Výpočet maximálního řádu spektra a rozlišovací schopnosti

Úloha číslo: 1666

Optická mřížka má 800 vrypů na milimetr. Délka mřížky je 5 cm. Kolmo na ni dopadá monochromatické světlo o vlnové délce 500 nm.

a) Jaké řády interference můžeme pozorovat?

b) Jaká je rozlišovací schopnost v nejvyšším řádů?

  • Nápověda 1 – výpočet řádu maxima

    Jaký vztah platí pro interferenční maxima při interferenci na mřížce?

  • Nápověda 2 – výpočet řádu maxima

    Jakých hodnot může nabývat úhel odchýlení α a co to říká o interferenčních maximech?

  • Nápověda 3

    Co je to rozlišovací schopnost a jak se vypočítá?

  • Zápis

    N = 800 počet vrypů na 1 mm
    λ = 500 nm = 5,0·10−7 m vlnová délka dopadajícího světla
    L = 5 cm = 50 mm délka mřížky
    k = ?  nejvyšší řád maxima, který můžeme pozorovat
    A = ?  rozlišovací schopnost
  • Řešení

    Pro výpočet řádu maxima budeme potřebovat rovnici pro mřížku, která počítá s dráhovým rozdílem paprsků a s mřížkovou konstantou, tedy:

    \[b\sin\,\alpha=k\lambda,\]

    kde b je mřížková konstanta, k je řád maxima, λ je vlnová délka světla a α je úhel ochýlení. Z této rovnice si vyjádříme řád maxima k a získáme:

    \[k=\,\frac{b\sin\,\alpha}{\lambda}.\]

    Pokud se zamyslíme nad úhlem odchýlení α, mělo by nás napadnout, že tento úhel nemůže být větší než 90°, tím získáme nerovnost:

    \[k=\frac{b\sin\,\alpha}{\lambda}\le \frac{b\sin\,90}{\lambda}=\,\frac{b}{\lambda},\]

    kde b si vypočítáme pomocí vztahu:

    \[b=\,\frac{10^\mathrm{−3}\,\mathrm{m}}{N}=\,\frac{10^\mathrm{−3}\,\mathrm{m}}{800}\]

    Nyní dosadíme hodnoty a vypočítáme nejvyšší řád interferenčního maxima, který můžeme pozorovat.

    \[k=\,\frac{\frac{10^\mathrm{−3}\,\mathrm{m}}{800}}{5{,}0{\cdot}10^\mathrm{−7}\,\mathrm{m}}=\,\frac{10^\mathrm{−3}\,\mathrm{m}}{800{\cdot}5{,}0{\cdot}10^\mathrm{−7}\,\mathrm{m}}=\,2{,}5.\]

    Protože k má být celé číslo, řešení je tedy k = 2.

     

    Rozlišovací schopnost A je definována jako:

    \[A=\,\frac{\lambda}{\mathrm{d}\lambda}.\]

    Hranicí pro rozlišení dvou spektrálních čar zdálených od sebe o Δλ je případ, kdy hlavní maximum intenzity světla jedné vlnové délky padne právě do nejbližšího minima (místa s nulovou hodnotou) druhé vlnové délky.

    Podíváme se, jak vypadá průběh intenzity světla na stínítku podrobněji: \[I \approx \frac{\sin^2 \frac{N\kappa b\sin\alpha}{2}}{\sin^2 \frac{\kappa b\sin\alpha}{2}}. \tag{2},\] kde α je úhel odchýlení, b mřížková konstanta, \(\kappa = \frac{2 \pi}{\lambda}\) velikost vlnového vektoru a N počet osvětlených vrypů.

    Obrázek pro odvození minima.

    Na obrázku je průběh intenzity světla pro ideální mřížku s pěti vrypy.

    Polohu hlavních maxim určuje podmínka: \[\frac{\kappa b\sin\alpha}{2} = k \pi \qquad\Rightarrow\qquad b\sin\alpha = k\lambda,\] kde k je řád maxima. Vzdálenost minim na ose \(b \sin \alpha\) je \(\frac{\lambda}{N}\) stejně jako vzdálenost prvního minima od hlavního maxima. Podrobněji viz Napověda 3.

    Pro dvě vlnové délky λ1 a λ2 napíšeme podmínku pro hlavní interferenční maximum pro první vlnovou délku:

    \[b\sin\,\alpha_1 =\,k\lambda_\mathrm{1},\]

    a podmínku prvního minima pro vlnovou délku λ2:

    \[b\sin\,\alpha_2=\,k\lambda_\mathrm{2} + \frac{\lambda_\mathrm{2}}{N_\mathrm{c}}, \]

    kde Nc je celkový počet vrypů na celé dýlce mřížky.

    Nyní si uvědomíme, že úhel pro maximum jedné vlnové délky se musí rovnat úhlu pro minimum druhé vlnové délky, tak se zobrazí ve stejném místě, tedy α1 = α2. Pokud se rovnají úhly, rovnají se i hodnoty jejich sinů. Získáme tedy rovnici:

    \[k\lambda_\mathrm{1}=\,k\lambda_\mathrm{2} + \frac{\lambda_\mathrm{2}}{N_\mathrm{c}}, \]

    ze které vyjádříme k:

    \[k(\lambda_\mathrm{1} − \lambda_\mathrm{2})=\,\frac{\lambda_\mathrm{2}}{N_\mathrm{c}},\]

    kde λ1 − λ2 si označíme jako dλ a upravíme do tvaru:

    \[A=\,\frac{\lambda}{\mathrm{d}\lambda}=\, kN_\mathrm{c},\]

    kde k je nejvyšší pozorovaný řád a Nc je celkový počet vrypů na mřížce.

    Celkový počet vrypů Nc na mřížce vypočítáme jako počet vrypů na 1 mm krát délky mřížky:

    \[N_\mathrm{c}=\,LN=\,50{\cdot}800=\,40\,000 \,\mathrm{vrypů}\]

    Dosadíme hodnoty ze zadání a vypočítáme:

    \[A=\, kN_\mathrm{c}=\, 2\,\cdot\,800\,\cdot\,50=\,80\, 000=\,8{\cdot}10^\mathrm{4}.\]
  • Odpověď

    Můžeme pozorovat dva řády interference a rozlišovací schopnost v nejvyšším, tedy druhém řádu je 8·104.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze