Sbírka řešených úloh

Zvětšení mikroskopu

Úloha číslo: 1901

Mikroskop má příčné zvětšení objektivu \(30\),  úhlové zvětšení okuláru \(5\) a optický interval mikroskopu je \(15 \mathrm{cm}\). Určete zvětšení mikroskopu, jestliže předmět pozorujeme okem bez akomodace. Dále určete ohniskové vzdálenosti objektivu a okuláru.

• Zápis

  \(Z_{1}= 30\)	příčné zvětšení objektivu
  \(γ_{2}=5\)	úhlové zvětšení okuláru
  \(Δ=15 \mathrm{cm}= 0{,}15  \mathrm{m}\)	optický interval mikroskopu
  \(γ= ?\)	zvětšení mikroskopu
  \(f_{1}= ?\)	ohnisková vzdálenost objektivu
  \(f_{2}= ?\)	ohnisková vzdálenost okuláru

• Nápověda 1

  Z čeho se mikroskop skládá a jak funguje?

• Řešení nápovědy 1

  Mikroskop se skládá ze dvou spojných čoček. První budeme nazývat „objektiv“ a druhou „okulár“. Objektiv má malou ohniskovou vzdálenost, ohnisková vzdálenost okuláru je větší.

  

  Popis obrázku

  \(F_{1}\)	předmětové ohnisko objektivu
  \(F'_{1}\)	obrazové ohnisko objektivu
  \(F_{2}\)	předmětové ohnisko okuláru
  \(F'_{2}\)	obrazové ohnisko okuláru
  \(τ'\)	zvětšený zorný úhel

  Velmi malý předmět, který bychom pouhým okem pozorovali pod velmi malým zorným úhlem \(τ\) umístíme blízko předmětového ohniska objektivu \(F_{1}\) (před předmětové ohnisko objektivu). Za objektivem tak vznikne zvětšený, převrácený a skutečný obraz. Okulár umístíme tak, aby obraz vytvořený objektivem vznikal v předmětovém ohnisku okuláru \(F_{2}\). Okulár pak funguje jako lupa.

• Nápověda 2

  Jaký je vztah mezi celkovým zvětšením mikroskopu \(γ\), příčným zvětšením objektivu \(Z_{1}\) a úhlovým zvětšením okuláru \(γ_{2}\)?

• Řešení nápovědy 2

  Celkové zvětšení mikroskopu získáme jako součin příčného zvětšení objektivu a úhlového zvětšení okuláru. Tedy: \[γ=Z_{1}\cdot γ_{2}\tag{1}\]

  Číselné řešení

  Ze zadání víme:

  \(Z_{1}=30\)

  \(γ_{2}=5\)

  Dosadíme:

  \(γ=Z_{1} \cdot γ_{2} = 30 {\cdot} 5=150.\)

• Nápověda 3

  Co je optický interval \( Δ\)?

• Řešení nápovědy 3

  Jedná se o vzdálenost mezi obrazovým ohniskem objektivu a předmětovým ohniskem okuláru.

  

• Nápověda 4

  Odvoďte vztah pro příčné zvětšení objektivu. Následně určete ohniskovou vzdálenost objektivu.

• Řešení nápovědy 4

  Příčné zvětšení objektivu \( Z_{1}\) popisuje, kolikrát je obraz vytvořený objektivem větší než zobrazovaný předmět, proto platí vztah: \[Z_{1}=\frac{y'}{y},\tag{2}\] kde \(y'\) je výška obrazu a \(y\) je výška předmětu.

  Využitím následujícího obrázku určíme, čemu odpovídá poměr výšky obrazu a předmětu.

  

  Žlutý trojúhelník je podobný modrému trojúhelníku. Z této podobnosti vyplývá: \[\frac{y'}{Δ}=\frac{y}{f_{1}},\] kde \(f_{1}\) je ohnisková vzdálenost objektivu. Obě strany rovnice vynásobíme výrazem \(\frac{Δ}{y}\) a dostaneme poměr výšky předmětu a obrazu: \[\frac{y'}{y}= \frac{Δ}{f_{1}}.\] A dle (2): \[Z_{1}= \frac{Δ}{f_{1}}.\] Odtud vyjádříme ohniskovou vzdálenost objektivu: \[f_{1}= \frac{Δ}{Z_{1}}.\tag{3}\]

   

  Číselné řešení

  Podle znaménkové konvence by příčné zvětšení objektivu mělo vyjít záporně, ale protože nás zajímá pouze velikost obrazu a ne jeho orientace, nebudeme v číselném řešení zápornou hodnotu příčného zvětšení zapisovat. Toto „zanedbání“ nijak neovlivní řešení úlohy.

