Sbírka řešených úloh

Poyntingův vektor superpozice vln

Úloha číslo: 1403

• Vztahy potřebné pro výpočet

  Vztah mezi \(\vec{E}\) a \(\vec{H}\) rovinné harmonické vlny ve vakuu

  \[ \vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} = \frac{1}{\mu_0} \frac{\vec{k}\times \vec{E}}{\omega}, \]

  nám umožní ke známénu průběhu \(\vec E\) určit průběh \(\vec H\).

  Poyntingův vektor je definován vektorovým součinem reálných průběhů elektrické a magnetické intenzity

  \[ \vec S = \vec E \times \vec H. \]

  Chceme-li jeho střední hodnotu, lze ji v komplexním formalismu určit jako

  \[ \langle \vec{S} \rangle = \frac{1}{2} \mathrm{Re\,} \left(\vec{E}\times\vec{H}^\star\right), \]

  kde \(\star\) znační komplexní sdružení a \(\vec{E}, \vec{H}\) jsou nyní komplexní vyjádření elektrické a magnetické intenzity.

  Pro úpravu konstant ve výsledných výrazech se bude hodit charakteristická impedance vakua

  \[ z_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}, \]

  a vztah mezi rychlostí světla, permeabilitou a permitivitou vakua

  \[ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}. \]

• Komentář

  Všimněme si, že obě rovinné vlny jsou až na vzájemné fázové posunutí stejné. Jsou monochromatické, mají stejnou frekvenci i amplitudu, šíří se stejným směrem.

• 1. Nápověda – Poyntingův vektor samostatně šířící vlny

  Určete velikost střední časové hodnoty Poyntingova vektoru první vlny, šíří-li se ve vakuu samostatně.

  Postup:

  • Vhodně zvolíme soustavu souřadnic (např. tak, aby osa x byla rovnoběžná s vektorem \(\vec{E}_0\) a osa z s vlnovým vektorem \(\vec{k}\).
  • K \(\vec{E}_1\) dopočítáme \(\vec{H}_1\).
  • Dosadíme do vztahu pro střední hodnotu Poyntingova vektoru.

  Poznamenejme, že matematické vyjádření druhé vlny je speciálním případem vyjádření vlny první. Proto výsledek pro \(\delta = 0\) bude odpovídat situaci, kdy by se ve vakuu šířila pouze vlna druhá.

• 1. Řešení nápovědy – Poyntingův vektor samostatně šířící vlny

  Víme, že u rovinné vlny ve vakuu jsou vlnový vektor a elektrická intenzita vzájemně kolmé. Volme soustavu souřadnic tak, že vektor amplitudy elektrické intenzity bude mít směr osy x a vlnový vektor směr osy z

  \[\vec{E}_0 = E_0(1,{}0,{}0),\qquad \vec{k} = k(0,{}0,{}1).\]

  Elektrická intenzita první vlny tak je

  \[\vec{E}_1 = E_0(1,{}0,{}0)e^{i(\overbrace{\omega t - kz + \delta}^{\heartsuit})}.\]

  Určeme k ní magnetickou intenzitu

  \[ \vec{H}_1 = \frac{\vec k \times \vec{E}_1}{\mu_0\omega} = \frac{kE_0\,(0,{}0,{}1) \times (1,{}0,{}0) e^{i\heartsuit}}{\mu_0\omega} = \frac{kE_0\,(0,{}1,{}0)e^{i\heartsuit}}{\mu_0 \omega}. \]

  Komplexně sdružená magnetická intenzita je

  \[ \vec{H}_1^\star = \frac{e^{-i\heartsuit}}{\mu_0 \omega}(0,{}kE_0,{}0). \]

  Nyní již máme vše připraveno k dosazení do vztahu pro střední hodnotu Poyntingova vektoru

  \[ \langle \vec{S}_1 \rangle = \frac{1}{2} \mathrm{Re\,} \left(\vec{E}_1\times\vec{H}_1^\star\right) = \frac{kE_0^2}{2\mu_0 \omega} \mathrm{Re\,} \left(\underbrace{ e^{i\heartsuit} e^{-i\heartsuit}}_{=1} \,(\overbrace{1,{}0,{}0) \times (0,{}1,{}0}^{(0,{}0,{}1)}) \right)= \] \[ = \frac{kE_0^2}{2\mu_0 \omega}(0,{}0,{}1). \]

