Sbírka řešených úloh

Rovinná harmonická vlna jako řešení vlnové rovnice

Úloha číslo: 1405

• Rozbor

  Pokud má být vlna řešením vlnové rovnice, musí po dosazení funkce $U(r,t)$ do levé strany vlnové rovnice vyjít $0$.

  Potřebujeme tedy nejprve napočítat první a následně i druhou časovou derivaci funkce $U(r,t)$ a také výsledek působení operátoru Laplace.

• Nápověda 1 – první a druhá časová derivace

  Určete první $\frac{\partial U}{\partial t}$a následně druhou $\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}$ časovou derivaci funkce $U$.

• Řešení nápovědy 1 – první a druhá časová derivace

  Vypočítáme první

  $$\frac{\partial U}{\partial t} = - 2\pi\nu U_0 \sin \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] ,$$

  a druhou časovou derivaci funkce $U$

  $$\frac{\partial^2 U}{\partial t^2} = -4\pi^2\nu^2 U_0 \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] . \tag{1}$$

  Nesmíme zapomínat na derivace vnitřní funkce!

• Nápověda 2 – výpočet △U

  Určete výsledek zapůsobení Laplaceova operátoru na funkci $U$.

  Operátor Laplace má v kartézských souřadnicích tvar

  $$\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}.$$

  Určete druhou prostorovou derivaci podle jedné ze souřadnic, další vyjdou analogicky.

• Řešení nápovědy 2 – výpočet △U

  Vypočítáme první a následně druhou derivaci podle $x$ (nezapomeneme na derivaci vnitřní funkce – skalárního součinu)

  $$\frac{\partial U}{\partial x} = U_0 \frac{\partial}{\partial x} \cos \bigg[2\pi \nu \bigg(t - \frac{\overbrace{xs_x + ys_y + zs_z}^{\vec{r}\cdot\vec{s}}}{c}\bigg)\bigg]= - U_0 \frac{2\pi \nu}{c} s_x \sin \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right],$$ $$\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = -U_0 \frac{2\pi \nu}{c} s_x \frac{\partial}{\partial x} \sin \bigg[2\pi \nu \bigg(t - \frac{\overbrace{xs_x + ys_y + zs_z}^{\vec{r}\cdot\vec{s}}}{c}\bigg)\bigg]= - U_0 \frac{4\pi^2 \nu^2}{c^2} s_x^2 \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] .$$

  Derivace podle $y$ a $z$ jsou analogické.

  Provedeme Laplaceův operátor na funkci $U$, tj.

  $$\Delta U = \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} =$$ $$= - U_0 \frac{4\pi^2 \nu^2}{c^2} \underbrace{\left(s_x^2 + s_y^2 + s_z^2\right)}_{{|\vec{s}|}^2=1} \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right]=$$ $$= - U_0 \frac{4\pi^2 \nu^2}{c^2} \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] , \tag{2}$$

  kde jsme v průběhu provedli zjednodušení díky jednotkovosti vektoru $\vec s$.

• Nápověda 3 – dosazení do vlnové rovnice

  Dosaďte nalezená vyjádření $\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}$ a $\Delta U$ do vlnové rovnice a učiňte závěr.

• Řešení nápovědy 3 – dosazení do vlnové rovnice

  Dosazením (1) a (2) do levé strany vlnové rovnice dostáváme

  $$\small - U_0 \frac{4\pi^2 \nu^2}{c^2} \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] + \frac{1}{c^2} U_0\, 4\pi^2 \nu^2 \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] = 0$$

  pravou stranu vlnové rovnice. Funkce $U(\vec{r},t)$ je řešením vlnové rovnice.

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Pokud má být vlna řešením vlnové rovnice, musí po dosazení funkce $U(r,t)$ do levé strany vlnové rovnice vyjít $0$.

  Potřebujeme tedy nejprve napočítat první a následně i druhou časovou derivaci funkce $U(r,t)$ a také výsledek působení operátoru Laplace.

