Sbírka řešených úloh

Ohyb na štěrbině s retardační destičkou

Úloha číslo: 1561

Vypočtěte relativní závislost světelné intenzity na úhlu \(\vartheta\) pro Fraunhoferův ohyb na štěrbině šířky \(4D\), přičemž kolem středu štěrbiny je destička šíře \(2D\), která mění fázi dopadající vlny o \(\pi\). Předpokládejte kolmý dopad monochromatické harmonické vlny na štěrbinu, velikost vlnového vektoru je \(k\).

Porovnejte s difrakčním obrazcem jednoduché štěrbiny šíře \(2D\).

• Odkaz na podobné úlohy

  Jednodušší variantou této úlohy je úloha Ohyb na štěrbině, kde ve štěrbině není umístěna destička.

• Teorie a rozbor

  • Při výpočtu budeme používat komplexní formalismus, s nímž jsme se seznámili zde a pracovali jsme s ním například v této úloze.

  • Štěrbinu budeme předpokládat nekonečně dlouhou.

  • Vyzařování štěrbiny budeme modelovat jako spojitý pás přímkových zdrojů harmonických monochromatických válcových vln.

  • Máme uvažovat Fraunhoferův ohyb, tj. stínítko ve velké vzdálenosti. Ve velké vzdálenosti je možné válcové vlnoplochy vzhledem ke stínítku malých rozměrů považovat za rovinné.

  • Z těchto důvodů budeme interferovat přímo rovinné vlny

  \[ E=E_0 e^{i(\omega t - kr + \varphi_0)}, \]

  kde v amplitudě \(E_0\) je již zahrnut pokles amplitudy válcových vln na cestě ke stínítku tj. tento pokles bude uvažován pro všechny vlny stejný (stínítko je daleko – velmi malé rozdíly drah šíření jsou z tohoto hlediska zanedbatelné).

  • Závislost světelné intenzity na stínítku je (v komplexním formalismu) úměrná součinu \[ I \sim EE^\star, \] kde \(^\star\) značí komplexní sdružení.

• Integrál potřebný k výpočtu

  Při řešení se bude hodit integrál exponenciální funkce s multiplikativní konstantou v argumentu

  \[ \int e^{\varphi x}\,\mathrm{d}x = \frac{e^{\varphi x}}{\varphi} + C. \]

• Nápověda 1 – el. intenzita elementárního zdroje

  Napište vyjádření pro elementární příspěvek \(\mathrm{d}E\) elektrické intenzity v daném místě stínítka od elementárního zdroje šířky \(\mathrm{d}x\) na souřadnici \(x\) štěrbiny.

  Uvažujte obecnou počáteční fázi \(\varphi_0\).

• Řešení nápovědy 1 – el. intenzita elementárního zdroje

  Příspěvek k elektrické intenzitě v daném místě stínítka od elementárního zdroje na souřadnici \(x\) je funkcí času \(t\), vzdálenosti \(r\) místa na stínítku od uvažovaného zdroje a počáteční fáze \(\varphi_0\). Tedy

  \[ \mathrm{d}E = \mathcal{E_0} e^{i(\omega t - kr + \varphi_0)} \mathrm{d}x, \]

  kde konstanta \(\mathcal{E_0}\) má význam elektrické intenzity na jednotku šířky štěrbiny a navíc zahrnuje pokles amplitudy vlny na cestě ke stínítku.

  Vzdálenost \(r\) lze vyjádřit z následujích obrázků jako

  \[ r= L - x \sin \vartheta. \tag{1}\]

  

  Uvážíme-li totiž, že stínítko je velmi daleko, je zelený trojúhelník, jehož nejkratší strana určuje dráhový rozdíl paprsků šířících se od vybraného a centrálního elementárního zdroje, téměř pravoúhlý a naznačený úhel odpovídá úhlu \(\vartheta\). Abychom získali vzdálenost \(r\), odečetli jsme dráhový rozdíl \(x\sin\vartheta\) (viz zelený trojúhelník zvětšený vpravo) od vzdálenosti \(L\).

