Výpočet Brewsterova úhlu z mezního úhlu

Úloha číslo: 1645

Mezní úhel vzorku skla je 60°. Určete Brewsterův úhel vzorku tohoto skla pro odraz světla, které přichází zvenku (a), i pro odraz světla přicházejícího zevnitř vzorku (b). Vzorek skla je umístěn ve vzduchu.

  • Nápověda 1

    Co je to mezní úhel?

  • Nápověda 2

    Jak pomocí mezního úhlu můžeme spočítat index lomu použitého skla?

  • Nápověda 3

    Brewsterův úhel je úhel pro úplnou polarizaci odrazem. Připomeňte si, jaká podmínka platí pro tzv. Brewsterův úhel dopadu.

    Pokud si nevzpomínáte, podívejte se nejprve do řešení v úloze Polarizace úplným odrazem.

  • Nápověda 4

    Jak můžeme spočítat Brewsterův úhel s použitím vypočítaného indexu lomu skla, pro odraz světla přicházejicího a) zvenčí a b) zevnitř skla?

  • Řešení

    Pokud při dopadu světla na optické rozhraní budeme zvětšovat úhel dopadu, bude růst i úhel lomu. Pokud dosáhneme takového úhlu dopadu, kdy se bude paprsek lámat pod úhlem 90°, takový úhel nazýváme mezní úhel αm. Pro úhly dopadu větší než αm nedochází k lomu a vše se odráží, tzv. totální odraz. K tomu může dojít, jen pokud světlo dopadá na rozhraní z opticky hustšího materiálu na materiál opticky řidší.

     

    Pro výpočet Brewsterova úhlu použitého skla potřebujeme nejdříve vypočítat jeho index lomu.

    Obrázek pro odvození Snellova zákona.

    Napíšeme si Snellův zákon ve tvaru:

    \[n_\mathrm{1} \sin \alpha_\mathrm{m} = \, n_\mathrm{2} \sin \beta \quad\Rightarrow\quad n_\mathrm{1} \sin \alpha_\mathrm{m} = \, \sin 90° = 1,\]

    kde n1 je index lomu skla, αm je mezní úhel, n2 = 1 je index lomu vzduchu a β je úhel lomu.

    Z předchozího vztahu si vyjádříme index lomu skla n1 a dosadíme hodnoty za β a αm. Dostaneme:

    \[n_\mathrm{1}=\,\frac{1}{\sin \alpha_\mathrm{m}}.\]

    Tuto hodnotu indexu lomu skla použijeme v dalších výpočtech pro Brewsterův úhel, což je takový úhel dopadu, při kterém odražený a lomený paprsek svírají pravý úhel.

     

    a) Odraz světla přicházejícího zvenčí

    Pro výpočet získáme vztah:

    \[\alpha_\mathrm{B}+ 90° + \beta = 180° \quad\Rightarrow\quad beta= 90° − \alpha_\mathrm{B}. \]

    Potom lze upravit Snellův zákon a dosadit za β:

    \[\frac{\sin\, \alpha_\mathrm{B}}{\sin\, \beta}=\, \frac{\sin\, \alpha_\mathrm{B}}{\sin\,(90° − \alpha_\mathrm{B})}=\frac{\sin\, \alpha_\mathrm{B}}{\cos\,\alpha_\mathrm{B}}=\,\mathrm{tg}\,\, \alpha_\mathrm{B}=\,\frac{n_\mathrm{1}}{n_\mathrm{2}}= \,n_\mathrm{1},\]

    kde αB je Brewsterův úhel dopadu, n1 je index lomu skla a n2 = 1 je index lomu vzduchu. Nyní dosadíme a získáme Brewsterův úhel dopadu pro odraz světla zvenčí.

    \[\mathrm{tg}\,\, \alpha_\mathrm{B}=\,n_\mathrm{1}=\,\frac{1}{\sin \alpha_\mathrm{m}}=\,\frac{1}{\sin 60°},\]

    tedy

    \[\alpha_\mathrm{B}\dot=\, 49°.\]

     

    b) Odraz světla přicházejícího zevnitř

    Při výpočtu budeme postupovat jako v první části řešení, jen ve Snellově zákoně se prohodí oba indexy lomu:

    \[\frac{\sin\,\alpha_\mathrm{B}}{\sin\, \beta}=\,\frac{n_\mathrm{2}}{n_\mathrm{1}} \quad\Rightarrow\quad \frac{\sin\, \alpha_\mathrm{B}}{\cos\,\alpha_\mathrm{B}}=\,\mathrm{tg}\,\, \alpha_\mathrm{B}=\,\frac{1}{n_\mathrm{1}}.\]

    Dosadíme a získáme Brewsterův úhel dopadu pro odraz světla zevnitř.

    \[\mathrm{tg}\,\, \alpha_\mathrm{B}=\,\frac{1}{\frac{1}{\sin \alpha_\mathrm{m}}}=\,\sin \alpha_\mathrm{m}=\,\sin 60°,\]

    tedy

    \[\alpha_\mathrm{B}\dot=\, 41°.\]
  • Odpověď

    Velikost Brewsterova úhlu pro odraz světla zvenčí je 49° a pro odraz světla zevnitř je 41°.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze