Tučňák pozorující rybu, která plave pod ledem

Úloha číslo: 1909

Tučňák pozoruje malou rybku, která plave v hloubce \(2 \mathrm{m}\) pod hladinou. V jaké hloubce vidí tučňák rybu, pokud je hladina vody zamrzlá do hloubky \(40 \mathrm{cm}\)?

Poznámka: Budeme předpokládat, že se tučňák dívá na rybu shora.

Zápis

\(h=2 \mathrm{m}\)	hloubka, ve které plave ryba
\(d=40 \mathrm{cm}=0{,}4 \mathrm{m}\)	tloušťka zamrzlé hladiny
\(x= ?\)	hloubka, ve které tučňák uvidí rybu

Nápověda 1
Nakreslete obrázek ukazující, jak paprsek dopadá od ryby do oka tučňáka. V obrázku se tučňák na rybu nebude dívat přímo shora, abychom si na rozhraní voda-led a voda-vzduch mohli znázornit, jak se paprsek světla láme. Do obrázku vyznačte, kde tučňák rybu uvidí (její zdánlivý obraz).
Formulujte Snellův zákon lomu pro obě rozhraní.
Řešení nápovědy 1
Paprsek dopadá od ryby na vrstvu ledu pod úhlem \(γ\), kde se láme a dopadá na hladinu vody pod úhlem \(β\), zde se opět láme a dopadá do oka tučňáka pod úhlem \(α\). Tento paprsek se řídí zákonem lomu. Protažením paprsku, který dopadá do oka tučňáka, můžeme zakreslit zdánlivý obraz ryby nacházející se v hloubce \(x\).

Napíšeme Snellův zákon pro rozhraní vzduch-led: \[n_{1}\sin α=n_{2}\sin β,\tag{1}\] kde \( n_{1}\) je index lomu vzduchu a \(n_{2}\) je index lomu ledu.

Analogicky pro rozhraní led-voda bude platit: \[n_{2}\sin β=n_{3}\sin γ,\tag{2}\] kde \(n_{3}\) je index lomu vody.
Porovnáním předchozích dvou vztahů dostáváme: \[n_{1}\sin α=n_{3}\sin γ.\tag{3}\]
Nápověda 2
Zdánlivou hloubku, ve které se ryba nachází, určíme z vhodných pravoúhlých trojúhelníků, které si do obrázku dokreslíme. Podobně jsme postupovali i v úloze Drozd a žížala, Řešení nápovědy 4, nyní máme ale situaci ztíženou tím, že nám do úlohy přibylo třetí optické rozhraní - led.
Nejprve si z obrázku vyjádřete \(\mathrm{tg}\,{α}\), \(\mathrm{tg}\,{β}\) a \(\mathrm{tg}\,{γ}\). Vztah pro \(\mathrm{tg}\,{α}\) zapište dvěma způsoby.
Řešení nápovědy 2
V obrázcích si zavedeme následující pomocné značení:

\(p\) je vzdálenost mezi kolmicí dopadu pro rozhraní vzduch-led a kolmicí dopadu pro rozhraní led-voda.

\(q\) je vzdálenost mezi kolmicí dopadu pro rozhraní led-voda a kolmým průmětem ryby na hladinu.

\(z\) je vzdálenost od hladiny k průsečíku kolmice dopadu pro rozhraní led-voda a pomyslného paprsku, který vede ke zdánlivému obrazu ryby.

Ze žlutého trojúhelníku vidíme, že: \[\mathrm{tg}\, {α}=\frac{p}{z}. \tag{4}\] Z červeného trojúhelníku můžeme odvodit: \[\mathrm{tg}\, {α}=\frac{q}{x−z}. \tag{5}\]

Ze zeleného trojúhelníku vidíme, že bude platit: \[\mathrm{tg}\, {β}=\frac{p}{d}. \tag{6}\] Dle bílého trojúhelníku můžeme napsat: \[\mathrm{tg}\, {γ}=\frac{q}{h−d}. \tag{7}\]
Nápověda 3
Využijeme paraxiální aproximace.
Řešení nápovědy 3

Díky paraxiální aproximaci, můžeme psát: \[\sin {α} = \mathrm{tg}\, {α},\tag{8}\] \[\sin {β}= \mathrm{tg}\, {β},\tag{9}\] \[\sin {γ}= \mathrm{tg}\, {γ}.\tag{10}\] Podrobné vysvětlení paraxiální aproximace naleznete v úloze Drozd a žížala, Řešení nápovědy 3.
Nápověda 4
Nyní jsme si již odvodili všechny potřebné vztahy. Určete z těchto vztahů hloubku \(x\), ve které tučňák uvidí rybu.