  Hledaný příspěvek k elektrické intenzitě v místě stínítka určeném úhlem \(\vartheta\) od elementárního zdroje na souřadnici \(x\) je tak s uvážením (1)

  \[ \mathrm{d}E = \mathcal{E_0} e^{i(\omega t - kL + kx \sin \vartheta + \varphi_0)} \mathrm{d}x. \tag{2}\]

• Nápověda 2 – výpočet integrálu

  Elektrická intenzita v daném místě stínítka je dána součtem příspěvků \(\mathrm{d}E\) od všech elementárních zdrojů štěrbiny. Vyintegrujte výraz (2) přes celou štěrbinu. Nezapomeňte, že v centrální části štěrbiny je umístěna destička způsobující změnu fáze!

• Řešení nápovědy 2 – výpočet integrálu

  Celkovou el. intenzitu získáme vyintegrováním elementárních příspěvků (2) přes celou štěrbinu

  \[ E(\vartheta) = \int\limits_{\small\begin{array}{c}\text{celá}\\ \text{štěrbina}\end{array}} \mathrm{d}E = \int\limits_{-2D}^{-D} \mathcal{E_0} e^{i(\omega t - kL + kx \sin \vartheta)} \mathrm{d}x + \int\limits_{-D}^{D} \mathcal{E_0} e^{i(\omega t - kL + kx \sin \vartheta + \pi)} \mathrm{d}x + \int\limits_{D}^{2D} \mathcal{E_0} e^{i(\omega t - kL + kx \sin \vartheta)} \mathrm{d}x. \]

  První a třetí integrál představuje části štěrbiny bez retardační destičky, v prostředním integrandu se projeví přítomnost destičky fázovým rozdílem \(\pi\).

  Z integrálu vytkneme na integrační proměnné nezávisející výraz

  \[ E(\vartheta) = \mathcal{E_0} e^{i(\omega t - kL)} \left(\, \int\limits_{-2D}^{-D} e^{ikx \sin \vartheta} \mathrm{d}x + \int\limits_{-D}^{D} e^{i(kx \sin \vartheta + \pi)} \mathrm{d}x + \int\limits_{D}^{2D} e^{ikx \sin \vartheta} \mathrm{d}x \right) = \]

  a provedeme integraci.

  \[ = \mathcal{E_0} e^{i(\omega t - kL)} \left( \left[ \frac{e^{ikx \sin \vartheta}}{ik\sin\vartheta } \right]_{-2D}^{-D}+ \left[ \frac{e^{i(kx \sin \vartheta + \pi)}}{ik\sin\vartheta }\right]_{-D}^{D}+ \left[ \frac{e^{ikx \sin \vartheta}}{ik\sin\vartheta } \right]_{D}^{2D} \right) = \] \[ = \mathcal{E_0} \frac{e^{i(\omega t - kL)}}{ik\sin\vartheta} \left( \left[ e^{ikx \sin \vartheta}\right]_{-2D}^{-D}+ \left[ e^{i(kx \sin \vartheta + \pi)}\right]_{-D}^{D}+ \left[ e^{ikx \sin \vartheta}\right]_{D}^{2D} \right) = \] \[ = \mathcal{E_0} \frac{e^{i(\omega t - kL)}}{ik\sin\vartheta} \left( e^{- ik D \sin \vartheta} - e^{- ik 2D \sin \vartheta} + e^{ik D \sin \vartheta} \color{midnightblue}{e^{i\pi}} - e^{- ik D \sin \vartheta} \color{midnightblue}{e^{i\pi}} + e^{ik 2D \sin \vartheta} - e^{ik D \sin \vartheta} \right) = \]

  Pomocí Eulerova vztahu \(\color{MidnightBlue}{e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi}\) zjistíme, že

  \[ \color{MidnightBlue}{ e^{i\pi} = \cos \pi + i\sin \pi = -1, } \] což zjednoduší předchozí výraz..

