Jak vysoký je nejvyšší strom?

Úloha číslo: 1917

sekvoj vždyzelená - Hyperion
V Kalifornii nalezneme nejvyšší žijící strom na světě. Druh stromu se nazývá sekvoj vždyzelená a jméno tohoto stromu je Hyperion.

Přestavte si, že byste chtěli změřit jeho výšku. Do vzdálenosti \(102 \mathrm{m}\) od stromu položíte zrcátko. Postavíte-li se \(150 \mathrm{cm}\) od zrcátka (tedy \(103{,}5 \mathrm{m}\) od stromu), uvidíte v zrcátku špičku Hyperionu.

Dokážete nyní určit jakou výšku má tento strom?

Předpokládejte, že strom, pozorovatel i zrcátko se nachází na rovném terénu a oči pozorovatele jsou ve výšce \(170 \mathrm{cm}\) nad zemí.

 

Poznámka: Výška Hyperionu, kterou v této úloze vypočítáme, byla změřena v roce 2010.

  • Zápis

    \(d_{1}=102{,}0 \mathrm{m}\) vzdálenost mezi stromem a zrcátkem
    \(d_{2}=150 \mathrm{cm}=1{,}5 \mathrm{m}\) vzdálenost mezi pozorovatelem a zrcátkem
    \(h_{o}=170 \mathrm{cm}=1{,}7 \mathrm{m}\) výška, ve které se nachází oči pozorovatele
    \(h_{s}= ?\) výška stromu Hyperion

  • Nápověda 1

    Nakreslete, jak bude vypadat situace při měření výšky stromu, a obrázek popište.

  • Nápověda 2

    Paprsek dopadající od špičky stromu do oka pozorovatele, splňuje zákon odrazu. Jak zní tento zákon a co z této informace vyplývá pro náš obrázek?

  • Nápověda 3

    Nyní víme, že trojúhelníky z obrázku (viz řešení nápovědy 2) jsou podobné. Zamyslete se, zda této informace nemůžete nějakým způsobem využít při hledání výšky stromu.

  • Celkové řešení

    Nejprve si nakreslíme obrázek. Chceme, aby pozorovatel viděl v zrcadle špičku stromu. Proto musí paprsek jdoucí od špičky stromu dopadnout na zrcadlo a po odrazu dopadnout do očí pozorovatele. Tento paprsek splňuje zákon odrazu.

    Měření výšky stromu

    Zákon odrazu nám říká, že úhel dopadu \(α\) je stejný jako úhel odrazu. To zároveň znamená, že úhel který svírá dopadající paprsek s vodorovnou rovinou je stejný jako úhel, který svírá odražený paprsek s vodorovnou rovinou (\(90°−α\)).

     

    Nyní se podíváme na dva trojúhelníky, které nám v obrázku vznikly (jsou označeny zeleně a žlutě).

    Podobnost trojúhelníků

    Již víme, že tyto trojúhelníky mají jeden úhel (označený růžově) stejný. Zároveň jsou oba trojúhelníky pravoúhlé. Zjistili jsme tedy, že se trojúhelníky shodují ve dvou úhlech, a to znamená, že se jedná o trojúhelníky podobné.

     

    Pro podobné trojúhelníky platí, že se poměry odpovídajících si stran shodují:

    \[\frac{h_{s}}{h_{o}}=\frac{d_{1}}{d_{2}}.\]

    Obě strany rovnice vynásobíme \(h_{o}\) a získáme tak hledaný vztah pro výpočet výšky stromu:

    \[h_{s}=h_{o}\frac{d_{1}}{d_{2}}.\]

     

    Číselné řešení

    Ze zadání víme:

    \(h_{o}=170 \mathrm{cm}=1{,}7 \mathrm{m}\)

    \(d_{1}=102{,}0 \mathrm{m}\)

    \(d_{2}=150 \mathrm{cm}=1{,}5 \mathrm{m}\)

    Dosadíme:

    \(h_{s}=h_{o}\frac{d_{1}}{d_{2}}=1{,}7\cdot \frac{102{,}0}{1{,}5} \mathrm{m}=115{,}6 \mathrm{m}.\)

  • Odpověď

    Výška Hyperionu je \(115{,}6 \mathrm{m}\).

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha řešená graficky
Původní zdroj: Nahodil, J. Sbírka úloh z fyziky kolem nás: pro střední školy.
Prometheus, Praha 2011. 
Diplomová práce Michaely Jungové (2016).
×Původní zdroj: Nahodil, J. Sbírka úloh z fyziky kolem nás: pro střední školy. Prometheus, Praha 2011.
Diplomová práce Michaely Jungové (2016).
Zaslat komentář k úloze