  Velikost střední hodnoty Poyntingova vektoru je tedy

  \[ \|\langle \vec{S}_1 \rangle \| = \frac{k}{2\mu_0 \omega}E_0^2= \frac{\frac{2\pi}{cT}}{2\mu_0 \frac{2\pi}{T}}E_0^2= \frac{1}{2\mu_0 c}E_0^2 = \frac{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}{2\mu_0}E_0^2= \] \[ = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}E_0^2 = \frac{1}{2z_0} E_0^2, \]

  kde jsme při úpravě užili vztahů
  \(k=2\pi/\lambda\), \(\lambda = cT\), \(\omega = 2\pi/T\), \(c=1/{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}\) a \(z_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\).

  Velikost střední hodnoty nezávisí na \(\delta\). Pro \(\delta=0\) dostáváme vyjádření pro vlnu druhou. To znamená, že v případě, kdy se ve vakuu bude šířit pouze druhá vlna, bude mít stejnou střední hodnotu Poyntingova vektoru, tj. platí \(\|\langle \vec{S}_1 \rangle \| =\|\langle \vec{S}_2 \rangle \|\).

• 2. Nápověda – Poyntingův vektor výsledné vlny

  Určete průběh elektrické a magnetické intenzity výsledné vlny a určete střední hodnotu Poyntingova vektoru této vlny.

• 2. Řešení nápovědy – Poyntingův vektor výsledné vlny

  Výsledná elektrická intenzita bude součtem dílčích intenzit

  \[ \vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \delta)} + \vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r})}= \] \[ = \vec{E}_0 \left( e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r})} + e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \delta)}\right) = \vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r})} \left( 1 + e^{i\delta} \right). \]

  U rovinné vlny ve vakuu jsou vlnový vektor a elektrická intenzita vzájemně kolmé. Volme proto opět soustavu souřadnic tak, že vektor amplitudy elektrické intenzity bude mít směr osy x a vlnový vektor směr osy z

  \[\vec{E}_0 = E_0(1,{}0,{}0),\qquad \vec{k} = k(0,{}0,{}1).\] Tedy \[ \vec{E} = E_0 e^{i(\omega t - kz)} ( 1 + e^{i\delta} )\left(1,{}0,{}0\right). \]

  Této rovinné vlně odpovídá průběh magnetické intenzity

  \[ \vec{H} = \frac{1}{\mu_0} \frac{\vec{k}\times \vec{E}}{\omega} = \frac{kE_0\,e^{i(\omega t - kz)} ( 1 + e^{i\delta} )}{\mu_0 \omega} (0,{}0,{}1)\times (1,{}0,{}0)= \] \[ =\frac{kE_0\,e^{i(\omega t - kz)} ( 1 + e^{i\delta} )}{\mu_0 \omega} (0,{}1,{}0). \]

  Komplexně sdružený průběh magnetické intenzity je tak

  \[ \vec{H}^\star = \frac{kE_0\,e^{-i(\omega t - kz)} ( 1 + e^{-i\delta} )}{\mu_0 \omega} (0,{}1,{}0). \]

  Nyní máme vše připravené k dosazení do vztahu pro střední hodnotu Poyntingova vektoru

  \[ \langle \vec{S} \rangle = \frac{1}{2} \mathrm{Re\,} \left(\vec{E}\times\vec{H}^\star\right) =\] \[ = \frac{kE_0^2}{2\mu_0 \omega} \mathrm{Re\,} \left[ e^{i(\omega t - kz)} e^{-i(\omega t - kz)} ( 1 + e^{i\delta} )( 1 + e^{-i\delta} ) (1{,}0,0)\times(0{,}1,0)\right]= \] \[ =\frac{kE_0^2}{2\mu_0 \omega} \mathrm{Re\,} \left[ 1\cdot ( 1 + e^{i\delta} + e^{-i\delta} + 1)(0{,}0,1)\right]= \]