  \[ = \mathcal{E_0} \frac{e^{i(\omega t - kL)}}{ik\sin\vartheta} \left( e^{- ik D \sin \vartheta} - e^{- ik 2D \sin \vartheta} - e^{ik D \sin \vartheta} + e^{- ik D \sin \vartheta} + e^{ik 2D \sin \vartheta} - e^{ik D \sin \vartheta} \right) = \] \[ = \mathcal{E_0} \frac{e^{i(\omega t - kL)}}{ik\sin\vartheta} \left[ -2\left(e^{ ik D \sin \vartheta} - e^{-ik D \sin \vartheta}\right) + e^{ik 2D \sin \vartheta} - e^{- ik 2D \sin \vartheta} \right] = \]

  K další úpravě využijeme toho, že platí

  \[ \color{MidnightBlue}{ e^{i\alpha} - e^{-i\alpha} = 2i\sin\alpha, } \] neboť \[ \small \color{MidnightBlue}{ e^{i\alpha} - e^{-i\alpha} = \cos \alpha + i\sin\alpha - \cos\alpha + i\sin\alpha = 2i\sin\alpha. } \]

  \[ = \mathcal{E_0} \frac{e^{i(\omega t - kL)}}{ik\sin\vartheta} \left( -4i\sin(kD\sin\vartheta) + 2i\sin(2kD\sin\vartheta) \right) = \]

  Rozepíšeme druhý sinus pomocí identity \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\).

  \[ = \mathcal{E_0} \frac{e^{i(\omega t - kL)}}{k\sin\vartheta} \left( -4\sin(kD\sin\vartheta) + 4\sin(kD\sin\vartheta)\cos(kD\sin\vartheta) \right) = \] \[ = - 8\mathcal{E_0} \frac{e^{i(\omega t - kL)}}{k\sin\vartheta} \sin(kD\sin\vartheta) \frac{1 - \cos(kD\sin\vartheta)}{2} = \]

  Upravíme užitím goniometrického vzorce \(\small \frac{1-\cos\alpha}{2} = \sin^2 \frac{\alpha}{2}\).

  \[ = - 8 \mathcal{E_0} \frac{e^{i(\omega t - kL)}}{k\sin\vartheta} \sin(kD\sin\vartheta) \sin^2\left(\frac{kD\sin\vartheta}{2}\right). \]

  Provedením kosmetických úprav získáváme výsledný vztah pro elektrickou intenzitu

  \[ E(\vartheta) = -8D \mathcal{E_0} e^{i(\omega t - kL)} \frac{\sin(kD\sin\vartheta)}{ kD\sin\vartheta} \sin^2\left(\frac{kD\sin\vartheta}{2}\right). \]

• Nápověda 3 – průběh intenzity na stínítku

  Intenzita světla je úměrná výrazu \(EE^\star\), kde \(^\star\) značí komplexní sdružení. Určete tento součin.

• Řešení nápovědy 3 – průběh intenzity na stínítku

  Komplexní sdružení k právě vypočítané elektrické intenzitě

  \[E(\vartheta) = -8D \mathcal{E_0} e^{i(\omega t - kL)} \frac{\sin(kD\sin\vartheta)}{ kD\sin\vartheta} \sin^2\left(\frac{kD\sin\vartheta}{2}\right).\]

  je

  \[E^\star(\vartheta) = -8D \mathcal{E_0} e^{-i(\omega t - kL)} \frac{\sin(kD\sin\vartheta)}{ kD\sin\vartheta} \sin^2\left(\frac{kD\sin\vartheta}{2}\right). \]

  Součin těchto výrazů je úměrný intenzitě osvětlení stínítka

  \[ I \sim EE^\star = 64 D^2\mathcal{E_0}^2 \underbrace{e^{i(\omega t - kL)}e^{-i(\omega t - kL)}}_{1} \,\frac{\sin^2(kD\sin\vartheta)}{ \left(kD\sin\vartheta\right)^2}\, \sin^4\left(\frac{kD\sin\vartheta}{2}\right). \]

  Zajímá nás pouze relativní závislost světelné intenzity, tj. hledaná funkce

  \[ I\sim \frac{\sin^2(kD\sin\vartheta)}{ \left(kD\sin\vartheta\right)^2}\, \sin^4\left(\frac{kD\sin\vartheta}{2}\right). \tag{3}\]

  Pro štěrbinu šířky \(2D\) bez destičky by vyšlo pouze (viz úloha Ohyb na štěrbině)

  \[ I \sim \frac{\sin^2(kD\sin\vartheta)}{ \left(kD\sin\vartheta\right)^2}. \tag{4}\]

  Pro porovnání vykreslíme grafy obou funkcí (3) a (4) do jednoho grafu – žlutě je vynesena situace s destičkou, červeně pak obyčejná štěrbina šířky \(2D\).

