Newtonova skla

Úloha číslo: 1632

V experimentu s Newtonovými skly je poloměr křivosti čočky 5 m a její průměr je 20 mm. Předpokládejme, že použijeme světlo o vlnové délce 589 nm. a) Kolik světlých kroužků vznikne? b) Kolik světlých kroužků by vzniklo, kdyby zařízení bylo ponořeno do vody o indexu lomu 1,33.

  • Nápověda 1

    Co jsou to Newtonova skla? Jaké interferenční obrazce ukazují?

  • Nápověda 2

    Nalezněte vztah mezi průměrem interferenčního kroužku rk a poloměrem křivosti R a tloušťkou vzduchové vrstvy d.

  • Nápověda 3

    Které paprsky interferují? Jak se mění jejich fáze při odrazech? Jaký je vztah pro výpočet interferenčních maxim?

  • Nápověda 4

    Co musí platit pro dráhový rozdíl, aby nastalo interferenční maximum?

  • Zápis

    λ = 589 nm = 5,89·10−7 m vlnová délka světla
    nv = 1 relativní index lomu vzduchu
    nvo = 1,33 relativní index lomu vody
    p = 20 mm = 2·10−2 m průměr čočky
    R = 5 m poloměr křivosti čočky
    kv = ?  počet kroužků ve vzduchu
    kvo = ?  počet kroužků ve vodě
  • Řešení

    Při interferenci světla na ploskovypuklé čočce položené na rovné skleněné desce vznikají pro monofrekvenční světlo světlé a tmavé kroužky, kterým se říká Newtonovy kroužky.

    Schéma Newtonových skel.

     

    Nejprve si vyjádříme poloměr světlého kroužku rk pomocí poloměru křivosti čočky R a tloušťky vzduchové vrstvy d.

    Zvětšený trojúhelník TOP.

    Trojúhelníku TOP je pravoúhlý a pomocí Euklidovy věty můžeme vypočítat výšku tohoto trojúhelníku rk, která odpovídá poloměru světlého kroužku k-tého řádu:

    \[r^\mathrm{2}_\mathrm{k}=\,d(\mathrm{2}R − d)=\,\mathrm{2}Rd − d^\mathrm{2}\dot=\,\mathrm{2}Rd.\]

    Protože d << R, můžeme člen d2 zanedbat.

     

    Při kolmém dopadu světla dochází k interferenci světla odraženého od obou rozhraní vzduchové vrstvy o šířce d, tomu odpovídá celkový dráhový rozdíl Δl:

    \[\mathrm{\Delta}l = \,\frac{\lambda}{\mathrm{2}} + \mathrm{2}nd,\]

    kde n je index lomu vzduchové vrstvy a d je tloušťka vzduchové vrstvy (jeden z paprsků mění svoji fázi, detailněji viz nápověda 4).

    V úloze chceme spočítat, kolik světlých kroužků vznikne, tedy budeme počítat interferenční maxima, pro která platí vztah: Δl = . Dosadíme do předchozí rovnice za Δl a vyjádříme si k:

    \[k=\,\frac{nr_\mathrm{k}^\mathrm{2}}{\lambda R}+\frac{1}{2},\]

    kde n je index lomu látky mezi čočkou a skleněnou deskou, tj. pro část a) vzduchové vrstvy n = 1 a b) vody n = 1,33, rk je poloměr k-tého světlého kroužku a R je poloměr křivosti čočky.

    Jelikož potřebujeme vědět, kolik světlých kroužků dohromady vznikne, pokud máme čočku o průměru p, tak za rk dosadíme polovinu průměru, jako bychom chtěli počítat poslední světlý kroužek.

    Upravíme předchozí rovnici

    \[k_\mathrm{v}=\,\frac{n\frac{p^\mathrm{2}}{\mathrm{4}}}{\lambda R}+\frac{1}{2}=\,\frac{np^\mathrm{2}}{\mathrm{4}\lambda R}+\frac{1}{2}\]

    a můžeme dosazovat hodnoty ze zadání.

     

    Část a) vzduchová vrstva n = 1:

    \[k_\mathrm{v}=\,\frac{np^\mathrm{2}}{\mathrm{4}\lambda R}+\frac{1}{2}=\,\frac{1\,\cdot\,0{,}02^\mathrm{2}}{4\,\cdot\,5{,}89{\cdot}10^{−7}\,\cdot\,5}+\frac{1}{2}\,\dot =\,\, 34.\]

    Hodnota k nám říká, kolikátý poslední vznikne kroužek. Jinak řečeno, kolik kroužků vzniklo celkem.

     

    Část b) vodní vrstva n = 1,33:

    \[k_\mathrm{vo}=\,\frac{np^\mathrm{2}}{\mathrm{4}\lambda R}+\frac{1}{2}=\,\frac{1{,}33\,\cdot\,0{,}02^\mathrm{2}}{\mathrm{4}\,\cdot\, 5{,}89{\cdot}10^{−7}\,\cdot\,5}+\frac{1}{2}\,\dot=\,\,45.\]
  • Odpověď

    Pokud máme Newtonova skla ve vzduchu, vznikne 34 světlých kroužků. Pokud je ponoříme do vody, vnikne 45 světlých kroužků.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze