Rovinná harmonická vlna jako řešení vlnové rovnice
Úloha číslo: 1405
Ukažte, že funkce
\[U = U_0 \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right], \qquad \mathrm{kde}~|\vec{s}| = 1,\]je řešením vlnové rovnice
\[\Delta U - \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2 U}{\partial t^2} = 0.\]Rozbor
Pokud má být vlna řešením vlnové rovnice, musí po dosazení funkce \(U(r,t)\) do levé strany vlnové rovnice vyjít \(0\).
Potřebujeme tedy nejprve napočítat první a následně i druhou časovou derivaci funkce \(U(r,t)\) a také výsledek působení operátoru Laplace.
Nápověda 1 – první a druhá časová derivace
Určete první \(\frac{\partial U}{\partial t}\)a následně druhou \(\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}\) časovou derivaci funkce \(U\).
Nápověda 2 – výpočet △U
Určete výsledek zapůsobení Laplaceova operátoru na funkci \(U\).
Operátor Laplace má v kartézských souřadnicích tvar
\[\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}.\]Určete druhou prostorovou derivaci podle jedné ze souřadnic, další vyjdou analogicky.
Nápověda 3 – dosazení do vlnové rovnice
Dosaďte nalezená vyjádření \(\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}\) a \(\Delta U\) do vlnové rovnice a učiňte závěr.
CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Pokud má být vlna řešením vlnové rovnice, musí po dosazení funkce \(U(r,t)\) do levé strany vlnové rovnice vyjít \(0\).
Potřebujeme tedy nejprve napočítat první a následně i druhou časovou derivaci funkce \(U(r,t)\) a také výsledek působení operátoru Laplace.
Vypočítáme první
\[ \frac{\partial U}{\partial t} = - 2\pi\nu U_0 \sin \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] , \]a druhou časovou derivaci funkce \(U\)
\[ \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} = -4\pi^2\nu^2 U_0 \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] . \tag{1}\]Nesmíme zapomínat na derivace vnitřní funkce!
Vypočítáme první a následně druhou derivaci podle \(x\)
\[ \frac{\partial U}{\partial x} = - U_0 \frac{2\pi \nu}{c} s_x \sin \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right], \] \[ \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = - U_0 \frac{4\pi^2 \nu^2}{c^2} s_x^2 \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] . \]Derivace podle \(y\) a \(z\) jsou analogické.
Provedeme Laplaceův operátor na funkci \(U\), tj.
\[ \Delta U = \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} = \] \[= - U_0 \frac{4\pi^2 \nu^2}{c^2} \underbrace{\left(s_x^2 + s_y^2 + s_z^2\right)}_{{|\vec{s}|}^2=1} \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right]= \] \[= - U_0 \frac{4\pi^2 \nu^2}{c^2} \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] , \tag{2}\]kde jsme v průběhu provedli zjednodušení díky jednotkovosti vektoru \(\vec s\).
Dosazením (1) a (2) do levé strany vlnové rovnice dostáváme
\[\small - U_0 \frac{4\pi^2 \nu^2}{c^2} \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] + \frac{1}{c^2} U_0\, 4\pi^2 \nu^2 \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] = 0 \]
pravou stranu vlnové rovnice. Funkce \(U(\vec{r},t)\) je řešením vlnové rovnice.
Odpověď
Funkce \(U(\vec{r},t)\), představující rovinnou harmonickou vlnu, je řešením vlnové rovnice.
Poznámka – jiný zápis rovinné vlny
Snadno ukážeme, že udaná funkce
\[U = U_0 \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right]\]představuje jen alternativní zápis rovinné vlny \(U = U_0 \cos \left(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} \right)\), viz odvození rovinné vlny.
Oba zápisy se liší pouze argumentem. Druhý tvar získáme pouhým roznásobením v argumentu
\[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right) = \underbrace{2\pi \nu}_{\omega} t - \frac{2\pi \nu \, \vec{r} \cdot \vec{s}}{c}= \omega t - \underbrace{\frac{2\pi \nu}{c} \vec{s}}_{\mathrm{ozn.}~\vec{k}} \cdot \vec{r} = \omega t - \vec{k} \cdot \vec{r}, \]kde jsme zavedli vlnový vektor rovinné vlny \(\vec{k} = \frac{2\pi \nu }{c}\vec{s}\).
Je vhodné si zapamatovat některé z vyjádření velikosti vlnového vektoru
\[ k = \frac{2\pi \nu }{c} = \frac{2\pi }{cT} = \frac{2\pi }{\lambda} = \frac{\omega}{c}, \]k přechodu mezi nimi užíváme známých vztahů \(\lambda = cT\), \(\nu = \frac{1}{T}\) a \(\omega = 2\pi \nu\).
Poznámka – fázový posun
V argumentu funkce \(U(\vec{r},t)\) nebyl zadán fázový posun (počáteční fáze) \(\varphi_0\), aby výrazy v průběhu výpočtů nebyly příliš dlouhé a nepřehledné.
Projdeme-li si znovu výpočet jednotlivých derivací s tím, že si v argumentu navíc představíme prostorově i časově nezávislý fázový posun \(\varphi_0\), zjistíme, že se ve výpočtu nic nezmění. Řešením vlnové rovnice je tedy i funkce
\[ U = U_0 \cos \left[2\pi \nu \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right) + \varphi_0 \right], \qquad \mathrm{kde}~|\vec{s}| = 1, \]