  Použijeme Euelerův vztah \(e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi\).

  \[= \frac{kE_0^2}{2\mu_0 \omega} \mathrm{Re\,} \left[ ( 1 + \cos \delta + i \sin \delta + \cos (-\delta) + i \sin (-\delta)+1 )(0{,}0,1)\right]= \] \[ = \frac{kE_0^2}{2\mu_0 \omega} \left[ ( 2 + 2\cos \delta)(0{,}0,1)\right] = \frac{kE_0^2}{\mu_0 \omega} (0{,}0,1+\cos\delta). \]

  Velikost střední hodnoty Poyntingova vektoru tedy je

  \[ \|\langle \vec{S} \rangle \| = \frac{kE_0^2}{\mu_0\omega} \left(1+\cos\delta\right) = \frac{\frac{2\pi}{c T}E_0^2}{\mu_0 \frac{2\pi}{T}}\left(1+\cos\delta\right) = \frac{E_0^2}{z_0}\left(1+\cos\delta\right), \]

  pro úpravu jsme použili stejné vztahy jako v předchozí části úlohy.

• 3. Nápověda – porovnání

  Porovnejte výsledky \(\|\langle \vec{S}_1 \rangle\|\) a \(\|\langle \vec{S} \rangle\|\) z částí 1 a 2.

• 3. Řešení nápovědy – porovnání

  Velikost střední hodnoty Poyntingova vektoru samostatně šířících se vln je

  \[ \|\langle \vec{S_2} \rangle \| = \|\langle \vec{S_1} \rangle \| = \frac{1}{2z_0}E_0^2, \]

  a superpozice vln

  \[ \|\langle \vec{S} \rangle \| = \frac{1}{z_0}E_0^2\left(1+\cos\delta\right). \]

  Podělíme-li oba vztahy, po úpravě získáme

  \[ \|\langle \vec{S} \rangle \| = 2\|\langle \vec{S}_1\rangle\|\ + 2\|\langle \vec{S}_1\rangle\|\cos\delta, \]

  kde \(2\|\langle \vec{S}_1\rangle\|\cos\delta\) je interferenční člen.

  Vidíme, že střední hodnota Poyntingova vektoru interferujících vln je v případě \(\delta = 0 + 2\pi k,\, m\in\mathbb{Z}\) maximální (konstruktivní interference). V situaci, kdy je fázový rozdíl \(\delta = \pi + 2\pi k,\, m\in\mathbb{Z}\), je střední hodnota naopak nulová (destruktivní interference).

  Neboť vlny interferují, není střední hodnota Poyntingova vektoru výsledné vlny obecně součtem Poyntigových vektorů vln skládaných, ale je závislá na fázovém rozdílu vln (interferenční člen).

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  1. Víme, že u rovinné vlny ve vakuu jsou vlnový vektor a elektrická intenzita vzájemně kolmé. Volme soustavu souřadnic tak, že vektor amplitudy elektrické intenzity bude mít směr osy x a vlnový vektor směr osy z

  \[\vec{E}_0 = E_0(1,{}0,{}0),\qquad \vec{k} = k(0,{}0,{}1).\]

  Elektrická intenzita první vlny tak je

  \[\vec{E}_1 = E_0(1,{}0,{}0)e^{i(\overbrace{\omega t - kz + \delta}^{\heartsuit})}.\]

  Určeme k ní magnetickou intenzitu

  \[ \vec{H}_1 = \frac{\vec k \times \vec{E}_1}{\mu_0\omega} = \frac{kE_0\,(0,{}0,{}1) \times (1,{}0,{}0) e^{i\heartsuit}}{\mu_0\omega} = \frac{kE_0\,(0,{}1,{}0)e^{i\heartsuit}}{\mu_0 \omega}. \]

  Komplexně sdružená magnetická intenzita je

  \[ \vec{H}_1^\star = \frac{e^{-i\heartsuit}}{\mu_0 \omega}(0,{}kE_0,{}0). \]

