Sbírka řešených úloh

Komplexní formalismus a rovinná harmonická vlna

Úloha číslo: 1402

• Teorie

  O rovinné vlně a jejím komplexním zápisu obsáhle pojednáváme zde.

• 1. Nápověda – časová derivace

  Určete časovou derivaci \(\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\).

  Připomeňme, že komplexní exponenciála se derivuje analogicky jako reálná

  \[ (e^{ix})^\prime = i e^{ix}. \]

• 1. Řešení nápovědy – časová derivace

  Zderivujeme komplexní exponenciálu podle času

  \[ \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial t} \left( \vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}\right) = \frac{\partial }{\partial t} \left( \vec{E}_0 e^{i\omega t }e^{-i\vec{k}\cdot \vec{r}}\right) = \vec{E}_0 e^{-i\vec{k}\cdot \vec{r}} \frac{\partial }{\partial t} e^{i\omega t } = i\omega \vec{E}_0 e^{-i\vec{k}\cdot \vec{r}} e^{i\omega t } = i\omega \underbrace{\vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}}_{\vec{E}} = i\omega \vec{E}. \]

• 2. Nápověda – divergence

  Divergence vektoru se v kartézských souřadnicích vypočítá tak, že se daný vektor symbolicky skalárně vynásobí „vektorem“ nabla \(\vec\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)\). Vypočtěte divergenci vektorového pole \(\vec{E}\), tj. určete součet

  \[\mathrm{div\,} \vec{E} = \vec\nabla \cdot \vec E = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}. \]

• 2. Řešení nápovědy – divergence

  Potřebujeme určit divergenci vektoru elektrické intenzity, tj. součet

  \[\mathrm{div\,} \vec{E} = \vec\nabla \cdot \vec E = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = \]

  Vypočtěme zvlášť například derivaci \(\frac{\partial E_x}{\partial x}\) \[ \color{MidnightBlue}{ \frac{\partial E_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} E_{0x} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} = E_{0x} e^{i\omega t} \frac{\partial }{\partial x} e^{i(\overbrace{- k_x x - k_y y - k_z z}^{-\vec{k}\cdot\vec{r}})} = -i k_x E_{0x} e^{i\omega t} e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}} = -i k_x E_{0x} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}. } \] Derivace \(\frac{\partial E_y}{\partial y}, \frac{\partial E_z}{\partial z}\) dostaneme analogicky.

  \[ = -i k_x E_{0x} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}-i k_y E_{0y} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} -i k_z E_{0z} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} = \] \[ = -i(\underbrace{k_x E_{0x} + k_y E_{0y} + k_z E_{0z}}_{\vec{k}\cdot\vec{E_0}}) e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} = -i \vec{k}\cdot \underbrace{\vec{E_0} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}}_{\vec{E}} = -i\vec{k}\cdot \vec{E}. \]

• 3. Nápověda – rotace

  Rotace se v kartézských souřadnicích vypočítá tak, že se daný vektor zleva vektorově pronásobí „vektorem“ nabla \(\vec\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)\). Vypočtěte rotaci vektorového pole \(\vec{E}\), tj. součin

  \[\mathrm{rot\,} \vec{E} = \vec\nabla \times \vec E = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \times \left(\vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}\right).\]

• 3. Řešení nápovědy – rotace

  Vypočítejme rotaci vektoru elektrické intenzity

  \[\mathrm{rot\,} \vec{E} = \vec\nabla \times \vec E = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \times \left(\vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}\right) =\] \[ = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \times \left( E_{0x} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} , E_{0y} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} , E_{0z} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} \right) = \]

  Jak dopadne například první složka rotace?
  

  Připomeňme pravidlo pro vektorový součin

  \[\small\color{grey}{(a,b,c)\times(d,e,f) = (bf-ce, cd-af, ae-bd)}.\]

  První složka našeho vektorového součinu je tedy

  \[\color{MidnightBlue}{\small E_{0z} \frac{\partial}{\partial y} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} - E_{0y} \frac{\partial}{\partial z} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} ) } = -i \left(E_{0z} k_y - E_{0y} k_z\right) e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} .} \]

  Cyklická záměna dává okamžitou odpověď na zbývající složky rotace.

  Dostáváme tak vektor

  \[ = -i\underbrace{\left( E_{0z} k_y - E_{0y} k_z, E_{0x} k_z - E_{0z} k_x, E_{0y} k_x - E_{0x} k_y \right)}_{\vec{k}\times\vec{E}_0 }e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} = \]

  kde jsme identifikovali vektorový součin \((k_x,k_y,k_z)\times(E_{0x},E_{0y},E_{0z})\)

  \[ = -i\vec{k}\times\underbrace{\vec{E}_0\,e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}}_{\vec{E}} = -i\vec{k}\times\vec{E}. \]

• 4. Nápověda – magnetická indukce

  Pomocí Maxwellových rovnic vyjádřete \(\vec{B}\).

  Z Maxwellových rovnic se vám bude hodit „Zákon elektromagnetické indukce“

  \[ \mathrm{rot\,} \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}, \]

  a výsledek části 3.

