Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Ohyb na dvojité štěrbině

Úloha číslo: 1505

Stanovte průběh intenzity světla na stínítku při Youngově interferenčním pokusu. Vzdálenost obou štěrbin šířky d je b. Stínítko je umístěno ve vzdálenosti l, přičemž lb+d.

Dvojštěrbina
  • Do výpočtu zahrňte vliv ohybového jevu na štěrbině nezanedbatelné šířky.
  • Na štěrbiny dopadá kolmo rovinná harmonická vlna, lineárně polarizovaná ve směru štěrbin.
  • Řešte v aproximaci Fraunhoferova obybu.

Elektrickou intenzitu v daném místě stínítka určete integrací příspěvků od zdrojů přes průřez štěrbin. Použijte vyjdáření v komplexním formalismu.

  • Odkazy na související úlohy

    Před řešením této úlohy doporučujeme prostudovat úlohu Ohyb na štěrbině, která je jednodušší variantou této úlohy.

    Youngův interferenční pokus bez uvažování ohybu na štěrbinách naleznete v úloze Youngův pokus.

    Tato úloha lze řešit bez integrace superpozicí vln ze dvou samostatných štěrbin, viz Ohyb na dvojité štěrbině alternativně. Tento přístup ovšem přebírá výsledky z úlohy Ohyb na štěrbině.

  • Teorie a vztahy potřebné pro řešení úlohy

    Obě štěrbiny nezanedbatelné šířky lze modelovat jako spojité pásy přímkových zdrojů válcových vln.

    Pás přímkových zdrojů je na obrázku znázorněn úsečkou kolmých žlutých průmětů.

    Dvojštěrbina

    Elektrickou intenzitu válcové vlny lze popsat funkcí

    E(ρ)=E0ρei(ωtkρ).

    Do dané linie stínítka přicházejí válcové vlny z různých částí štěrbin s různými souřadnicemi ρ a superponují. Výslednou elektrickou intenzitu nalezneme integrací přímkových zdrojů přes průřezy štěrbin.

    Je-li stínítko dostatečně daleko, lze části válcových vlnoploch považovat za téměř rovinné a pro výpočet intenzity světla užít vztah platný pro rovinnou vlnu

    I=12z0EE,

    kde z0=μ0ε0 značí charakteristickou impedanci vakua.

  • Nápověda 1 – superpozice elektrických intenzit

    Napište vyjádření válcové vlny dílčího přímkového zdroje na souřadnici x.

    Vyjádřete souřadnici ρ pomocí vzdálenosti l, souřadnice x myšleného přímkového zdroje a souřadnice místa na stínítku ξ. Výraz upravte s uvážením x<dl.

    Výsledná elektrická intenzita je dána součtem dílčích příspěvků od všech přímkových zdrojů štěrbiny. Ty ji pokrývají spojitě, sestavte tedy příslušný integrál.

    Dvojštěrbina
  • Nápověda 2 – výpočet integrálu

    Určete oba integrály, dávající v součtu průběh E(ξ)

    b2+d2b2d2E0lei[ωtk(l2+ξ2xsinα)]dxozn.ι1+b2+d2b2d2E0lei[ωtk(l2+ξ2xsinα)]dx.ozn.ι2

    Oba integrály mají stejný integrand, liší se pouze známenky v mezích. Vypočítejte tedy integrály ι1,ι2 současně a nakonec výsledky sečtěte.

    Exponenciálu rozepište v součin exponenciálních funkcí, členy nezávisející na integrační proměnné x „vytkněte“ před integrál. Exponenciálu pak snadno vyintegrujete, neboť se integruje „pěkně“, tj. eφxdx=eφxφ+C. Dosaďte meze a výsledek upravte.

    K nalezené funkci E(ξ) určete její komplexní sdružení E(ξ).

  • Nápověda 3 – průběh intenzity na stínítku

    Ve velké vzdálenosti od štěrbiny lze části válcových vln považovat za rovinné a intenzitu světla tak lze vypočítat pomocí vztahu

    I=12z0EE.
  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Příspěvek k elektrické intenzitě na stínítku v místě o souřadnici ξ, příslušící elementárnímu zdroji šířky dx na souřadnici x štěrbiny, je

    dEx(ξ)=E0ρei(ωtkρ)dx,

    kde E0 je konstanta ([E0]=Vm32) a ρ je vzdálenost linie na stínítku od přímkového zdroje a lze vyjádřit pomocí l,ξ,x jako

    ρ=l2+(ξx)2.

    Nyní provedeme dvě aproximace:

    1. Zanedbání změny úbytku amplitudy v rámci stínítka.

      Ve vztahu (1) klesá amplituda elektrické intenzity s ρ. Je-li stínítko dostatečně daleko, jsou rozdíly ρ a tedy i rozdíly globální amplitudy zanedbatelné a proměnný výraz 1ρ můžeme aproximovat konstantou 1l To nám umožní v budoucnu snadno integrovat.

