Drozd a žížala

Zápis

\(d\)	délka žížaly
\(d_{v}=\frac{1}{2}d\)	délka žížaly, která je ještě pod vodou (neboli vzdálenost od hladiny vody ke konci žížaly pod vodou)
\(z\)	vzdálenost od hladiny vody ke zdánlivému konci žížaly pod vodou (zdánlivá délka části žížaly, kterou drozd vidí pod vodou)
\(\frac{z}{d}= ?\)	poměr zdánlivé délky části žížaly, která je pod vodou a délky žížaly

Nápověda 1

Nakreslete obrázek ukazující, jak paprsek dopadá od konce žížaly do oka drozda. Znázorněte, jak se paprsek na rozhraní voda-vzduch láme. Pro lepší názornost zakreslete obrázek tak, že se drozd nebude na žížalu dívat přímo shora. Do obrázku vyznačte, kde drozd uvidí zdánlivý konec žížaly. Obrázek popište.

Řešení nápovědy 1

Paprsek dopadá od žížaly na hladinu vody pod úhlem \(β\), kde se láme a dopadá do oka drozda pod úhlem \(α\). Protažením paprsku, který dopadá do oka drozda, můžeme zakreslit zdánlivý obraz konce žížaly.

\(d_{v}\) je vzdálenost od hladiny vody ke konci žížaly pod vodou.

\(z\) je vzdálenost od hladiny vody ke zdánlivému konci žížaly pod vodou.

\(x\) je vzdálenost mezi místem, kde se paprsek láme na hladině a kolmým průmětem žížaly na hladinu.

Nápověda 2

Napište Snellův zákon lomu.

Řešení nápovědy 2

Formulujeme Snellův zákon lomu: \[n_{1}\sin α=n_{2}\sin β,\tag{1}\] kde \( n_{1}\) je index lomu vzduchu a \(n_{2}\) je index lomu vody.

Nápověda 3

Uvědomte si nebo vyhledejte, co je to tzv. paraxiální aproximace.

Řešení nápovědy 3

Pro názornost jsou v obrázku zakresleny větší úhly, ale ve skutečnosti se drozd na žížalu dívá shora, takže vyznačený paprsek jde velmi blízko optické osy a úhly \(α\), \(β\) jsou malé.

Pokud měříme úhly v radiánech, bude pro malé úhly přibližně platit: \[\sin {α} = α, \mathrm{tg}\, {α} = α,\] \[\sin {β} = β, \mathrm{tg}\, {β} = β.\]

Díky tomuto zjednodušení, kterému se říká paraxiální aproximace, můžeme psát: \[\sin {α} = \mathrm{tg}\, {α},\tag{2}\] \[\sin {β}= \mathrm{tg}\, {β}.\tag{3}\] (Tuto skutečnost můžeme ověřit porovnáním grafů funkcí sinus a tangens.)

Nápověda 4

Vraťte se k obrázku z nápovědy 1. Uvědomte si, že \(z\) svírá s protaženým paprsek také úhel \(α\).

V předchozí nápovědě jsme zjistili, že v zákonu lomu můžeme v našem případě psát tangens místo sinus. To se nám hodí, protože \(\mathrm{tg}\,{α}\) a \(\mathrm{tg}\,{β}\) se nám budou z obrázku lépe vyjadřovat.

V obrázku najděte a vyznačte dva pravoúhlé trojúhelníky s jejichž pomocí můžete vyjádřit \(\mathrm{tg}\,{α}\) a \(\mathrm{tg}\,{β}\).

Řešení nápovědy 4

V obrázku vyznačíme dva pravoúhlé trojúhelníky a všechny potřebné informace.

Z červeného trojúhelníku určíme: \[\mathrm{tg}\, {α}=\frac{x}{z}. \tag{4}\] Ze žlutého trojúhelníku můžeme odvodit: \[\mathrm{tg}\, {β}=\frac{x}{d_{v}}. \tag{5}\]

Nápověda 5

Užitím odvozených vztahů určete, čemu odpovídá zdánlivá délka ponořené části žížaly \(z\).

Řešení nápovědy 5

V předchozích nápovědách jsou uvedeny následující vztahy: \[n_{1}\sin α=n_{2}\sin β,\tag{1}\] \[\sin {α} = \mathrm{tg}\, {α},\tag{2}\] \[\sin {β}= \mathrm{tg}\, {β},\tag{3}\] \[\mathrm{tg}\, {α}=\frac{x}{z}, \tag{4}\] \[\mathrm{tg}\, {β}=\frac{x}{d_{v}}. \tag{5}\] Vztahy (2) a (3) dosadíme do rovnice pro zákon lomu (1): \[n_{1}\mathrm{tg}\,α=n_{2}\mathrm{tg}\, β.\] Do rovnice dosadíme vztahy (4) a (5): \[n_{1}\frac{x}{z}=n_{2}\frac{x}{d_{v}}.\] Vyjádříme \(z\): \[n_{1}\frac{1}{z}=n_{2}\frac{1}{d_{v}},\] \[n_{1}d_{v}=n_{2}z,\] \[z=\frac{n_{1}}{n_{2}}d_{v}.\] Dosadíme za \(d_{v}\) dle zápisu \(d_{v}=\frac{1}{2}d\): \[z=\frac{n_{1}}{n_{2}}\frac{1}{2}d,\] \[z=\frac{n_{1}}{2n_{2}}d.\]

V tabulkách dohledáme hodnotu indexu lomu vzduchu \(n_{1}\) a vody \(n_{2}\):

\(n_{1}\) \(=\) \(1{,}00\)

\(n_{2}\) \(=\) \(1{,}33\)

Dosadíme:

\(z=\frac{n_{1}}{2n_{2}}d=\frac{1}{2{\cdot}1{,}33}d \dot= 0{,}4d.\)

Drozd už vytáhnul polovinu žížaly a pod vodou vidí část žížaly o délce \(z\), proto se mu zdá, že žížala má délku: \(0{,}5d+0{,}4d = 0{,}9d\). Reálně však má žížala délku \(d\). Drozdovi se tedy zdá, že žížala je přibližně o desetinu kratší než ve skutečnosti.

Celkové řešení

Nakreslíme obrázek ukazující, jak paprsek dopadá od konce žížaly do oka drozda. Pro lepší názornost zakreslíme obrázek tak, že se drozd nebude na žížalu dívat přímo shora.

Paprsek dopadá od žížaly na hladinu vody pod úhlem \(β\), kde se láme a dopadá do oka drozda pod úhlem \(α\). Tento paprsek se řídí zákonem lomu: \[n_{1}\sin α=n_{2}\sin β,\tag{1}\] kde \( n_{1}\) je index lomu vzduchu a \(n_{2}\) je index lomu vody.

Protažením paprsku, který dopadá do oka drozda, můžeme zakreslit zdánlivý obraz konce žížaly.

\(d_{v}\) je vzdálenost od hladiny vody ke konci žížaly pod vodou, \(z\) je vzdálenost od hladiny vody ke zdánlivému konci žížaly pod vodou a \(x\) je vzdálenost mezi místem, kde se paprsek láme na hladině a kolmým průmětem žížaly na hladinu.

Využijeme paraxiální aproximace (viz nápověda 3): \[\sin {α} = \mathrm{tg}\, {α},\tag{2}\] \[\sin {β}= \mathrm{tg}\, {β}.\tag{3}\]