  Nyní již máme vše připraveno k dosazení do vztahu pro střední hodnotu Poyntingova vektoru

  \[ \langle \vec{S}_1 \rangle = \frac{1}{2} \mathrm{Re\,} \left(\vec{E}_1\times\vec{H}_1^\star\right) = \frac{kE_0^2}{2\mu_0 \omega} \mathrm{Re\,} \left(\underbrace{ e^{i\heartsuit} e^{-i\heartsuit}}_{=1} \,(\overbrace{1,{}0,{}0) \times (0,{}1,{}0}^{(0,{}0,{}1)}) \right)= \] \[ = \frac{kE_0^2}{2\mu_0 \omega}(0,{}0,{}1). \]

  Velikost střední hodnoty Poyntingova vektoru je tedy

  \[ \|\langle \vec{S}_1 \rangle \| = \frac{k}{2\mu_0 \omega}E_0^2= \frac{\frac{2\pi}{cT}}{2\mu_0 \frac{2\pi}{T}}E_0^2= \frac{1}{2\mu_0 c}E_0^2 = \frac{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}{2\mu_0}E_0^2= \] \[ = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}E_0^2 = \frac{1}{2z_0} E_0^2, \]

  kde jsme při úpravě užili vztahů
  \(k=2\pi/\lambda\), \(\lambda = cT\), \(\omega = 2\pi/T\), \(c=1/{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}\) a \(z_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\).

  Velikost střední hodnoty nezávisí na \(\delta\). Pro \(\delta=0\) dostáváme vyjádření pro vlnu druhou. To znamená, že v případě, kdy se ve vakuu bude šířit pouze druhá vlna, bude mít stejnou střední hodnotu Poyntingova vektoru, tj. platí \(\|\langle \vec{S}_1 \rangle \| =\|\langle \vec{S}_2 \rangle \|\).

  ---

  2. Výsledná elektrická intenzita bude součtem dílčích intenzit

  \[ \vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \delta)} + \vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r})}= \] \[ = \vec{E}_0 \left( e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r})} + e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \delta)}\right) = \vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r})} \left( 1 + e^{i\delta} \right). \]

  U rovinné vlny ve vakuu jsou vlnový vektor a elektrická intenzita vzájemně kolmé. Volme proto opět soustavu souřadnic tak, že vektor amplitudy elektrické intenzity bude mít směr osy x a vlnový vektor směr osy z

  \[\vec{E}_0 = E_0(1,{}0,{}0),\qquad \vec{k} = k(0,{}0,{}1).\] Tedy \[ \vec{E} = E_0 e^{i(\omega t - kz)} ( 1 + e^{i\delta} )\left(1,{}0,{}0\right). \]

  Této rovinné vlně odpovídá průběh magnetické intenzity

  \[ \vec{H} = \frac{1}{\mu_0} \frac{\vec{k}\times \vec{E}}{\omega} = \frac{kE_0\,e^{i(\omega t - kz)} ( 1 + e^{i\delta} )}{\mu_0 \omega} (0,{}0,{}1)\times (1,{}0,{}0)= \] \[ =\frac{kE_0\,e^{i(\omega t - kz)} ( 1 + e^{i\delta} )}{\mu_0 \omega} (0,{}1,{}0). \]

  Komplexně sdružený průběh magnetické intenzity je tak

  \[ \vec{H}^\star = \frac{kE_0\,e^{-i(\omega t - kz)} ( 1 + e^{-i\delta} )}{\mu_0 \omega} (0,{}1,{}0). \]

  Nyní máme vše připravené k dosazení do vztahu pro střední hodnotu Poyntingova vektoru

  \[ \langle \vec{S} \rangle = \frac{1}{2} \mathrm{Re\,} \left(\vec{E}\times\vec{H}^\star\right) =\] \[ = \frac{kE_0^2}{2\mu_0 \omega} \mathrm{Re\,} \left[ e^{i(\omega t - kz)} e^{-i(\omega t - kz)} ( 1 + e^{i\delta} )( 1 + e^{-i\delta} ) (1{,}0,0)\times(0{,}1,0)\right]= \] \[ =\frac{kE_0^2}{2\mu_0 \omega} \mathrm{Re\,} \left[ 1\cdot ( 1 + e^{i\delta} + e^{-i\delta} + 1)(0{,}0,1)\right]= \]