    2. Úpravu ρ s přihlédnutím k |x|<dl.

      Upravme výraz pro ρ

      ρ=l2+(ξx)2=l2+ξ22ξx+x2= =l2+ξ212ξxl2+ξ2+x2l2+ξ2=

      Šedý člen vypustíme, je pro velká l řádově zanedbatelný a místo něj vřadíme zanedbatelně malý člen (modře) k úpravě na čtverec.

      =l2+ξ212ξxl2+ξ2+ξ2x2(l2+ξ2)2= =l2+ξ2(1ξxl2+ξ2)= =l2+ξ2xsinαξl2+ξ2=l2+ξ2xsinα.

    Předchozí aproximace nám dávají následující tvar elektrické intenzity

    dEx(ξ)=E0lei(ωtkρ)dx,kdeρ=l2+ξ2xsinα.

    Celková elektrická intenzita na souřadnici ξ stínítka je dána součtem příspěvků intenzit ode všech přímkových zdrojů štěrbin. Tedy

    E(ξ)=1.štěr.dEx(ξ)+2.štěr.dEx(ξ)= =b2+d2b2d2E0lei[ωtk(l2+ξ2xsinα)]dx+b2+d2b2d2E0lei[ωtk(l2+ξ2xsinα)]dx.

    Oba integrály ι1,ι2 vypočítáme současně

    ι1,2=±b2+d2±b2d2E0lei[ωtk(l2+ξ2xsinα)]dx= =E0lei(ωtkl2+ξ2)±b2+d2±b2d2eikxsinαdx=

    Konstantu jsme vytkli před integrál. Nyní nalezneme primitivní funkci.

    =E0lei(ωtkl2+ξ2)[eikxsinαiksinα]±b2+d2±b2d2= =E0liksinαei(ωtkl2+ξ2)(e±ikb2sinαeikd2sinαe±ikb2sinαeikd2sinα)=

    V předchozím kroku jsme dosadili meze. Nyní vytkněme společnou exponenciálu.

    =E0liksinαei(ωtkl2+ξ2)(eikd2sinαeikd2sinα)e±ikb2sinα= =E0liksinαei(ωtkl2+ξ2)(eiψeiψ)e±iϕ,

    kde jsme označili ψ=kd2sinα a ϕ=kb2sinα.

    Průběh elektrické intenzity je součtem integrálu ι1,ι2, tj.

    E(ξ)=ι1+ι2=E0liksinαei(ωtkl2+ξ2)(eiψeiψ)(eiϕ+eiϕ).

    Samostatně upravíme obě závorky s komplexními exponenciálami. Převedeme je do goniometrického tvaru (eiφ=cosφ+isinφ).

    eiψeiψ=cosψ+isinψcos(ψ)isin(ψ)=2isinψ, eiϕ+eiϕ=cosϕ+isinϕ+cos(ϕ)+isin(ϕ)=2cosϕ.

    Máme tedy

    =E0liksinαei(ωtkl2+ξ2)2isinψ2cosϕ= =2E0dlei(ωtkl2+ξ2)sinψψcosϕ.

    kde jsme za sinα dosadili ze substitučního vztahu ψ=kd2sinα výraz 2ψkd.

    K právě určené elektrické intenzitě

    E(ξ)=2E0dlei(ωtkl2+ξ2)sinψψcosϕ,

    napíšeme její komplexní sdružení

    E(ξ)=2E0dlei(ωtkl2+ξ2)sinψψcosϕ.

    Průběh intenzity světla získáme dosazením (3) a (4) do vztahu pro intenzitu

    I=12z0EE=ozn.I02E20d2z0lei()ei()1sin2ψψ2cos2ϕ.

    Průběh intenzity je tedy

    I=I0sin2ψψ2cos2ϕ,kdeψ=kd2sinα,ϕ=kb2sinα.

    Vidíme, že průběh je součinem dvou funkcí:

    Ohybový obrazec

    Součinem obou zakreslených funkcí dostáváme průběh intenzity na následujícím obrázku.

    Ohybový obrazec
  • Odpověď

    Průběh intenzity na stínítku je

    I=I0sin2ψψ2cos2ϕ,kdeψ=kd2sinα,ϕ=kb2sinα,I0=2E20d2z0l.
    Ohybový obrazec
  • Odkaz na pokus

    Pokud vás zajímá, jak vypadá interferenční obrazec na stínítku ve skutečnosti, podívejte se na Dvojštěrbinový pokus.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
En translation
Zaslat komentář k úloze