Surikata a ohnisková vzdálenost zrcadla

Úloha číslo: 1919

Obraz surikaty vytvořený dutým zrcadlem je třikrát menší než surikata. Jestliže se surikata přiblíží o půl metru k zrcadlu, je její obraz menší jen dvakrát. Určete ohniskovou vzdálenost zrcadla.

Surikata

  • Nápověda k zápisu

    Pokud je obraz vytvořený dutým zrcadlem menší než předmět, pak je zároveň převrácený. Více se dočtete zde: Zobrazení kulovým zrcadlem.

    Poznámka: Ze znaménkové konvence uvedené v Zobrazení netopýra kulovým zrcadlem a spojnou čočkou plyne, že pro \(Z> 0\) je obraz přímý a pro \(Z< 0\) je obraz převrácený.

  • Zápis

    \(Z_{1}= −\frac{1}{3}\) příčné zvětšení obrazu surikaty (obraz je třikrát menší než surikata)
    \(p=0{,}5 \mathrm{m}\) vzdálenost, o kterou se surikata posune směrem k zrcadlu
    \(Z_{2}= −\frac{1}{2}\) příčné zvětšení obrazu surikaty po jejím přiblížení k zrcadlu (obraz je dvakrát menší než surikata)
    \(f= ?\) ohnisková vzdálenost dutého zrcadla

  • Nápověda 1

    Jakým způsobem ovlivňuje ohisková vzdálenost velikost obrazu? Zapište vztah, který tuto skutečnost vyjadřuje, pro příčná zvětšení \(Z_{1}\) a \(Z_{2}\).

  • Nápověda 2

    Surikata se posunula k zrcadlu. Zamyslete se, zda bychom nemohli toto posunutí vyjádřit pomocí nějakých vhodných vzdáleností.

    Následně určete ohniskovou vzdálenost \(f\).

  • Celkové řešení

    Ohnisková vzdálenost a velikost obrazu

    Pomocí příčného zvětšení \(Z\) zapíšeme, jakým způsobem ovlivňuje ohnisková vzdálenost velikost obrazu: \[Z=−\frac{f}{a−f}.\]

    Přepíšeme tento vztah pro zvětšení \(Z_{1}\) a \(Z_{2}\): \[Z_{1}=−\frac{f}{a−f},\tag{1}\] \[Z_{2}=−\frac{f}{a_{p}−f},\tag{2}\] kde \(a\) je předmětová vzdálenost před posunutím a \(a_{p}\) je předmětová vzdálenost po posunutí.

     

    Posunutí surikaty

    Posunutí surikaty

    Z obrázku vidíme, že pro posunutí surikaty bude platit: \[p=a−a_{p}.\tag{3}\]

     

    Vyjádření ohniskové vzdálenosti

    Z prvního vztahu (1) vyjádříme předmětovou vzdálenost \(a\). Obě strany rovnice vynásobíme \(a−f\) (což můžeme udělat, protože víme, že tento rozdíl je nenulový): \[Z_{1}=−\frac{f}{a−f},\] \[Z_{1}a−Z_{1}f=−f.\] K oběma stranám rovnice přičteme výraz \(Z_{1}f\): \[Z_{1}a=Z_{1}f−f.\] Obě strany rovnice vydělíme \(Z_{1}\): \[a=\frac{Z_{1}f−f}{Z_{1}}.\] \[a=\frac{\left(Z_{1}−1\right)f}{Z_{1}}.\tag{4}\]

    Podobně vyjádříme z druhého vztahu předmětovou vzdálenost \(a_{p}\):

    \[a_{p}=\frac{\left(Z_{2}−1\right)f}{Z_{2}}.\tag{5}\] Dosadíme do rovnice (3) vztahy (4) a (5): \[p=a−a_{p},\] \[p=\frac{\left(Z_{1}−1\right)f}{Z_{1}}−\frac{\left(Z_{2}−1\right)f}{Z_{2}},\] \[p=\left[\frac{\left(Z_{1}−1\right)}{Z_{1}}−\frac{\left(Z_{2}−1\right)}{Z_{2}}\right]f.\] Převedeme zlomky v závorce na společného jmenovatele: \[p=\left[\frac{\left(Z_{1}Z_{2}−Z_{2}\right)−\left(Z_{1}Z_{2}−Z_{1}\right)}{Z_{1}Z_{2}}\right]f.\]

    Upravíme čitatele ve zlomku:

    \[p=\left(\frac{Z_{1}−Z_{2}}{Z_{1}Z_{2}}\right)f.\]

    Výnásobíme obě strany rovnice zlomkem \(\frac{Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}−Z_{2}}\): \[\frac{pZ_{1}Z_{2}}{Z_{1}−Z_{2}}=f.\]

    Pro hledanou ohniskovou vzdálenost tedy platí: \[f=\frac{pZ_{1}Z_{2}}{Z_{1}−Z_{2}}.\]

     

    Číselné řešení

    Dle zadání a zápisu víme: \(Z_{1}= −\frac{1}{3}\), \(Z_{2}= −\frac{1}{2}\), \(p=0{,}5 \mathrm{m}\).

    Dosadíme:

    \(f=\frac{pZ_{1}Z_{2}}{Z_{1}−Z_{2}}=\frac{0{,}5\cdot \left(−\frac{1}{3}\right)\cdot \left(−\frac{1}{2}\right)}{\left(−\frac{1}{3}\right)−\left(−\frac{1}{2}\right)} \mathrm{m}= \frac{0{,}5\cdot \frac{1}{6}}{−\frac{1}{3}+\frac{1}{2}} \mathrm{m}= \frac{0{,}5\cdot \frac{1}{6}}{\frac{−2+3}{6}} \mathrm{m}= \frac{0{,}5\cdot \frac{1}{6}}{\frac{1}{6}} \mathrm{m}= 0{,}5 \mathrm{m}=50 \mathrm{cm}.\)

  • Odpověď

    Ohnisková vzdálenost dutého zrcadla je \(50 \mathrm{cm}.\)

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Původní zdroj: Lepil, O., Bednařík, M. & Široká, M. Fyzika: sbírka úloh pro
střední školy (3. vyd.). Prometheus, Praha 2003.

Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
×Původní zdroj: Lepil, O., Bednařík, M. & Široká, M. Fyzika: sbírka úloh pro střední školy (3. vyd.). Prometheus, Praha 2003.
Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
Zaslat komentář k úloze