Sbírka řešených úloh

Dutovypuklá čočka

Úloha číslo: 1908

Dutovypuklá čočka zhotovená ze skla o indexu lomu \(1{,}5\) a umístěna ve vzduchu, má ohniskovou vzdálenost \(12 \mathrm{cm}\).

Jaké jsou poloměry křivosti obou optických ploch čočky, jestliže dutá plocha má dvakrát větší poloměr křivosti než vypuklá?

• Zápis

  \(n_{s}=1{,}5\)	index lomu skla
  \(f=12 \mathrm{cm}=0{,}12 \mathrm{m}\)	ohnisková vzdálenost
  \(r_{1}= ?\)	poloměr křivosti duté plochy
  \(r_{2}= ?\)	poloměr křivosti vypuklé plochy

• Nápověda 1

  V zadání jsme se dočetli, že dutá plocha má dvakrát větší poloměr než vypuklá. Tuto skutečnost zapište. Využijte znaménkové konvence uvedené v Zobrazení netopýra kulovým zrcadlem a spojnou čočkou, Poloměr křivosti a ohnisková vzdálenost a rozhodněte, zda budou mít poloměry křivosti kladnou či zápornou hodnotu.

• Řešení nápovědy 1

  Díky znaménkové konvenci víme, že pokud má první plocha střed křivosti před čočkou, je její poloměr křivosti záporný. Kdyby byl střed křivosti první plochy za čočkou, pak by byl její poloměr křivosti kladný. U druhé plochy je tomu naopak. Dutá plocha (první) má záporný poloměr křivosti \(r_{1}\lt 0\) a vypuklá plocha (druhá) kladný \(r_{2}\gt 0\). Jak již bylo zmíněno, dutá plocha má dvakrát větší poloměr než vypuklá. Proto můžeme psát: \[r_{1}=−2r_{2}.\tag{1}\]

• Nápověda 2

  Poloměry křivosti optických ploch čočky určují vlastnosti dané čočky. Ovlivňují tedy také ohniskovou vzdálenost čočky.

  Znáte nějakou rovnici, která by popisovala, jak se změní ohnisková vzdálenost čočky v závislosti na změně poloměrů křivosti optických ploch?

  Budeme předpokládat, že se jedná o tenkou čočku.

• Řešení nápovědy 2

  Změnu ohniskové vzdálenosti čočky \(f\) v závislosti na změně poloměrů křivosti optických ploch \(r_{1}\) a \(r_{2}\) popisuje zobrazovací rovnice. Napíšeme ji pro naši tenkou čočku. \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{s}}{n_{v}}−1\right)\left(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}\right),\tag{2}\] kde \(n_{s}\) je index lomu skla a \(n_{v}\) je index lomu vzduchu.

• Nápověda 3

  Nyní již můžeme získané vztahy spojit a určit hledané poloměry křivosti.

• Řešení nápovědy 3

  Zopakujeme si vztahy: \[r_{1}=−2r_{2},\tag{1}\] \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{s}}{n_{v}}−1\right)\left(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}\right).\tag{2}\]

  Do rovnice (2) dosadíme vztah (1): \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{s}}{n_{v}}−1\right)\left(\frac{1}{\left(−2r_{2}\right)}+\frac{1}{r_{2}}\right).\]

  Nyní budeme rovnici upravovat tak, abychom vyjádřili poloměr křivosti \(r_{2}\).

  Nejprve upravíme zlomky v závorkách: \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{s}−n_{v}}{n_{v}}\right)\left(\frac{−1}{2r_{2}}+\frac{2}{2r_{2}}\right),\] \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{s}−n_{v}}{n_{v}}\right)\left(\frac{1}{2r_{2}}\right).\]

  Obě strany rovnice vynásobíme výrazem \(\frac{n_{v}}{n_{s}−n_{v}}\): \[\frac{1}{f}\frac{n_{v}}{n_{s}−n_{v}}=\frac{1}{2r_{2}}.\] Obě strany rovnice vynásobíme dvojkou: \[\frac{2}{f}\frac{n_{v}}{n_{s}−n_{v}}=\frac{1}{r_{2}},\] \[\frac{2n_{v}}{f\left(n_{s}−n_{v}\right)}=\frac{1}{r_{2}}.\] Vyjádříme \(r_{2}\): \[r_{2}=\frac{f\left(n_{s}−n_{v}\right)}{2n_{v}}.\]

  Určili jsme poloměr křivosti vypuklé plochy. Dle (1) dopočítáme poloměr křivosti duté plochy:

  \[r_{1}=−2r_{2},\] \[r_{1}=−2\cdot \frac{f\left(n_{s}−n_{v}\right)}{2n_{v}}.\]

  Po vynásobení zlomku dostáváme:

  \[r_{1}= \frac{f\left(n_{v}−n_{s}\right)}{n_{v}}.\]

  Číselné řešení

  Ze zadání víme:

  \(n_{s}=1{,}5\) (index lomu skla)

  \(f=12 \mathrm{cm}=0{,}12 \mathrm{m}\) (ohnisková vzdálenost čočky)

  V tabulkách dohledáme hodnotu indexu lomu vzduchu :

  \(n_{v}=1{,}0\)

  Dosadíme do vztahu pro poloměr křivosti duté plochy:

  \(r_{1}= \frac{f\left(n_{v}−n_{s}\right)}{n_{v}}=\frac{0{,}12\cdot \left(1−1{,}5\right)}{1} \mathrm{m}=−0{,}06 \mathrm{m}=−6 \mathrm{cm}\).

  Dosadíme do vztahu pro poloměr křivosti vypuklé plochy:

  \(r_{2}=\frac{f\left(n_{s}−n_{v}\right)}{2n_{v}}=\frac{0{,}12\cdot \left(1{,}5−1\right)}{2{\cdot} 1 }=0{,}03 \mathrm{m}=3 \mathrm{cm}\).

  Poloměr křivosti duté plochy vyšel záporný a poloměr křivosti vypuklé plochy kladný, což jsme podle znaménkové konvence očekávali.

• Celkové řešení

  Znaménková konvence

  Díky znaménkové konvenci uvedené v Zobrazení netopýra kulovým zrcadlem a spojnou čočkou, Poloměr křivosti a ohnisková vzdálenost víme, že pokud má první plocha střed křivosti před čočkou, je její poloměr křivosti záporný. Kdyby byl střed křivosti první plochy za čočkou, pak by byl její poloměr křivosti kladný. U druhé plochy je tomu naopak. Dutá plocha (první) má záporný poloměr křivosti \(r_{1}\lt 0\) a vypuklá plocha (druhá) kladný \(r_{2}\gt 0\). Jak již bylo zmíněno, dutá plocha má dvakrát větší poloměr než vypuklá. Proto můžeme psát: \[r_{1}=−2r_{2}.\tag{1}\]

  Zobrazovací rovnice

  Poloměry křivosti optických ploch čočky určují vlastnosti dané čočky. Ovlivňují tedy také ohniskovou vzdálenost čočky \(f\).

  Změnu ohniskové vzdálenosti čočky v závislosti na změně poloměrů křivosti optických ploch popisuje zobrazovací rovnice (předpokládáme, že se jedná o tenkou čočku): \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{s}}{n_{v}}−1\right)\left(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}\right),\] kde \(n_{s}\) je index lomu skla a \(n_{v}\) je index lomu vzduchu.

   

  Poloměry křivosti

  Nyní můžeme získané vztahy spojit a určit hledané poloměry křivosti.

  Do rovnice (2) dosadíme vztah (1): \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{s}}{n_{v}}−1\right)\left(\frac{1}{\left(−2r_{2}\right)}+\frac{1}{r_{2}}\right).\]

  Rovnici budeme upravovat tak, abychom vyjádřili poloměr křivosti \(r_{2}\).

  Nejprve upravíme zlomky v závorkách: \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{s}−n_{v}}{n_{v}}\right)\left(\frac{−1}{2r_{2}}+\frac{2}{2r_{2}}\right),\] \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{s}−n_{v}}{n_{v}}\right)\left(\frac{1}{2r_{2}}\right).\]

  Obě strany rovnice vynásobíme výrazem \(\frac{n_{v}}{n_{s}−n_{v}}\): \[\frac{1}{f}\frac{n_{v}}{n_{s}−n_{v}}=\frac{1}{2r_{2}}.\] Obě strany rovnice vynásobíme dvojkou: \[\frac{2}{f}\frac{n_{v}}{n_{s}−n_{v}}=\frac{1}{r_{2}},\] \[\frac{2n_{v}}{f\left(n_{s}−n_{v}\right)}=\frac{1}{r_{2}}.\] Vyjádříme \(r_{2}\): \[r_{2}=\frac{f\left(n_{s}−n_{v}\right)}{2n_{v}}.\]

  Určili jsme poloměr křivosti vypuklé plochy. Dle (1) dopočítáme poloměr křivosti duté plochy: \[r_{1}=−2r_{2},\] \[r_{1}=−2\cdot \frac{f\left(n_{s}−n_{v}\right)}{2n_{v}}.\] Po vynásobení zlomku dostáváme: \[r_{1}= \frac{f\left(n_{v}−n_{s}\right)}{n_{v}}.\]

