d}t= \] \[ = \frac{1}{\omega\varepsilon_0} \vec{k} \times \underbrace{\vec{D}_0 \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)}_{\vec{D}} = \frac{1}{\omega\varepsilon_0} \vec{k} \times \vec{D}. \]

  V posledním kroku jsme si všimli, že vektor magnetické indukce je modulován stejnou goniometrickou funkcí – kosinem se stejným argumentem, jako vektor elektrické indukce.

  Magnetická indukce je tedy s elektrickou indukcí ve fázi. Jejich vzájemnou provázanost vyjadřuje právě odvozený vztah

  \[ \vec{B} = \frac{1}{\omega\varepsilon_0} \vec{k} \times \vec{D}. \]

  Odtud vidíme, že vektor magnetické indukce je dán až na kladnou konstantu vektorovým součinem vektorů \(\vec{k}, \vec{D}\). To lze shrnout různým způsobem:

  • Vektor \(\vec{B}\) je kolmý k rovině vektorů \(\vec{k}, \vec{D}\).
  • Vektor magnetické indukce kmitá kolmo ke směru šíření i elektrické indukci.
  • Vektory \(\vec{k}, \vec{D}, \vec{B}\) tvoří po řadě pravotočivou bázi.

  

  Připomeňme, že hovoříme o vakuu, kde platí jednoduché skalární vazby mezi indukcemi a intenzitami:

  \[\vec B = \mu_0 \vec H,\] \[\vec D = \varepsilon_0 \vec E.\]

  Tudíž, co jsme řekli o elektrické a magnetické indukci, platí i pro jejich intenzity.

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Pro řešení úlohy si můžeme libovolně zvolit soustavu souřadnic. Pro jednoduchost počítejme v soustavě kartézské.

  ---

  a) Vypočítejme divergenci vektoru elektrické indukce \(\vec{D} = (D_{0x}, D_{0y}, D_{0z})\cos( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 )\).

  \[\mathrm{div\,} \vec{D} = \vec\nabla \cdot \vec D = \frac{\partial D_{0x}}{\partial x} + \frac{\partial D_{0y}}{\partial y} + \frac{\partial D_{0z}}{\partial z}. \] \[ \begin{array}{c} = D_{0x} \frac{\partial}{\partial x} \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) + \\ +\,D_{0y} \frac{\partial}{\partial y}\cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) + \\ +\,D_{0z} \frac{\partial}{\partial z}\cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)= \end{array} \]

  Jak dopadne po derivaci například první člen získaného součtu? \[ \color{MidnightBlue}{\small D_{0x} \frac{\partial}{\partial x} \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)= D_{0x} \frac{\partial}{\partial x} \cos \left( \omega t - k_x x - k_y y - k_z z + \varphi_0 \right) =} \] \[ \color{MidnightBlue}{ = \small - k_x D_{0x} \left(-\sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)\right) = k_x D_{0x}\sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right).} \] Analogicky vyjdou i další členy.

  Vytknutím tak celkově dostáváme

  \[ = \big(\underbrace{k_x D_{0x} + k_y D_{0y} + k_z D_{0z}}_{\vec{k} \cdot \vec{D}_0}\big) \sin\left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)= \] \[ = \vec{k} \cdot \vec{D}_0 \sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right). \]

  Z Maxwellových rovnic víme, že pro elektrickou indukci ve vakuu musí platit podmínka

  \[ \mathrm{div\,}\vec{D} = 0. \]

  Má tedy být

  \[ \vec{k} \cdot \vec{D}_0 \sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) = 0. \]

  Podmínka musí být splněna v celém prostoru pro všechen čas. Musí proto být

  \[ \vec{k} \cdot \vec{D}_0 = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \vec{k} \perp \vec{D}_0. \]

  Vektor elektrické indukce (i elektrické intenzity) a vlnový vektor (směr šíření) jsou ve vakuu v každý okamžik v každém místě vzájemně kolmé.

  

  ---

  b) Vypočítejme rotaci vektoru elektrické indukce

  \[ \mathrm{rot\,} \vec{D} = \mathrm{rot\,}\left[ \vec{D}_0 \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) \right] = \] \[ = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \times \vec{D}_0 \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) = \] \[ = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \times \begin{pmatrix} D_{0x} \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right), \\ D_{0y} \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right), \\ D_{0z} \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) \end{pmatrix} = \]

  Jak dopadne například první složka rotace?
  

