Sbírka řešených úloh

Překrytí spekter

Úloha číslo: 1669

• Nápověda 1

  Pro tuto úlohu potřebujeme nejprve vědět, z jakého vztahu vypočítáme úhel odchýlení α za pomoci vlnové délky λ.

• Řešení nápovědy 1

  Pro úhel odchýlení α v případě interferenčního maxima platí vztah:

  \[b\sin\,α=kλ,\]

  kde b je mřížková konstanta, α je úhel odchýlení, k je řád maxima a λ je vlnová délka dopadajícího světla.

  Podrobné vysvětlení najdete v úloze Výpočet úhlu odchýlení maxima.

  Ze vztahu si vyjádříme úhel odchýlení α a dosadíme si za λ krajní hodnoty zadaného intervalu.

• Nápověda 2

  Jaká podmínka pro úhel odchýlení platí, aby se spektra k-tého řádu a řádu (k+1) nepřekrývala?

• Řešení nápovědy 2

  Nechceme, aby se spektra k-tého a řádu (k+1) překryla. Tedy úhel odchýlení největší vlnové délky z k-tého řádu spektra musí být menší nebo roven úhlu odchýlení nejmenší vlnové délky z řádu spektra (k+1).

  Napíšeme si rovnice pro zadaný interval vlnových délek.

  \[\sin \alpha_\mathrm{\lambda + \mathrm{\Delta}\lambda}= \frac{k(\lambda + \mathrm{\Delta}\lambda)}{b},\] \[\sin \alpha_\mathrm{\lambda − \mathrm{\Delta}\lambda}= \frac{(k\mathrm{+1})(\lambda − \mathrm{\Delta}\lambda)}{b}.\]

  Úhly odchýlení se mají v krajním případě rovnat, proto rovnice výše uvedené dáme do rovnosti. Pokud se mají rovnat hodnoty sinů, pak se rovnají i hodnoty jejich argumentů (pracujeme s úhly v intervalu 0 až π). Z výsledné rovnice dostaneme řešení.

• Řešení

  Pro tuto úlohu si nejprve najdeme vztah, ze kterého vypočítáme úhel odchýlení α za pomoci vlnové délky λ pro obecný k-tý řád spektra. Tento vztah je:

  \[b\sin\,\alpha=k\lambda,\]

  kde b je mřížková konstanta, α je úhel odchýlení, k je řád maxima a λ je vlnová délka dopadajícího světla.

  Ze vztahu si vyjádříme úhel odchýlení α a za λ si dosadíme krajní hodnoty zadaného intervalu pro k-tý řád.

  Dostaneme:

  \[\sin \alpha_\mathrm{\lambda + \mathrm{\Delta}\lambda}= \, \frac{k(\lambda + \mathrm{\Delta}\lambda)}{b},\] \[\sin \alpha_\mathrm{\lambda − \mathrm{\Delta}\lambda}= \, \frac{k(\lambda − \mathrm{\Delta}\lambda)}{b}.\]

  Nechceme, aby se spektra obecně pro řád k a řád (k+1) překryla. Tedy úhel odchýlení největší vlnové délky z k-tého řádu spektra musí být menší nebo roven úhlu odchýlení nejmenší vlnové délky z řádu spektra (k+1).

  Napíšeme si rovnice pro zadaný interval vlnových délek.

  \[\sin \alpha_\mathrm{\lambda + \mathrm{\Delta}\lambda}= \frac{k(\lambda + \mathrm{\Delta}\lambda)}{b},\] \[\sin \alpha_\mathrm{\lambda − \mathrm{\Delta}\lambda}= \frac{(k+1)(\lambda − \mathrm{\Delta}\lambda)}{b}.\]

  Jestliže nás zajímá krajní řešení, kdy se úhly odchýlení rovnají, vezmeme rovnice výše uvedené a dáme je do rovnosti. Pokud se mají rovnat hodnoty sinů, pak se rovnají i hodnoty jejich argumentů (pracujeme s úhly v intervalu 0 až π):

  \[\frac{k(\lambda + \mathrm{\Delta}\lambda)}{b} = \, \frac{(k+1)(\lambda − \mathrm{\Delta}\lambda)}{b}. \]

  Upravíme rovnici do tvaru:

  \[k\lambda + k\mathrm{\Delta}\lambda=\,k\lambda − k\mathrm{\Delta}\lambda + \lambda − \mathrm{\Delta}\lambda \quad\Rightarrow\quad 2k\mathrm{\Delta}\lambda + \mathrm{\Delta}\lambda=\,\lambda, \]

  odkud si vyjádříme Δλ a získáme zobecněný vztah pro k-tý řád maxima:

  \[\mathrm{\Delta}\lambda=\, \frac{\lambda}{(2k+1)}.\]

  Pro hodnotu 1. řádu interference, kde k = 1, je hledané Δλ rovno:

  \[\mathrm{\Delta}\lambda=\, \frac{\lambda}{(2{\cdot}1+1)}=\,\frac{\lambda}{3}.\]

• Odpověď

  Zobecněný vztah pro obecný k-tý řád spektra je vztah pro Δλ roven:

  \[\mathrm{\Delta}\lambda=\, \frac{\lambda}{(2k+1)}.\]

  Pro 1. řád interference je vztah pro Δλ roven:

  \[\mathrm{\Delta}\lambda=\,\frac{\lambda}{3}.\]