  Číselné řešení

  Ze zadání víme:

  \(n_{s}=1{,}5\) (index lomu skla)

  \(f=12 \mathrm{cm}=0{,}12 \mathrm{m}\) (ohnisková vzdálenost čočky)

  V tabulkách dohledáme hodnotu indexu lomu vzduchu :

  \(n_{v}=1{,}0\)

  Dosadíme do vztahu pro poloměr křivosti duté plochy:

  \(r_{1}= \frac{f\left(n_{v}−n_{s}\right)}{n_{v}}=\frac{0{,}12\cdot \left(1−1{,}5\right)}{1} \mathrm{m}=−0{,}6 \mathrm{m}=−6 \mathrm{cm}\).

  Dosadíme do vztahu pro poloměr křivosti vypuklé plochy:

  \(r_{2}=\frac{f\left(n_{s}−n_{v}\right)}{2n_{v}}=\frac{0{,}12\cdot \left(1{,}5−1\right)}{2{\cdot} 1 }=0{,}3 \mathrm{m}=3 \mathrm{cm}\).

  Poloměr křivosti duté plochy vyšel záporný a poloměr křivosti vypuklé plochy kladný, což jsme podle znaménkové konvence očekávali.

• Odpověď

  Poloměr křivosti duté plochy čočky je \(r_{1}=6 \mathrm{cm}\) a poloměř křivosti vypuklé plochy se rovná hodnotě \(r_{2}=3 \mathrm{cm}\).

• Tlustá čočka

  Pro tlustou čočku o tloušťce \(d\) platí zobrazovací rovnice: \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{s}}{n_{v}}−1\right)\left(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}\right)−\frac{\left(\frac{n_{s}}{n_{v}}−1\right)^2 d}{\frac{n_{s}}{n_{v}}r_{1}r_{2}}.\]

  Pokud je tloušťka čočky velmi malá, je možné ji zanedbat, neboli položit \(d=0\). V takovém případě se ze zobrazovací rovnice pro tlustou čočku stane zobrazovací rovnice pro tenkou čočku, kterou jsme si uvedli v nápovědě 2: \[\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{s}}{n_{v}}−1\right)\left(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}\right).\] Tenká čočka je vlastně aproximace tlusté čočky, která se často používá.

   

  Pro zajímavost můžeme zjistit, jak by se vlastnosti čočky změnily, kdybychom nezanedbali její tloušťku.

  Víme, že naše čočka má poloměry křivosti \(r_{1}=−6 \mathrm{cm}\) a \(r_{2}=3 \mathrm{cm}\).

  Z rovnice pro tenkou čočku můžeme spočítat ohniskovou vzdálenost \(f\):

  \(\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{s}}{n_{v}}−1\right)\left(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}\right)=\left(\frac{1{,}5}{1}−1\right)\left(\frac{1}{−6}+\frac{1}{3}\right) \mathrm{\frac{1}{cm}}=\left(0{,}5\right)\left(\frac{−1}{6}+\frac{2}{6}\right) \mathrm{\frac{1}{cm}}=\frac{1}{12} \mathrm{\frac{1}{cm}},\)

  \(f=12 \mathrm{cm}\).

  Nyní určíme ohniskovou vzdálenost z rovnice pro tlustou čočku. Zvolíme si například čočku o tloušťce \(d=1 \mathrm{cm}\):

  \(\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{s}}{n_{v}}−1\right)\left(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}\right)−\frac{\left(\frac{n_{s}}{n_{v}}−1\right)^2 d}{\frac{n_{s}}{n_{v}}r_{1}r_{2}}=\left(\frac{1}{12}−\frac{\left(\frac{1{,}5}{1}−1\right)^2 {\cdot}1}{\frac{1{,}5}{1}\left(−6\right)\cdot 3}\right) \mathrm{\frac{1}{cm}}= \left(\frac{1}{12}+\frac{\left(0{,}5\right)^2}{1{,}5{\cdot} 18}\right) \mathrm{\frac{1}{cm}} = \left(\frac{1}{12}+\frac{1}{12{\cdot} 9} \mathrm{\frac{1}{cm}} =\frac{5}{54}\right) \mathrm{\frac{1}{cm}},\)

  \(f=\frac{54}{5} \mathrm{cm}=10{,}8 \mathrm{cm}\).

  Vidíme, že ohnisková vzdálenost tlusté čočky se od ohniskové vzdálenosti tenké čočky liší. Z toho důvodu je třeba vždy rozmyslet, kdy můžeme tloušťku čočky zanedbat a kdy nemůžeme.