  Jistě známe pravidlo pro vektorový součin

  \[\small\color{grey}{(a,b,c)\times(d,e,f) = (bf-ce, cd-af, ae-bd)}.\]

  První složka našeho vektorového součinu je tedy

  \[\color{MidnightBlue}{\small D_{0z} \frac{\partial}{\partial y} \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) - D_{0y} \frac{\partial}{\partial z} \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) =} \] \[ \color{MidnightBlue}{\small= \left(D_{0z} k_y - D_{0y} k_z\right) \sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) .} \]

  Cyklická záměna dává okamžitou odpověď na zbývající složky rotace.

  Dostáváme tak vektor

  \[ = \begin{pmatrix} D_{0z} k_y - D_{0y} k_z, \\ D_{0x} k_z - D_{0z} k_x, \\ D_{0y} k_x - D_{0x} k_y \end{pmatrix}\sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) = \] kde v závorce identifikujeme vektorový součin \((k_x,k_y,k_z)\times(D_{0x},D_{0y},D_{0z})\) \[ =\vec{k} \times \vec{D}_0 \sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right). \]

  Druhá Maxwellova rovnice lze ve vakuu díky vazbě \(\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}\) přepsat

  \[ \mathrm{rot\,}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{rot\,}\vec{D} = -\varepsilon_0\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}. \]

  Dosazením vypočítané rotace máme

  \[ \vec{k} \times \vec{D}_0 \sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) = -\varepsilon_0\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}. \]

  Vyjádříme časovou derivaci magnetické indukce

  \[ \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\frac{1}{\varepsilon_0} \vec{k} \times \vec{D}_0 \sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right). \]

  Integrací podle času získáme

  \[ \vec{B} = -\frac{ \vec{k} \times \vec{D}_0}{\varepsilon_0} \int \sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) \mathrm{d}t= \] \[ = \frac{1}{\omega\varepsilon_0} \vec{k} \times \underbrace{\vec{D}_0 \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)}_{\vec{D}} = \frac{1}{\omega\varepsilon_0} \vec{k} \times \vec{D}. \]

  V posledním kroku jsme si všimli, že vektor magnetické indukce je modulován stejnou goniometrickou funkcí – kosinem se stejným argumentem, jako vektor elektrické indukce.

  Magnetická indukce je tedy s elektrickou indukcí ve fázi. Jejich vzájemnou provázanost vyjadřuje právě odvozený vztah

  \[ \vec{B} = \frac{1}{\omega\varepsilon_0} \vec{k} \times \vec{D}. \]

  Odtud vidíme, že vektor magnetické indukce je dán až na kladnou konstantu vektorovým součinem vektorů \(\vec{k}, \vec{D}\). To lze shrnout různým způsobem:

  • Vektor \(\vec{B}\) je kolmý k rovině vektorů \(\vec{k}, \vec{D}\).
  • Vektor magnetické indukce kmitá kolmo ke směru šíření i elektrické indukci.
  • Vektory \(\vec{k}, \vec{D}, \vec{B}\) tvoří po řadě pravotočivou bázi.

  

  Připomeňme, že hovoříme o vakuu, kde platí jednoduché skalární vazby mezi indukcemi a intenzitami:

  \[\vec B = \mu_0 \vec H,\] \[\vec D = \varepsilon_0 \vec E.\]

  Tudíž, co jsme řekli o elektrické a magnetické indukci, platí i pro jejich intenzity.

• Odpověď

  a) \(\mathrm{div\,}\vec{D}= \vec{k} \cdot \vec{D}_0 \sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right), \) vektory \(\vec{k}\) a \(\vec{D}\) jsou kolmé.

  b) \(\mathrm{rot\,}\vec{D}= \vec{k} \times \vec{D}_0 \sin \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right),\) vektory \(\vec{k},\vec{D},\vec{B}\) tvoří pravotočivou bázi.

• Komentář

  Odvozené vlastnosti neplatí pouze ve vakuu, ale i v měkkém lineárním izotropním nevodivém homogenním prostředí. Rychlosti šíření se však liší.