Řešení nápovědy 4

Zopakujeme si potřebné vztahy:

\[n_{1}\sin α=n_{2}\sin β,\tag{1}\] \[n_{2}\sin β=n_{3}\sin γ,\tag{2}\] \[n_{1}\sin α=n_{3}\sin γ,\tag{3}\]

\[\mathrm{tg}\, {α}=\frac{p}{z}, \tag{4}\] \[\mathrm{tg}\, {α}=\frac{q}{x−z},\tag{5}\] \[\mathrm{tg}\, {β}=\frac{p}{d}, \tag{6}\] \[\mathrm{tg}\, {γ}=\frac{q}{h−d}, \tag{7}\]

\[\sin {α} = \mathrm{tg}\, {α},\tag{8}\] \[\sin {β}= \mathrm{tg}\, {β},\tag{9}\] \[\sin {γ}= \mathrm{tg}\, {γ}.\tag{10}\]

Díky paraxiální aproximaci můžeme Snellův zákon lomu vyjádřit pomocí funkce tangens. To pro nás bude velmi užitečné, neboť tangenty úhlů \(α\), \(β\), \(γ\) jsme si v nápovědě 2 vyjádřili z obrázku.

Do vztahů (1) a (3) dosadíme dle (8), (9) a (10): \[n_{1}\mathrm{tg}\, α=n_{2}\mathrm{tg}\, β,\tag{11}\] \[n_{1}\mathrm{tg}\, α=n_{3}\mathrm{tg}\, γ.\tag{12}\]

Poznámka: Rovnici (2) neupravujeme, protože máme úlohu předem rozmyšlenou a víme, že tuto rovnici k vyřešení úlohy nebudeme potřebovat.

Neznáme hodnoty velikosti vzdáleností \(p\), \(q\) (zavedli jsme si je pouze jako pomocné označení). Proto chceme, aby se vzdálenosti \(p\), \(q\) nevyskytovaly ve výsledném vztahu pro hloubku \(x\).

Nejprve využijeme vztahu (11). Podíváme-li se na naše vztahy, vidíme, že když do vztahu (11) dosadíme vztahy (4) a (6), tak po úpravě ze vztahu zmizí \(p\) a můžeme vyjádřit \(z\): \[n_{1}\frac{p}{z}=n_{2}\frac{p}{d}.\] Obě strany rovnice vydělíme \(p\): \[n_{1}\frac{1}{z}=n_{2}\frac{1}{d}.\] Obě strany rovnice vynásobíme výrazem \(\frac{z}{n_{2}}d\): \[\frac{n_{1}}{n_{2}}d=z.\] Prohodíme levou a pravou stranu rovnice: \[z=d\frac{n_{1}}{n_{2}}.\tag{13}\]

Můžeme si všimnout, že teď by bylo užitečné použít vztah (12) a dosadit do něj (5) a (7): \[n_{1}\frac{q}{x−z}=n_{3}\frac{q}{h−d}.\] \(q\) je na obou stranách, takže se vykrátí a v rovnici nám zbydou jen dvě neznámé (hledané \(x\) a \(z\), které už máme vyjádřené): \[n_{1}\frac{1}{x−z}=n_{3}\frac{1}{h−d}.\] Nyní chceme vyjádřit hloubku \(x\). Obě strany rovnice vynásobíme výrazem \(\left(x−z\right)\left(h−d\right)\): \[n_{1}\left(h−d\right)=n_{3}\left(x−z\right).\] Roznásobíme závorku na pravé straně rovnice: \[n_{1}\left(h−d\right)=n_{3}x−n_{3}z.\] K oběma stranám rovnice přičteme výraz \(n_{3}z\): \[n_{1}\left(h−d\right)+n_{3}z=n_{3}x.\] Obě strany rovnice vydělíme \(n_{3}\): \[\frac{n_{1}}{n_{3}}\left(h−d\right)+z=x.\] Prohodíme pravou a levou stranu rovnice a dosadíme za \(z\) dle (13): \[x=\frac{n_{1}}{n_{3}}\left(h−d\right)+\frac{n_{1}}{n_{2}}d.\]

Číselné řešení

Ze zadání víme:

\(h=2 \mathrm{m}\)

\(d=0{,}4 \mathrm{m}\)

V tabulkách dohledáme hodnotu indexu lomu vzduchu \(n_{1}\), ledu \(n_{2}\) a vody \(n_{3}\) :

\(n_{1}\) \(=\) \(1{,}00\)

\(n_{2}\) \(=\) \(1{,}31\)

\(n_{3}\) \(=\) \(1{,}33\)

Dosadíme:

\(x=\frac{n_{1}}{n_{3}}\left(h−d\right)+\frac{n_{1}}{n_{2}}d=\frac{1{,}00}{1{,}33}\left(2−0{,}4\right)+\frac{1{,}00}{1{,}31}\cdot 0{,}4 \mathrm{m} \dot= 1{,}51 \mathrm{m}.\)

Celkové řešení

Zákon lomu

Nakreslíme obrázek ukazující, jak paprsek dopadá od ryby do oka tučňáka. V obrázku se tučňák na rybu nebude dívat přímo shora, abychom si na rozhraní voda-led a voda-vzduch mohli znázornit, jak se paprsek světla láme.

Paprsek dopadá od ryby na vrstvu ledu pod úhlem \(γ\), kde se láme a dopadá na hladinu vody pod úhlem \(β\), zde se opět láme a dopadá do oka tučňáka pod úhlem \(α\). Tento paprsek se řídí zákonem lomu. Protažením paprsku, který dopadá do oka tučňáka, můžeme zakreslit zdánlivý obraz ryby nacházející se v hloubce \(x\).

