Překrytí spekter

Úloha číslo: 1669

Najděte pro k-tý řád interference Δλ takové, aby se spektrum k-tého řádu pro vlnové délky v intervalu (λ − Δλ, λ + Δλ) nepřekrývalo se spektrem řádu k+1. Najděte tuto hodnotu pro 1. řád interference.

  • Nápověda 1

    Pro tuto úlohu potřebujeme nejprve vědět, z jakého vztahu vypočítáme úhel odchýlení α za pomoci vlnové délky λ.

  • Nápověda 2

    Jaká podmínka pro úhel odchýlení platí, aby se spektra k-tého řádu a řádu (k+1) nepřekrývala?

  • Řešení

    Pro tuto úlohu si nejprve najdeme vztah, ze kterého vypočítáme úhel odchýlení α za pomoci vlnové délky λ pro obecný k-tý řád spektra. Tento vztah je:

    \[b\sin\,\alpha=k\lambda,\]

    kde b je mřížková konstanta, α je úhel odchýlení, k je řád maxima a λ je vlnová délka dopadajícího světla.

    Ze vztahu si vyjádříme úhel odchýlení α a dosadíme si za λ krajní hodnoty zadaného intervalu pro k-tý řád.

    Dostaneme:

    \[\sin \alpha_\mathrm{\lambda + \mathrm{\Delta}\lambda}= \, \frac{k(\lambda + \mathrm{\Delta}\lambda)}{b},\] \[\sin \alpha_\mathrm{\lambda − \mathrm{\Delta}\lambda}= \, \frac{k(\lambda − \mathrm{\Delta}\lambda)}{b}.\]

    Nechceme, aby se spektra obecně pro k-tý řád a řád (k+1). překryla. Tedy úhel odchýlení největší vlnové délky z k-tého řádu spektra musí být menší nebo roven úhlu odchýlení nejmenší vlnové délky z řádu spektra (k+1).

    Napíšeme si rovnice pro zadaný interval vlnových délek.

    \[\sin \alpha_\mathrm{\lambda + \mathrm{\Delta}\lambda}= \frac{k(\lambda + \mathrm{\Delta}\lambda)}{b},\] \[\sin \alpha_\mathrm{\lambda − \mathrm{\Delta}\lambda}= \frac{(k+1)(\lambda − \mathrm{\Delta}\lambda)}{b}.\]

    Jestliže nás zajímá krajní řešení, kdy se úhly odchýlení rovnají, vezmeme rovnice výše uvedené a dáme je do rovnosti. Pokud se mají rovnat hodnoty sinů, pak se rovnají i hodnoty jejich argumentů (pracujeme s úhly v intervalu 0 až π):

    \[\frac{k(\lambda + \mathrm{\Delta}\lambda)}{b} = \, \frac{(k+1)(\lambda − \mathrm{\Delta}\lambda)}{b}. \]

    Upravíme rovnici do tvaru:

    \[k\lambda + k\mathrm{\Delta}\lambda=\,k\lambda − k\mathrm{\Delta}\lambda + \lambda − \mathrm{\Delta}\lambda \quad\Rightarrow\quad 2k\mathrm{\Delta}\lambda + \mathrm{\Delta}\lambda=\,\lambda, \]

    odkud si vyjádříme Δλ a získáme zobecněný vztah pro k-tý řád maxima:

    \[\mathrm{\Delta}\lambda=\, \frac{\lambda}{(2k+1)}.\]

    Pro hodnotu 1. řádu interference, kde k = 1, je hledané Δλ rovno:

    \[\mathrm{\Delta}\lambda=\, \frac{\lambda}{(2{\cdot}1+1)}=\,\frac{\lambda}{3}.\]
  • Odpověď

    Zobecněný vztah pro obecný k-tý řád spektra je vztah pro Δλ roven:

    \[\mathrm{\Delta}\lambda=\, \frac{\lambda}{(2k+1)}.\]

    Pro 1. řád interference je vztah pro Δλ roven:

    \[\mathrm{\Delta}\lambda=\,\frac{\lambda}{3}.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze