Zvětšení mikroskopu

Úloha číslo: 1901

Mikroskop má příčné zvětšení objektivu \(30\),  úhlové zvětšení okuláru \(5\) a optický interval mikroskopu je \(15 \mathrm{cm}\). Určete zvětšení mikroskopu, jestliže předmět pozorujeme okem bez akomodace. Dále určete ohniskové vzdálenosti objektivu a okuláru.

mikroskop

  • Zápis

    \(Z_{1}= 30\) příčné zvětšení objektivu
    \(γ_{2}=5\) úhlové zvětšení okuláru
    \(Δ=15 \mathrm{cm}= 0{,}15  \mathrm{m}\) optický interval mikroskopu
    \(γ= ?\) zvětšení mikroskopu
    \(f_{1}= ?\) ohnisková vzdálenost objektivu
    \(f_{2}= ?\) ohnisková vzdálenost okuláru

  • Nápověda 1

    Z čeho se mikroskop skládá a jak funguje?

  • Nápověda 2

    Jaký je vztah mezi celkovým zvětšením mikroskopu \(γ\), příčným zvětšením objektivu \(Z_{1}\) a úhlovým zvětšením okuláru \(γ_{2}\)?

  • Nápověda 3

    Co je optický interval \( Δ\)?

  • Nápověda 4

    Odvoďte vztah pro příčné zvětšení objektivu. Následně určete ohniskovou vzdálenost objektivu.

  • Nápověda 5

    Co je úhlové zvětšení okuláru? Jak ho vypočítáme? Určete ohniskovou vzdálenost okuláru.

  • Celkové řešení

    Obrázek mikroskopu

    Mikroskop se skládá ze dvou spojných čoček (objektiv a okulár).

    Mikroskop

    Popis obrázku

    \(F_{1}\)
    předmětové ohnisko objektivu
    \(y\)
    výška předmětu
    \(F'_{1}\)
    obrazové ohnisko objektivu
    \(y'\)
    výška obrazu vytvořeného objektivem
    \(F_{2}\)
    předmětové ohnisko okuláru
    \(f_{1}\)
    ohnisková vzdálenost objektivu
    \(F'_{2}\)
    obrazové ohnisko okuláru
    \(f_{2}\)
    ohnisková vzdálenost okuláru
    \(τ'\)
    zvětšený zorný úhel
    \(Δ\)
    optický interval

     

    Celkové zvětšení mikroskopu

    Celkové zvětšení mikroskopu získáme jako součin příčného zvětšení objektivu a úhlového zvětšení okuláru. Tedy: \[γ=Z_{1}\cdot γ_{2}\tag{1}\]

     

    Příčné zvětšení objektivu a jeho ohnisková vzdálenost

    Příčné zvětšení objektivu \( Z_{1}\) popisuje, kolikrát je obraz vytvořený objektivem větší než zobrazovaný předmět, proto platí vztah: \[Z_{1}=\frac{y'}{y},\tag{2}\] kde \(y'\) je výška obrazu a \(y\) je výška předmětu.

    Určíme, čemu odpovídá poměr výšky obrazu a předmětu.

    Podobnost trojúhelníků

    Žlutý trojúhelník je podobný modrému trojúhelníku. Z této podobnosti vyplývá: \[\frac{y'}{Δ}=\frac{y}{f_{1}},\] kde \(f_{1}\) je ohnisková vzdálenost objektivu. Vyjádříme poměr výšky předmětu a obrazu: \[\frac{y'}{y}= \frac{Δ}{f_{1}}.\] A dle (2): \[Z_{1}= \frac{Δ}{f_{1}}.\] Odtud vyjádříme ohniskovou vzdálenost objektivu: \[f_{1}= \frac{Δ}{Z_{1}}.\tag{3}\]

     

    Úhlové zvětšení okuláru a jeho ohnisková vzdálenost

    Okulár mikroskopu funguje jako lupa. Platí vztah: \[γ_{2}=\frac{τ'}{τ}.\tag{4}\]

    Nakreslíme obrázek, ze kterého určíme velikost zorného úhlu \(τ\), pod kterým pozorujeme pouhým okem předmět o výšce \(y\) z konvenční zrakové vzdálenosti \(d\) .

    Nyní mezi předmět a oko vložíme okulár tak, že předmět bude umístěn v předmětovém ohnisku okuláru. Úhel, pod kterým budeme pozorovat předmět, se zvětší (zvětšený zorný úhel \(τ'\)).

    Předmět pozorovaný pouhým okem a skrze okulár

    Z obrázku odvodíme, že pokud budeme pozorovat předmět pouhým okem, pak bude platit: \[\mathrm{tg}\,{τ}=\frac{y}{d}.\] Protože úhel \(τ\) je velmi malý, můžeme říci, že \(\mathrm{tg}\,{τ} \dot= τ\) a proto můžeme psát: \[τ=\frac{y}{d}.\tag{5}\]

    Pozorujeme-li předmět skrz okulár, můžeme odvodiv vztah pro zvětšený zorný úhel \(τ'\): \[\mathrm{tg}\,{τ'}=\frac{y}{f_{2}}.\] Zvětšený zorný úhel je malý a proto můžeme psát: \[τ'=\frac{y}{f_{2}}.\tag{6}\]

    Dosadíme vztah (5) a (6) do vztahu pro úhlové zvětšení okuláru (4) a upravíme:

    \[γ_{2}=\frac{τ'}{τ}=\frac{\frac{y}{f_{2}}}{\frac{y}{d}},\] \[γ_{2}=\frac{d}{f_{2}}.\]

    Vyjádříme ohniskovou vzdálenost okuláru: \[f_{2}=\frac{d}{γ_{2}}.\tag{7}\]

     

    Číselné řešení

    Ze zadání víme:

    \(Z_{1}=30\)

    \(γ_{2}=5\)

    \(Δ=0{,}15 \mathrm{m}\)

    V tabulkách dohledáme konvenční zrakovou vzdálenost:

    \(d= 0{,}25  \mathrm{m}\)

    Dosazujeme do vztahů:

    pro celkové zvětšení mikroskopu (1):

    \(γ=Z_{1} \cdot γ_{2} = 30 {\cdot} 5=150.\)

    pro ohniskovou vzdálenost objektivu (3):

    \(f_{1}= \frac{Δ}{Z_{1}}=\frac{0{,}15}{30} \mathrm{m}=5{\cdot}10^{−3} \mathrm{m}=5 \mathrm{mm}.\)

    pro ohniskovou vzdálenost okuláru (7):

    \(f_{2}=\frac{d}{γ_{2}}=\frac{0{,}25}{5} \mathrm{m}=5{\cdot}10^{−2} \mathrm{m}=50 \mathrm{mm}.\)

  • Odpověď

    Zvětšení mikroskopu je \(150\). Ohnisková vzdálenost objektivu je \(5 \mathrm{mm}\) a okuláru \(50 \mathrm{mm}\).

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha řešená graficky
Úloha s vysvětlením teorie
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Lepil, O., Bednařík, M. & Široká, M. Fyzika: sbírka úloh pro
střední školy (3. vyd.). Prometheus, Praha 2003.

Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
×Původní zdroj: Lepil, O., Bednařík, M. & Široká, M. Fyzika: sbírka úloh pro střední školy (3. vyd.). Prometheus, Praha 2003.
Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
Zaslat komentář k úloze