Ploskodutá čočka

Úloha číslo: 1918

Ploskodutá čočka zhotovená ze skla o indexu lomu \(1{,}5\) je umístěna ve vzduchu. Její ohnisková vzdálenost je \(−10 \mathrm{cm}\). Určete její poloměr křivosti.

Ploskodutá čočka

  • Zápis

    \(n_{s}=1{,}5\) index lomu skla
    \(f=10 \mathrm{cm}\) ohnisková vzdálenost
    \(r= ?\) poloměr křivosti

  • Nápověda 1

    Každá čočka má dva poloměry křivosti. Proč v tomto případě hledáme hodnotu jen jednoho z nich?

  • Řešení nápovědy 1

    Hodnotu poloměru křivosti ploské (první) plochy \(r_{1}\) známe, neboť se blíží k nekonečnu. To je důvod, proč hledáme pouze hodnotu poloměru křivosti duté (druhé) plochy \(r_{2}=r\).

  • Nápověda 2

    Předpokládejme, že se jedná o tenkou čočku. Poloměry křivosti ovlivňují ohniskovou vzdálenost čočky. Dokážete tuto skutečnost popsat matematicky?

  • Nápověda 3

    Jak upravíme zobrazovací rovnici, aby ohnisková vzdálenost byla závislá jen na jednom poloměru křivosti \(r_{2}=r\)? Následně tento poloměr vyjádřete a dopočítejte číselně.

  • Celkové řešení

    Zobrazovací rovnice pro tenkou čočku

    Změnu ohniskové vzdálenosti čočky \(f\) v závislosti na změně poloměrů křivosti optických ploch \(r_{1}\) a \(r_{2}\), popisuje zobrazovací rovnice. Budeme přepokládat, že se jedná o tenkou čočku: \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{s}}{n_{v}}−1\right)\left(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}\right),\] kde \(n_{s}\) je index lomu skla a \(n_{v}\) je index lomu vzduchu.

     

    Vyjádření poloměru křivosti

    Poloměr křivosti \(r_{1}\) se blíží k nekonečnu. Z toho plyne, že zlomek \(\frac{1}{r_{1}}\) se blíží k nule. A proto nám tento člen ze zobrazovací rovnice „zmizí“:

    \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{s}}{n_{v}}−1\right)\frac{1}{r_{2}}.\]

    Poloměr křivosti \(r_{2}\) si označíme jako \(r\) (\(r_{2}=r\)):

    \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{s}}{n_{v}}−1\right)\frac{1}{r}.\]

    Obě strany rovnice vynásobíme výrazem \(r\cdot f\): \[r=\left(\frac{n_{s}}{n_{v}}−1\right)f.\]

    Číselné řešení

    Ze zadání víme:

    \(n_{s}=1{,}5\) (index lomu skla)

    \(f=−10 \mathrm{cm}\) (ohnisková vzdálenost čočky)

    V tabulkách dohledáme hodnotu indexu lomu vzduchu :

    \(n_{v}=1{,}0\)

    Dosadíme:

    \(r=\left(\frac{n_{s}}{n_{v}}−1\right)f=\left(\frac{1{,}5}{1{,}0}−1\right)\cdot \left(−10\right) \mathrm{cm}=0{,}5\cdot \left(−10\right) \mathrm{cm}=−5 \mathrm{cm}.\)

    Jedná se o poloměr křivosti duté plochy, z toho důvodu nám jeho hodnota vyšla záporná.

  • Odpověď

    Hodnota poloměru křivosti ploskoduté čočky je \(−5 \mathrm{cm}\).

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Původní zdroj: Bartuška, K. Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy (1.
vyd.). Prometheus, Praha 1997.
Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
×Původní zdroj: Bartuška, K. Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy (1. vyd.). Prometheus, Praha 1997.
Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
Zaslat komentář k úloze