  

  Vidíme, že v případě štěrbiny s retardační destičkou dojde k rozdělení centrálního maxima do dvou částí.

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ – doplnit PO kontrole

  • Pro Fraunhoferův ohyb lze válcové vlnoplochy vzhledem ke stínítku malých rozměrů považovat za rovinné vlny ve tvaru

  \[ E=E_0 e^{i(\omega t - kr + \varphi_0)}, \]

  kde v amplitudě \(E_0\) je již zahrnut pokles amplitudy válcových vln na cestě ke stínítku tj. tento pokles bude uvažován pro všechny vlny stejný (stínítko je daleko – velmi malé rozdíly drah šíření jsou z tohoto hlediska zanedbatelné).

  • Závislost světelné intenzity na stínítku je (v komplexním formalismu) úměrná součinu \[ I \sim EE^\star, \] kde \(^\star\) značí komplexní sdružení.

  Nejdříve najdeme příspěvek k elektrické intenzitě v daném místě stínítka od elementárního zdroje na souřadnici \(x\), který je funkcí času \(t\), vzdálenosti \(r\) místa na stínítku od uvažovaného zdroje a počáteční fáze \(\varphi_0\). Tedy

  \[ \mathrm{d}E = \mathcal{E_0} e^{i(\omega t - kr + \varphi_0)} \mathrm{d}x, \]

  kde konstanta \(\mathcal{E_0}\) má význam elektrické intenzity na jednotku šířky štěrbiny a navíc zahrnuje pokles amplitudy vlny na cestě ke stínítku.

  Vzdálenost \(r\) lze vyjádřit z následujích obrázků jako

  \[ r= L - x \sin \vartheta. \]

  

  Aproximací pro vzdálené stínítko dostaneme zelený pravoúhlý trojúhelník.

  Hledaný příspěvek k elektrické intenzitě v místě stínítka určeném úhlem \(\vartheta\) od elementárního zdroje na souřadnici \(x\) je

  \[ \mathrm{d}E = \mathcal{E_0} e^{i(\omega t - kL + kx \sin \vartheta + \varphi_0)} \mathrm{d}x. \]

  Celkovou el. intenzitu získáme vyintegrováním elementárních příspěvků přes celou štěrbinu

  \[ E(\vartheta) = \int\limits_{\small\begin{array}{c}\text{celá}\\ \text{štěrbina}\end{array}} \mathrm{d}E = \mathcal{E_0} e^{i(\omega t - kL)} \left(\, \int\limits_{-2D}^{-D} e^{ikx \sin \vartheta} \mathrm{d}x + \int\limits_{-D}^{D} e^{i(kx \sin \vartheta + \pi)} \mathrm{d}x + \int\limits_{D}^{2D} e^{ikx \sin \vartheta} \mathrm{d}x \right) \]

  První a třetí integrál představuje části štěrbiny bez retardační destičky, v prostředním integrandu se projeví přítomnost destičky fázovým rozdílem \(\pi\).

  a provedeme integraci.

  \[ = \mathcal{E_0} \frac{e^{i(\omega t - kL)}}{ik\sin\vartheta} \left( \left[ e^{ikx \sin \vartheta}\right]_{-2D}^{-D}+ \left[ e^{i(kx \sin \vartheta + \pi)}\right]_{-D}^{D}+ \left[ e^{ikx \sin \vartheta}\right]_{D}^{2D} \right) = \] \[ = \mathcal{E_0} \frac{e^{i(\omega t - kL)}}{ik\sin\vartheta} \left( e^{- ik D \sin \vartheta} - e^{- ik 2D \sin \vartheta} + e^{ik D \sin \vartheta} \color{midnightblue}{e^{i\pi}} - e^{- ik D \sin \vartheta} \color{midnightblue}{e^{i\pi}} + e^{ik 2D \sin \vartheta} - e^{ik D \sin \vartheta} \right) = \]