  Použijeme Euelerův vztah \(e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi\).

  \[= \frac{kE_0^2}{2\mu_0 \omega} \mathrm{Re\,} \left[ ( 1 + \cos \delta + i \sin \delta + \cos (-\delta) + i \sin (-\delta)+1 )(0{,}0,1)\right]= \] \[ = \frac{kE_0^2}{2\mu_0 \omega} \left[ ( 2 + 2\cos \delta)(0{,}0,1)\right] = \frac{kE_0^2}{\mu_0 \omega} (0{,}0,1+\cos\delta). \]

  Velikost střední hodnoty Poyntingova vektoru tedy je

  \[ \|\langle \vec{S} \rangle \| = \frac{kE_0^2}{\mu_0\omega} \left(1+\cos\delta\right) = \frac{\frac{2\pi}{c T}E_0^2}{\mu_0 \frac{2\pi}{T}}\left(1+\cos\delta\right) = \frac{E_0^2}{z_0}\left(1+\cos\delta\right), \]

  pro úpravu jsme použili stejné vztahy jako v předchozí části úlohy.

  ---

  3. Velikost střední hodnoty Poyntingova vektoru samostatně šířících se vln je

  \[ \|\langle \vec{S_2} \rangle \| = \|\langle \vec{S_1} \rangle \| = \frac{1}{2z_0}E_0^2, \]

  a superpozice vln

  \[ \|\langle \vec{S} \rangle \| = \frac{1}{z_0}E_0^2\left(1+\cos\delta\right). \]

  Podělíme-li oba vztahy, po úpravě získáme

  \[ \|\langle \vec{S} \rangle \| = 2\|\langle \vec{S}_1\rangle\|\ + 2\|\langle \vec{S}_1\rangle\|\cos\delta, \]

  kde \(2\|\langle \vec{S}_1\rangle\|\cos\delta\) je interferenční člen.

  Vidíme, že střední hodnota Poyntingova vektoru interferujících vln je v případě \(\delta = 0 + 2\pi k,\, m\in\mathbb{Z}\) maximální (konstruktivní interference). V situaci, kdy je fázový rozdíl \(\delta = \pi + 2\pi k,\, m\in\mathbb{Z}\), je střední hodnota naopak nulová (destruktivní interference).

  Neboť vlny interferují, není střední hodnota Poyntingova vektoru výsledné vlny obecně součtem Poyntigových vektorů vln skládaných, ale je závislá na fázovém rozdílu vln (interferenční člen).

• Odpověď

  1. Pokud by se první (příp. druhá) vlna šířila prostorem samostatně, její Poyntingův vektor by měl velikost časové střední hodnoty rovnou \[\|\langle \vec{S}_1\rangle\|=\|\langle \vec{S}_2\rangle\|=\frac{E_0^2}{2z_0} .\]

  2. Velikost střední hodnoty Poyntingova vektoru výsledné vlny je \[\|\langle \vec{S}\rangle\|=\frac{E_0^2}{z_0} \left(1+\cos\delta\right).\]

  3. Střední hodnota Poyntingova vektoru interferujících vln je v případě \(\delta = 0 + 2\pi k,\, m\in\mathbb{Z}\) maximální (konstruktivní interference). V situaci, kdy je fázový rozdíl \(\delta = \pi + 2\pi k,\, m\in\mathbb{Z}\), je střední hodnota naopak nulová (destruktivní interference). Vztah velikosti střední hodnoty Poyntingova vektoru superpozice vln a samostatně šířící vlny \[ \|\langle \vec{S} \rangle \| = 2\|\langle \vec{S}_1\rangle\|\left(1+\cos\delta\right) \]