Sbírka řešených úloh

Zrcátková metoda měření otočení

Úloha číslo: 1555

Pro měření malých otočení se používá tzv. zrcátková metoda. Na zkoumanou soustavu se umístí rovinné zrcátko, na které se svítí úzkým svazkem světla.

Pootočí-li se zkoumaný předmět, změní se i směr odraženého paprsku. O jaký úhel se otočilo zrcátko, jestliže se směr odraženého paprsku změnil o úhel \(\alpha\)?

• Teorie

  Při řešení úlohy využijeme zákon odrazu.

  Paprsek se na rozhraní odráží tak, že úhel odrazu je roven úhlu dopadu, přičemž odražený paprsek zůstává v rovině dopadu. Úhel dopadu i úhel odrazu měříme od kolmice rozhraní v místě dopadu.

• Nápověda 1 – zakreslení situace před otočením

  Nakreslete situaci dopadajícího paprsku na zrcátko a jeho odraz. Uvažujte, že paprsek dopadá přímo na osu otáčení zcradla.

• Řešení nápovědy 1 – zakreslení situace před otočením

  Paprsek \(p_1\) dopadá na rovinné zrcadlo \(z_1\) pod úhlem \(\gamma\). Odražený paprsek \(p_1^\prime\) svírá podle zákona odrazu s kolmicí dopadu opět úhel \(\gamma\).

  

• Nápověda 2 – přikreslení situace po otočení

  Do obrázku z minulé nápovědy přikreslete zrcátko pootočené o libovolný ostrý úhel \(\beta\). Jaký bude nyní směr odraženého paprsku?

  Poznámka: úlohu jsme „obrátili“ – budeme zkoumat, o jaký úhel se změní směr odraženého paprsku, pokud se zrcátko otočí o úhel \(\beta\).

• Řešení nápovědy 2 – přikreslení situace po otočení

  Nechť se zrcátko \(z_1\) pootočilo do pozice \(z_2\) o úhel \(\beta\). O stejný úhel se pootočila i kolmice dopadu.

  

  Dopadající paprsek má stále týž směr (\(p_1 = p_2\)). Kolmice dopadu se však pootočila o úhel \(\beta\), úhel dopadu je tedy \(\beta + \gamma\), což je dle zákona odrazu i úhel odrazu.

• Nápověda 3 – zjištění závislosti úhlů

  Změna směru odražených paprsků před a po otočení zrcátka je \(\alpha\). Určete úhel pootočení zrcátka.

• Řešení nápovědy 3 – zjištění závislosti úhlů

  Nyní dopočítáme změnu směru odraženého paprsku, tj. úhel mezi paprsky \(p_1^\prime\) a \(p_2^\prime\). Paprsek \(p_1\) s paprskem \(p_2^\prime\) svírá úhel \(2(\beta + \gamma)\). Díky tomu víme, že paprsek \(p_1^\prime\) s paprskem \(p_2^\prime\) svírá úhel \(2\beta\), viz následující obrázek.

  

  Změna směru odražených paprsků je

  \[ \alpha = 2\beta. \]

  A odtud snadno

  \[ \beta = \frac{\alpha}{2}. \]

  Pokud jsme registrovali změnu směru odražených paprsků \(\alpha\), zrcátko a s ním i zkoumaný předmět se pootočily o úhel poloviční, tj. \(\alpha/2\).

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Podle zákona odrazu víme, že paprsek dopadající na rovinné zrcadlo se odráží pod stejným úhlem jako dopadá.

  Paprsek \(p_1\) dopadá na rovinné zrcadlo \(z_1\) pod úhlem \(\gamma\). Odražený paprsek \(p_1^\prime\) svírá podle zákona odrazu s kolmicí dopadu opět úhel \(\gamma\).

  

  Nechť se zrcátko \(z_1\) pootočilo do pozice \(z_2\) o úhel \(\beta\). O stejný úhel se pootočila i kolmice dopadu.

  

  Úhel dopadu je \(\beta + \gamma\), což je dle zákona odrazu i úhel odrazu.

  Chceme vypočítat změnu směru odraženého paprsku, tj. úhel mezi paprsky \(p_1^\prime\) a \(p_2^\prime\). Paprsek \(p_1\) s paprskem \(p_2^\prime\) svírá úhel \(2(\beta + \gamma)\). Díky tomu víme, že paprsek \(p_1^\prime\) s paprskem \(p_2^\prime\) svírá úhel \(2\beta\), viz následující obrázek.

  Změna směru odražených paprsků je

  \[ \alpha = 2\beta. \]

  A odtud snadno

  \[ \beta = \frac{\alpha}{2}. \]

• Odpověď

  Naměřené změně směru odražených paprsků \(\alpha\) odpovídá pootočení zrcátka a předmětu o úhel \(\alpha/2\).