Sbírka řešených úloh

Mýdlová blána

Úloha číslo: 1579

• Nápověda 1

  Připomeňte si, jak probíhá interference na tenké vrstvě, kterou je zde mýdlová blána.

  Detailní odvození naleznete v úloze Vrstva oleje na vodě. Tuto úlohu budeme řešit stručněji.

• Nápověda 2

  Jaké dva paprsky nás zajímají, jaká je jejich dráha a celkový dráhový rozdíl?

• Řešení nápovědy 2

  Černý paprsek přicházející od zdroje se na prvním rozhraní částečně odrazí a částečně pokračuje do mýdlové vrstvy. První odražený paprsek (zelený) se odrazí s opačnou fází a složí se s paprskem (červený), který projde mýdlovou vrstvou tam a zpět. Červený paprsek se odrazí beze změny fáze. Nakreslíme si obrázek.

  

  První odražený paprsek (zelený) se odráží s opačnou fází a tomu odpovídá dráhový rozdíl:

  \[\mathrm{\Delta}l_\mathrm{1} = \,\frac{\lambda}{2}.\]

  Druhý paprsek (červený) se odráží se stejnou fází a jeho dráhový rozdíl je dán delší optickou dráhou, kterou musel urazit, tedy:

  \[\mathrm{\Delta}l_\mathrm{2} =\, \mathrm{2}nd,\]

  kde n je index lomu materiálu (v tomto případě mýdlová blána), d je tloušťka mýdlové blány. Tloušťku mýdlové blány násobíme dvěma, protože paprsek musí projít blánou tam a zpátky.

   

  Celkový dráhový rozdíl obou paprsků je dán optickou dráhou, kterou musel červený paprsek urazit navíc, a tím, že zelený paprsek změnil při odrazu svoji fázi:

  \[\mathrm{\Delta}l = \mathrm{\Delta}l_\mathrm{1} + \mathrm{\Delta}l_\mathrm{2} = \,\frac{\lambda}{2} + \mathrm{2}nd .\]

  Poznámka k obrázku

  Obrázek je nakreslen schematicky. Zvolená tloušťka mýdlové blány odpovídající přesně jedné vlnové délce způsobuje, že se červený a zelený paprsek potkají v protifázy, tedy, že dojde k destruktivní interferenci, což neodpovídá situaci ze zadání. Je to nakresleno kvůli přehlednosti.

• Zápis

  λ = 450 nm = 4,5·10−7 m	vlnová délka světla
  k = 1	řád maxima
  n = 1,33	index lomu mýdlové blány
  d = ? (nm)	tloušťka mýdlové blány

• Řešení

  Přicházející paprsek od zdroje se částečně odrazí na rozhraní s mýdlouvou blánou a částečně projde do blány. Při interferenci se složí paprsek, který se odrazil od mýdlového rozhraní s paprskem, co prošel blánou a odrazil se na rozhraní se vzduchem.

  Celkový dráhový rozdíl obou paprsků je dán vztahem:

  \[\mathrm{\Delta}l = \frac{\lambda}{2}+\mathrm{2}nd,\]

  kde Δl je celkový dráhový rozdíl, n je index lomu mýdlové blány a d je tloušťka mýdlové blány.

  Při interferenci vzniká maximum, pokud celkový dráhový rozdíl je roven Δl = kλ.

  \[k\lambda=\,\frac{\lambda}{2}+\mathrm{2}nd.\]

  Chceme-li vypočítat šířku mýdlové blány, protřebujeme si vyjádřit hledané d. Upravíme rovnici a dostaneme:

  \[d =\, \frac{(2k − 1)\lambda}{\mathrm{4}n}.\]

  Dosazením hodnot ze zadání za λ, n index lomu mýdlové blány a k řád maxima, získáme:

  \[d =\,\frac{1\,\cdot\,450{\cdot}10^{−9}}{4\,\cdot\,1{,}33}\,\mathrm{m} = 0{,}84{\cdot}10^{−7}\,\mathrm{m} = 84{\cdot}10^{−9}\,\mathrm{m} = 84\,\mathrm{nm}. \]

  Mýdlová blána je tlustá 84 nm.

• Odpověď

  Tloušťka mýdlové blány pro první maximum je 84 nm.

• Komentář

  Jestliže si chceme vytvořit hezkou mýdlovou blánu s interferencí, vezmeme si drátěný rámeček a ponoříme ho do mýdlového roztoku. Když máme blánu a dáme ji do svislé polohy, po chvíli se blána ustálí a vytvoří se na ní tenké interferenční proužky pouze v prostřední části. V horní části je blána příliš tenká, takže ke konstruktivní interferenci ve viditelné oblasti světla nedochází. Ve spodní části je zase naopak blána příliš široká, takže maxima a minima různých barev se překrývají a k viditelné interferenci nedochází.