  Ze zadání víme:

  \(Z_{1}=30\)

  \(Δ=0{,}15 \mathrm{m}\)

  Dosadíme:

  \(f_{1}= \frac{Δ}{Z_{1}}=\frac{0{,}15}{30} \mathrm{m}=5{\cdot}10^{−3} \mathrm{m}=5 \mathrm{mm}.\)

• Nápověda 5

  Co je úhlové zvětšení okuláru? Jak ho vypočítáme? Určete ohniskovou vzdálenost okuláru.

• Řešení nápovedy 5

  Úhlové zvětšení okuláru \(γ_{2}\) nám říká, kolikrát je úhel, pod kterým bychom pozorovali předmět skrz okulár (zvětšený zorný úhel \(τ'\)), větší oproti úhlu, pod kterým bychom pozorovali předmět pouhým okem (zorný úhel \(τ\)). Okulár mikroskopu funguje jako lupa. Platí vztah: \[γ_{2}=\frac{τ'}{τ}.\tag{4}\]

  Nakreslíme obrázek, ze kterého určíme velikost zorného úhlu \(τ\), pod kterým pozorujeme pouhým okem předmět o výšce \(y\) z konvenční zrakové vzdálenosti \(d\) .

  

  Vidíme, že bude platit: \[\mathrm{tg}\,{τ}=\frac{y}{d}.\] Protože úhel \(τ\) je velmi malý, můžeme říci, že \(\mathrm{tg}\,{τ} \dot= τ\) a proto můžeme psát: \[τ=\frac{y}{d}.\tag{5}\]

  Úhel, pod kterým pozorujeme předmět, se zvětší, pokud budeme předmět pozorovat skrz okulár.

  Představme si, že mezi předmět a oko vložíme okulár tak, že předmět bude umístěn v předmětovém ohnisku okuláru. Paprsky v obrazovém prostoru jsou pak rovnoběžné a obraz vzniká bez akomodace oka.

  

  Z obrázku můžeme odvodiv vztah pro zvětšený zorný úhel \(τ'\): \[\mathrm{tg}\,{τ'}=\frac{y}{f_{2}},\] kde \(f_{2}\) je ohnisková vzdálenost okuláru. Zvětšený zorný úhel je malý a proto můžeme psát: \[τ'=\frac{y}{f_{2}}.\tag{6}\]

  Dosadíme vztah (5) a (6) do vztahu pro úhlové zvětšení okuláru (4) a upravíme:

  \[γ_{2}=\frac{τ'}{τ}=\frac{\frac{y}{f_{2}}}{\frac{y}{d}},\] \[γ_{2}=\frac{y}{f_{2}}\frac{d}{y},\] \[γ_{2}=\frac{d}{f_{2}}.\]

  Nyní můžeme vyjádřit ohniskovou vzdálenost okuláru: \[f_{2}=\frac{d}{γ_{2}}.\tag{7}\]

   

  Číselné řešení

  Ze zadání víme:

  \(γ_{2}=5\)

  V tabulkách dohledáme konvenční zrakovou vzdálenost:

  \(d= 0{,}25  \mathrm{m}\)

  Dosadíme:

  \(f_{2}=\frac{d}{γ_{2}}=\frac{0{,}25}{5} \mathrm{m}=5{\cdot}10^{−2} \mathrm{m}=50 \mathrm{mm}.\)

• Celkové řešení

  Obrázek mikroskopu

  Mikroskop se skládá ze dvou spojných čoček (objektiv a okulár).

  

  Popis obrázku

  \(F_{1}\)	předmětové ohnisko objektivu	\(y\)	výška předmětu
  \(F'_{1}\)	obrazové ohnisko objektivu	\(y'\)	výška obrazu vytvořeného objektivem
  \(F_{2}\)	předmětové ohnisko okuláru	\(f_{1}\)	ohnisková vzdálenost objektivu
  \(F'_{2}\)	obrazové ohnisko okuláru	\(f_{2}\)	ohnisková vzdálenost okuláru
  \(τ'\)	zvětšený zorný úhel	\(Δ\)	optický interval

   

  Celkové zvětšení mikroskopu

  Celkové zvětšení mikroskopu získáme jako součin příčného zvětšení objektivu a úhlového zvětšení okuláru. Tedy: \[γ=Z_{1}\cdot γ_{2}\tag{1}\]

   

  Příčné zvětšení objektivu a jeho ohnisková vzdálenost

  Příčné zvětšení objektivu \( Z_{1}\) popisuje, kolikrát je obraz vytvořený objektivem větší než zobrazovaný předmět, proto platí vztah: \[Z_{1}=\frac{y'}{y},\tag{2}\] kde \(y'\) je výška obrazu a \(y\) je výška předmětu.

