Působení vlny na náboj

Úloha číslo: 1556

Do rovinné monochromatické lineárně polarizované vlny s amplitudou \(E_0\) volně umístíme náboj \(Q\). Určete časovou závislost souřadnice náboje \(x(t)\).

Při volbě integračních konstant předpokládejte, že se náboj s časem globálně nikam neposouvá. V rozsahu pohybu náboje neuvažujte prostorovou závislost elektrické intenzity vlny. Účinek magnetické složky vlny a interakci s magnetickým polem pohybujícího se náboje zanedbejte.

  • Teorie

    Na náboj \(Q\) v elektromagnetickém poli působí tzv. Lorentzova síla

    \[\vec{F} = Q(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B}).\]

    Chování náboje \(Q\) o hmotnosti \(m\) v elektromagnetickém poli s danými průběhy \(\vec{E}(\vec{r},t)\) a \(\vec{B}(\vec{r},t)\) určuje řešení pohybové rovnice

    \[ m\ddot{\vec{r}} = Q(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B}). \]

    V případě, kdy je příspěvek magnetické části síly zanedbatelný, volíme \(\vec{B} = \vec{0}\).

  • Nápověda 1 – volba souřadnic, elektrická intenzita

    Vhodně zvolte soustavu souřadnic. Elektrické pole v blízkém okolí náboje aproximujte prostorově nezávislým průběhem. Napište toto vyjádření pro elektrickou intenzitu vlny v oblasti výskytu náboje.

  • Nápověda 2 – sestavení pohybové rovnice

    Sestavte pohybovou rovnici pro volný náboj \(Q\) v elektrickém poli (2).

    Síla působící na náboj \(Q\) v poli s elektrickou intenzitou \(\vec{E}\) je

    \[\vec{F} = Q\vec{E}.\]
  • Nápověda 3 – řešení diferenciální rovnice

    V minulé části jsme dostali diferenciální rovnici

    \[ \ddot x = \frac{Q E_0}{m} e^{i\omega t}. \]

    Nalezněte její řešení.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Na náboj \(Q\) v elektromagnetickém poli působí tzv. Lorentzova síla

    \[ m\ddot{\vec{r}} = Q(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B}). \]

    V našem případě je \(\vec{B} = \vec{0}\).

    Neboť je vlna lineárně polarizovaná, bude šikovné volit kladnou osu \(x\) přímo do směru amplitudy.

    Elektrická intenzita tak bude

    \[ \vec{E}(x,t) = E_0 e^{i(\omega t - kx)} \vec{j}_x, \]

    kde \(\vec{j}_x\) je jednotkový vektor ve směru osy \(x\).

    Za elektrickou intenzitu v prostoru výskytu náboje budeme brát zmíněnou intenzitu pro \(x=0\)

    \[ \vec{E} \approx \vec{E}(0,t) = E_0 e^{i\omega t} \vec{j}_x, \]

    neboť elektrické pole v blízkém okolí náboje lze pro první přiblížení uvažovat prostorově nezávislé.

    Vyřešíme pohybovou rovnici \[ m\ddot{\vec{r}} = Q E_0 e^{i\omega t} \vec{j}_x. \] Zajímavá bude pouze \(x\)-ová složka \[ m\ddot x = Q E_0 e^{i\omega t}. \]

    Řešení nalezneme přímou integrací

    \[ \dot x = \frac{Q E_0}{m} \int e^{i\omega t} \mathrm{d}t = \frac{Q E_0}{m} \frac{e^{i\omega t}}{i\omega} + C_1, \] \[ x = \int \bigg( \frac{Q E_0}{m} \frac{e^{i\omega t}}{i\omega} + C_1 \bigg) \mathrm{d}t = \frac{Q E_0}{m} \frac{e^{i\omega t}}{i^2\omega^2} + C_1t + C_2. \] Tedy \[ x = - \frac{Q E_0}{m} \frac{e^{i\omega t}}{\omega^2} + C_1t + C_2. \]

    Pokud umístníme náboj do počátku, potom \(C_2 = 0\)

    Předpoklad v zadání nám říká, že náboj žádnou počáteční rychlost nemá. Tím pádem jediným příspěvkem rychlosti je exponenciální člen v dané rovnici a \(C_1 = 0\).

    Řešením diferenciální rovnice a volbou konstant jsme získali průběh

    \[ x(t) = - \frac{Q E_0}{m\omega^2} e^{i\omega t} \]
  • Odpověď

    Časová závislost souřadnice \(x\) náboje \(Q\) o hmotnosti \(m\) v harmonickém elektrickém poli s amplitudou \(E_0\) a úhlovou frekvencí \(\omega\) je

    \[ x(t) = - \frac{Q E_0}{m\omega^2} e^{i\omega t}. \]

    Příklad je nástinem principu interakce záření s látkou. Je-li látka vystavena elektromagnetické vlně, její náboje začnou také kmitat. Takto vznikající elementární vlny pak mohou různým způsobem interferovat za vzniku výsledné vlny odlišných parametrů.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Úloha na zjišťování faktů
Úloha na konkretizaci
Zaslat komentář k úloze