• 4. Řešení nápovědy – magnetická indukce

  Do Maxwellovy rovnice

  \[ \mathrm{rot\,} \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} \]

  dosadíme ve 3. části určenou rotaci elektrické intenzity

  \[ -i\vec{k}\times\vec{E}_0\,e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}. \]

  Odtud vypočítáme magnetickou indukcí pomocí integrálu

  \[ \vec B = \int i\vec{k}\times\vec{E}_0\,e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}\,\mathrm{d}t = i \vec{k}\times\vec{E}_0 \int e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}\,\mathrm{d}t= \] \[ = i \vec{k}\times\vec{E}_0 \frac{^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}}{i\omega}= \frac{\vec{k}\times\vec{E}}{\omega}. \]

  Vidíme, že vektor magnetické indukce \(\vec{B}\) je kolmý na vektor elektrické intenzity \(\vec{E}\) a na vlnový vektor \(\vec{k}\) (má směr šíření). Vektory \(\vec{k},\vec{E},\vec{B}\) tvoří pravotočivou bázi.

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  1. Zderivujeme komplexní exponenciálu podle času

  \[ \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial t} \left( \vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}\right) = \frac{\partial }{\partial t} \left( \vec{E}_0 e^{i\omega t }e^{-i\vec{k}\cdot \vec{r}}\right) = \vec{E}_0 e^{-i\vec{k}\cdot \vec{r}} \frac{\partial }{\partial t} e^{i\omega t } = i\omega \vec{E}_0 e^{-i\vec{k}\cdot \vec{r}} e^{i\omega t } = i\omega \underbrace{\vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}}_{\vec{E}} = i\omega \vec{E}. \]

  ---

  2. Vypočítáme divergenci vektoru elektrické intenzity

  \[\mathrm{div\,} \vec{E} = \vec\nabla \cdot \vec E = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = \]

  Vypočtěme zvlášť například derivaci \(\frac{\partial E_x}{\partial x}\) \[ \color{MidnightBlue}{ \frac{\partial E_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} E_{0x} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} = E_{0x} e^{i\omega t} \frac{\partial }{\partial x} e^{i(\overbrace{- k_x x - k_y y - k_z z}^{-\vec{k}\cdot\vec{r}})} = -i k_x E_{0x} e^{i\omega t} e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}} = -i k_x E_{0x} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}. } \] Derivace \(\frac{\partial E_y}{\partial y}, \frac{\partial E_z}{\partial z}\) dostaneme analogicky.

  \[ = -i k_x E_{0x} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}-i k_y E_{0y} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} -i k_z E_{0z} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} = \] \[ = -i(\underbrace{k_x E_{0x} + k_y E_{0y} + k_z E_{0z}}_{\vec{k}\cdot\vec{E_0}}) e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} = -i \vec{k}\cdot \underbrace{\vec{E_0} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}}_{\vec{E}} = -i\vec{k}\cdot \vec{E}. \]

  ---

  3. Vypočítáme rotaci vektoru elektrické intenzity

  \[\mathrm{rot\,} \vec{E} = \vec\nabla \times \vec E = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \times \left(\vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}\right) =\] \[ = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \times \left( E_{0x} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} , E_{0y} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} , E_{0z} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} \right) = \]

  Jak dopadne například první složka rotace?
  

  Připomeňme pravidlo pro vektorový součin

  \[\small\color{grey}{(a,b,c)\times(d,e,f) = (bf-ce, cd-af, ae-bd)}.\]

  První složka našeho vektorového součinu je tedy

  \[\color{MidnightBlue}{\small E_{0z} \frac{\partial}{\partial y} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} - E_{0y} \frac{\partial}{\partial z} e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} ) } = -i \left(E_{0z} k_y - E_{0y} k_z\right) e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} .} \]

  Cyklická záměna dává okamžitou odpověď na zbývající složky rotace.

  Dostáváme tak vektor

  \[ = -i\underbrace{\left( E_{0z} k_y - E_{0y} k_z, E_{0x} k_z - E_{0z} k_x, E_{0y} k_x - E_{0x} k_y \right)}_{\vec{k}\times\vec{E}_0 }e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} = \]

  kde jsme identifikovali vektorový součin \((k_x,k_y,k_z)\times(E_{0x},E_{0y},E_{0z})\)

  \[ = -i\vec{k}\times\underbrace{\vec{E}_0\,e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}}_{\vec{E}} = -i\vec{k}\times\vec{E}. \]

  ---

  4. Do Maxwellovy rovnice

  \[ \mathrm{rot\,} \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} \]

  dosadíme ve 3. části určenou rotaci elektrické intenzity

  \[ -i\vec{k}\times\vec{E}_0\,e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )} = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}. \]

  Odtud vypočítáme magnetickou indukcí pomocí integrálu

  \[ \vec B = \int i\vec{k}\times\vec{E}_0\,e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}\,\mathrm{d}t = i \vec{k}\times\vec{E}_0 \int e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}\,\mathrm{d}t= \] \[ = i \vec{k}\times\vec{E}_0 \frac{^{i(\omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} )}}{i\omega}= \frac{\vec{k}\times\vec{E}}{\omega}. \]

  Vidíme, že vektor magnetické indukce \(\vec{B}\) je kolmý na vektor elektrické intenzity \(\vec{E}\) a na vlnový vektor \(\vec{k}\) (má směr šíření). Vektory \(\vec{k},\vec{E},\vec{B}\) tvoří pravotočivou bázi.

• Odpověď

  V komplexním formalismu jsme snadno a rychle získali následující výsledky

  1. časovou derivaci \(\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = i\omega \vec{E},\)
  2. divergenci \(\mathrm{div\,} \vec{E} = -i\vec{k}\cdot \vec{E}\),
  3. rotaci \(\mathrm{rot\,} \vec{E} = -i\vec{k}\times\vec{E}\),
  4. magnetickou indukci \(\vec{B} = \frac{\vec{k}\times\vec{E}}{\omega}\).