  Určíme, čemu odpovídá poměr výšky obrazu a předmětu.

  

  Žlutý trojúhelník je podobný modrému trojúhelníku. Z této podobnosti vyplývá: \[\frac{y'}{Δ}=\frac{y}{f_{1}},\] kde \(f_{1}\) je ohnisková vzdálenost objektivu. Vyjádříme poměr výšky předmětu a obrazu: \[\frac{y'}{y}= \frac{Δ}{f_{1}}.\] A dle (2): \[Z_{1}= \frac{Δ}{f_{1}}.\] Odtud vyjádříme ohniskovou vzdálenost objektivu: \[f_{1}= \frac{Δ}{Z_{1}}.\tag{3}\]

   

  Úhlové zvětšení okuláru a jeho ohnisková vzdálenost

  Okulár mikroskopu funguje jako lupa. Platí vztah: \[γ_{2}=\frac{τ'}{τ}.\tag{4}\]

  Nakreslíme obrázek, ze kterého určíme velikost zorného úhlu \(τ\), pod kterým pozorujeme pouhým okem předmět o výšce \(y\) z konvenční zrakové vzdálenosti \(d\) .

  Nyní mezi předmět a oko vložíme okulár tak, že předmět bude umístěn v předmětovém ohnisku okuláru. Úhel, pod kterým budeme pozorovat předmět, se zvětší (zvětšený zorný úhel \(τ'\)).

  

  Z obrázku odvodíme, že pokud budeme pozorovat předmět pouhým okem, pak bude platit: \[\mathrm{tg}\,{τ}=\frac{y}{d}.\] Protože úhel \(τ\) je velmi malý, můžeme říci, že \(\mathrm{tg}\,{τ} \dot= τ\) a proto můžeme psát: \[τ=\frac{y}{d}.\tag{5}\]

  Pozorujeme-li předmět skrz okulár, můžeme odvodiv vztah pro zvětšený zorný úhel \(τ'\): \[\mathrm{tg}\,{τ'}=\frac{y}{f_{2}}.\] Zvětšený zorný úhel je malý a proto můžeme psát: \[τ'=\frac{y}{f_{2}}.\tag{6}\]

  Dosadíme vztah (5) a (6) do vztahu pro úhlové zvětšení okuláru (4) a upravíme:

  \[γ_{2}=\frac{τ'}{τ}=\frac{\frac{y}{f_{2}}}{\frac{y}{d}},\] \[γ_{2}=\frac{d}{f_{2}}.\]

  Vyjádříme ohniskovou vzdálenost okuláru: \[f_{2}=\frac{d}{γ_{2}}.\tag{7}\]

   

  Číselné řešení

  Ze zadání víme:

  \(Z_{1}=30\)

  \(γ_{2}=5\)

  \(Δ=0{,}15 \mathrm{m}\)

  V tabulkách dohledáme konvenční zrakovou vzdálenost:

  \(d= 0{,}25  \mathrm{m}\)

  Dosazujeme do vztahů:

  pro celkové zvětšení mikroskopu (1):

  \(γ=Z_{1} \cdot γ_{2} = 30 {\cdot} 5=150.\)

  pro ohniskovou vzdálenost objektivu (3):

  \(f_{1}= \frac{Δ}{Z_{1}}=\frac{0{,}15}{30} \mathrm{m}=5{\cdot}10^{−3} \mathrm{m}=5 \mathrm{mm}.\)

  pro ohniskovou vzdálenost okuláru (7):

  \(f_{2}=\frac{d}{γ_{2}}=\frac{0{,}25}{5} \mathrm{m}=5{\cdot}10^{−2} \mathrm{m}=50 \mathrm{mm}.\)

• Odpověď

  Zvětšení mikroskopu je \(150\). Ohnisková vzdálenost objektivu je \(5 \mathrm{mm}\) a okuláru \(50 \mathrm{mm}\).