Napíšeme Snellův zákon lomu pro rozhraní vzduch-led: \[n_{1}\sin α=n_{2}\sin β,\tag{1}\] kde \( n_{1}\) je index lomu vzduchu a \(n_{2}\) je index lomu ledu.

Analogicky pro rozhraní led-voda bude platit: \[n_{2}\sin β=n_{3}\sin γ,\tag{2}\] kde \(n_{3}\) je index lomu vody.

Porovnáním předchozích dvou vztahů dostáváme: \[n_{1}\sin α=n_{3}\sin γ.\tag{3}\]

Díky paraxiální aproximaci (viz nápověda 3) můžeme v našem případě Snellův zákon lomu vyjádřit pomocí funkce tangens. To pro nás bude velmi užitečné, neboť tangenty úhlů \(α\), \(β\), \(γ\) si můžeme lépe vyjádřit z obrázku.

Přepíšeme si vztahy (1) a (3) dle paraxiální aproximace: \[n_{1}\mathrm{tg}\, α=n_{2}\mathrm{tg}\, β,\tag{11}\] \[n_{1}\mathrm{tg}\, α=n_{3}\mathrm{tg}\, γ.\tag{12}\] (Vztah (2) jsme nepřepisovali, protože ho v následujícím výpočtu nevyužijeme.)

Vyjádření \(\mathrm{tg}\,{α}\), \(\mathrm{tg}\,{β}\) a \(\mathrm{tg}\,{γ}\)

Do obrázku „Pozorování ryby“ si dokreslíme vhodné pravoúhlé trojúhelníky.

V obrázcích si zavedeme následující pomocné značení:

\(p\) je vzdálenost mezi kolmicí dopadu pro rozhraní vzduch-led a kolmicí dopadu pro rozhraní led-voda.

\(q\) je vzdálenost mezi kolmicí dopadu pro rozhraní led-voda a kolmým průmětem ryby na hladinu.

\(z\) je vzdálenost od hladiny k průsečíku kolmice dopadu pro rozhraní led-voda a pomyslného paprsku, který vede ke zdánlivému obrazu ryby.

Ze žlutého trojúhelníku vidíme, že: \[\mathrm{tg}\, {α}=\frac{p}{z}. \tag{4}\] Z červeného trojúhelníku můžeme odvodit: \[\mathrm{tg}\, {α}=\frac{q}{x−z}. \tag{5}\]

Ze zeleného trojúhelníku vidíme, že bude platit: \[\mathrm{tg}\, {β}=\frac{p}{d}. \tag{6}\] Dle bílého trojúhelníku můžeme napsat: \[\mathrm{tg}\, {γ}=\frac{q}{h−d}. \tag{7}\]

Vyjádření hledané hloubky \(x\)

Nejprve využijeme vztahu (11). Podíváme-li se na naše vztahy, vidíme, že když do vztahu (11) dosadíme vztahy (4) a (6), tak po úpravě ze vztahu zmizí \(p\) a můžeme vyjádřit \(z\): \[n_{1}\mathrm{tg}\, α=n_{2}\mathrm{tg}\, β,\] \[n_{1}\frac{p}{z}=n_{2}\frac{p}{d}.\] Obě strany rovnice vydělíme \(p\): \[n_{1}\frac{1}{z}=n_{2}\frac{1}{d}.\] Obě strany rovnice vynásobíme výrazem \(\frac{z}{n_{2}}d\): \[\frac{n_{1}}{n_{2}}d=z.\] Prohodíme levou a pravou stranu rovnice: \[z=d\frac{n_{1}}{n_{2}}.\tag{13}\]

Můžeme si všimnout, že teď by bylo užitečné použít vztah (12) a dosadit do něj (5) a (7): \[n_{1}\mathrm{tg}\, α=n_{3}\mathrm{tg}\, γ,\] \[n_{1}\frac{q}{x−z}=n_{3}\frac{q}{h−d}.\] \(q\) je na obou stranách, takže se vykrátí a v rovnici nám zbydou jen dvě neznámé (hledané \(x\) a \(z\), které už máme vyjádřené): \[n_{1}\frac{1}{x−z}=n_{3}\frac{1}{h−d}.\] Nyní chceme vyjádřit hloubku \(x\). Obě strany rovnice vynásobíme výrazem \(\left(x−z\right)\left(h−d\right)\): \[n_{1}\left(h−d\right)=n_{3}\left(x−z\right).\] Roznásobíme závorku na pravé straně rovnice: \[n_{1}\left(h−d\right)=n_{3}x−n_{3}z.\] K oběma stranám rovnice přičteme výraz \(n_{3}z\): \[n_{1}\left(h−d\right)+n_{3}z=n_{3}x.\] Obě strany rovnice vydělíme \(n_{3}\): \[\frac{n_{1}}{n_{3}}\left(h−d\right)+z=x.\] Prohodíme pravou a levou stranu rovnice a dosadíme za \(z\) dle (13): \[x=\frac{n_{1}}{n_{3}}\left(h−d\right)+\frac{n_{1}}{n_{2}}d.\]