  Pomocí Eulerova vztahu \(\color{MidnightBlue}{e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi}\) zjistíme, že

  \[ \color{MidnightBlue}{ e^{i\pi} = \cos \pi + i\sin \pi = -1, } \] což zjednoduší předchozí výraz..

  \[ = \mathcal{E_0} \frac{e^{i(\omega t - kL)}}{ik\sin\vartheta} \left[ -2\left(e^{ ik D \sin \vartheta} - e^{-ik D \sin \vartheta}\right) + e^{ik 2D \sin \vartheta} - e^{- ik 2D \sin \vartheta} \right] = \]

  K další úpravě využijeme toho, že platí

  \[ \color{MidnightBlue}{ e^{i\alpha} - e^{-i\alpha} = 2i\sin\alpha, } \] neboť \[ \small \color{MidnightBlue}{ e^{i\alpha} - e^{-i\alpha} = \cos \alpha + i\sin\alpha - \cos\alpha + i\sin\alpha = 2i\sin\alpha. } \]

  \[ = \mathcal{E_0} \frac{e^{i(\omega t - kL)}}{ik\sin\vartheta} \left( -4i\sin(kD\sin\vartheta) + 2i\sin(2kD\sin\vartheta) \right) = \]

  Při dalších úpravách použijeme goniometrické vzorce a dostaneme hledanou elektrickou intenzitu.

  \[ E(\vartheta) = -8D \mathcal{E_0} e^{i(\omega t - kL)} \frac{\sin(kD\sin\vartheta)}{ kD\sin\vartheta} \sin^2\left(\frac{kD\sin\vartheta}{2}\right). \]

  Dosazením komplexně sdružené elektrické intenzity do vzorce pro světelnou intenzitu dostaneme

  \[ I \sim EE^\star = 64 D^2\mathcal{E_0}^2 \underbrace{e^{i(\omega t - kL)}e^{-i(\omega t - kL)}}_{1} \,\frac{\sin^2(kD\sin\vartheta)}{ \left(kD\sin\vartheta\right)^2}\, \sin^4\left(\frac{kD\sin\vartheta}{2}\right). \]

  Zajímá nás pouze relativní závislost světelné intenzity, tj. hledaná funkce

  \[ I\sim \frac{\sin^2(kD\sin\vartheta)}{ \left(kD\sin\vartheta\right)^2}\, \sin^4\left(\frac{kD\sin\vartheta}{2}\right). \]

  Pro štěrbinu šířky \(2D\) bez destičky by vyšlo pouze (viz úloha Ohyb na štěrbině)

  \[ I \sim \frac{\sin^2(kD\sin\vartheta)}{ \left(kD\sin\vartheta\right)^2}. \]

  Pro porovnání vykreslíme grafy obou předešlých funkcí světelných intenzit do jednoho grafu – žlutě je vynesena situace s destičkou, červeně pak obyčejná štěrbina šířky \(2D\).

  

  Vidíme, že v případě štěrbiny s retardační destičkou dojde k rozdělení centrálního maxima do dvou částí.

• Odpověď

  Relativní závislost světelné intenzity na stínítku při ohybu na zadané štěrbině je

  \[ I\sim \frac{\sin^2(kD\sin\vartheta)}{ \left(kD\sin\vartheta\right)^2}\, \sin^4\left(\frac{kD\sin\vartheta}{2}\right), \]

  zatímco při osvětlení štěrbiny šířky \(2D\) bez vložené retardační destičky je závislost jednodušší

  \[ I\sim \frac{\sin^2(kD\sin\vartheta)}{ \left(kD\sin\vartheta\right)^2}. \]

  Hlavním znakem ohybového obrazce štěrbiny s destičkou je rozdělení centrálního maxima na dvě části. Ohybové obrazce pro porovnání jsou na následujícím obrázku (žlutě štěrbina s destičkou, červeně bez):