  ---

  Vypočítáme první

  $$\frac{\partial U}{\partial t} = - 2\pi\nu U_0 \sin \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] ,$$

  a druhou časovou derivaci funkce $U$

  $$\frac{\partial^2 U}{\partial t^2} = -4\pi^2\nu^2 U_0 \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] . \tag{1}$$

  Nesmíme zapomínat na derivace vnitřní funkce!

  ---

  Vypočítáme první a následně druhou derivaci podle $x$

  $$\frac{\partial U}{\partial x} = - U_0 \frac{2\pi \nu}{c} s_x \sin \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right],$$ $$\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = - U_0 \frac{4\pi^2 \nu^2}{c^2} s_x^2 \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] .$$

  Derivace podle $y$ a $z$ jsou analogické.

  Provedeme Laplaceův operátor na funkci $U$, tj.

  $$\Delta U = \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} =$$ $$= - U_0 \frac{4\pi^2 \nu^2}{c^2} \underbrace{\left(s_x^2 + s_y^2 + s_z^2\right)}_{{|\vec{s}|}^2=1} \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right]=$$ $$= - U_0 \frac{4\pi^2 \nu^2}{c^2} \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] , \tag{2}$$

  kde jsme v průběhu provedli zjednodušení díky jednotkovosti vektoru $\vec s$.

  ---

  Dosazením (1) a (2) do levé strany vlnové rovnice dostáváme

  $$\small - U_0 \frac{4\pi^2 \nu^2}{c^2} \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] + \frac{1}{c^2} U_0\, 4\pi^2 \nu^2 \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] = 0$$

  pravou stranu vlnové rovnice. Funkce $U(\vec{r},t)$ je řešením vlnové rovnice.

• Odpověď

  Funkce $U(\vec{r},t)$, představující rovinnou harmonickou vlnu, je řešením vlnové rovnice.

• Poznámka – jiný zápis rovinné vlny

  Snadno ukážeme, že udaná funkce

  $$U = U_0 \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right]$$

  představuje jen alternativní zápis rovinné vlny $U = U_0 \cos \left(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} \right)$, viz odvození rovinné vlny.

  ---

  Oba zápisy se liší pouze argumentem. Druhý tvar získáme pouhým roznásobením v argumentu

  $$2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right) = \underbrace{2\pi \nu}_{\omega} t - \frac{2\pi \nu \, \vec{r} \cdot \vec{s}}{c}= \omega t - \underbrace{\frac{2\pi \nu}{c} \vec{s}}_{\mathrm{ozn.}~\vec{k}} \cdot \vec{r} = \omega t - \vec{k} \cdot \vec{r},$$

  kde jsme zavedli vlnový vektor rovinné vlny $\vec{k} = \frac{2\pi \nu }{c}\vec{s}$.

  Je vhodné si zapamatovat některé z vyjádření velikosti vlnového vektoru

  $$k = \frac{2\pi \nu }{c} = \frac{2\pi }{cT} = \frac{2\pi }{\lambda} = \frac{\omega}{c},$$

  k přechodu mezi nimi užíváme známých vztahů $\lambda = cT$, $\nu = \frac{1}{T}$ a $\omega = 2\pi \nu$.

• Poznámka – fázový posun

  V argumentu funkce $U(\vec{r},t)$ nebyl zadán fázový posun (počáteční fáze) $\varphi_0$, aby výrazy v průběhu výpočtů nebyly příliš dlouhé a nepřehledné.

  Projdeme-li si znovu výpočet jednotlivých derivací s tím, že si v argumentu navíc představíme prostorově i časově nezávislý fázový posun $\varphi_0$, zjistíme, že se ve výpočtu nic nezmění. Řešením vlnové rovnice je tedy i funkce

  $$U = U_0 \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right) + \varphi_0 \right], \qquad \mathrm{kde}~|\vec{s}| = 1,$$