Odraz světla ve skleněné podkově

Úloha číslo: 1830

Skleněná tyč obdélníkového průřezu je ohnuta do tvaru „podkovy“ (viz obrázek). Vnitřní prohnutí podkovy je kruhové s poloměrem \(R\) a vnější prohnutí je také kruhové s poloměrem \(R+d\).

Ohnutá skleněná tyč

Svazek rovnoběžných paprsků světla dopadá kolmo na plochu A. Určete minimální hodnotu podílu \(\frac{R}{d}\), aby veškeré světlo z tohoto svazku opustilo skleněnou podkovu povrchem B.

  • Nápověda 1

    Protože nechceme, aby některý z paprsků opustil podkovu v jiném místě než plochou B, musí v podkově docházet k tzv. totálnímu odrazu paprsků. Uvědomte si, kdy dochází k totálnímu odrazu paprsků a napište Snellův zákon pro totální odraz světla.

  • Nápověda 2

    Rozmyslete si, zda je potřeba zabývat se všemi paprsky ze svazku světla.

  • Nápověda 3

    Nyní se budeme zabývat tím, jak se paprsek pohybuje v „zahnuté“ části podkovy.

    Představte si dvě soustředné kružnice a mezi nimi skleněné mezikruží. Dále si představte paprsek, jehož trajektorie tvoří tečnu k „vnitřní“ kružnici a který dopadá na „vnější“ kružnici pod úhlem \(α\).

    Odraz světla v mezikruží

    Jak bude pokračovat trajektorie paprsku? Zakreslete ji do obrázku.

  • Nápověda 4

    Pod jakým úhlem dopadá paprsek do bodu M?

    Bod M se nachází na nezahnuté části podkovy
    Bude v tomto bodě docházet k totálnímu odrazu? Do obrázku zakreslete trajektorii paprsku ve zbylé části podkovy.

  • Nápověda 5

    Zjistili jsme, že když paprsek bude dopadat do bodu K pod úhlem \(α \gt α_{m}\), pak bude v celé podkově docházet k totálnímu odrazu do chvíle, než opustí podkovu plochou B.

    Průchod paprsku podkovou
    Pomocí obrázku určete, jaká je závislost mezi úhlem \(α\), poloměrem \(R\) a šířkou podkovy \(d\). Následně za pomoci vztahu (2) určete poměr \(\frac{R}{d}\).

  • Celkové řešení

    Totální odraz

    Nechceme, aby některý z paprsků opustil podkovu v jiném místě než plochou B, proto musí v podkově docházet k tzv. totálnímu odrazu paprsků.

    Aby nastal totální odraz, tak pro úhel dopadu paprsku \(α\) musí platit, že bude větší než mezní úhel \(α_{m}\): \[ α \gt α_{m}. \] Pokud je úhel dopadu menší než \(90°\) a zároveň platí \(α \gt α_{m}\), bude také platit: \[\sin{α} \gt \sin{α_{m}}.\tag{1}\]

     

    Mezní úhel je takový úhel, při kterém ještě dochází k lomu paprsku. Paprsek se pak láme pod úhlem \(90°\). Pro tento případ zapíšeme Snellův zákon lomu jako:

    \[\frac{\sin{α_{m}}}{\sin{90°}}=\frac{n_{v}}{n_{s}},\]

    kde \(n_{v}\) je index lomu vzduchu a \(n_{s}\) je index lomu skla.

    Protože platí \(\sin{90°}=1\) a dle tabulek \(n_{v}  \dot= 1\), můžeme napsat: \[\sin{α_{m}}=\frac{1}{n_{s}}.\] Tento vztah dosadíme do vztahu (1): \[\sin{α} \gt \frac{1}{n_{s}}.\tag{2}\]

     

    Jeden paprsek stačí

    Není potřeba zabývat se všemi paprsky ze svazku světla. Bude nám stačit zaměřit se pouze na chod krajního (oranžového) paprsku. Pokud bude u oranžového paprsku docházet k totálnímu odrazu, bude také u všech dalších paprsků docházet k totálnímu odrazu (další paprsky budou dopadat na vnější kružnici pod větším úhlem než je úhel dopadu oranžového paprsku).

    Žluté paprsky dopadají na okraj skla pod vetším úhlem než oranžový paprsek

    Pokud tedy u oranžového paprsku bude docházet při prvním dopadu na rozhraní sklo-vzduch k totálnímu odrazu, bude k němu docházet i v celé podkově. Přesvědčit se o tom můžeme v Nápovědě 3 a Nápovědě 4.

     

    Minimální hodnota podílu \(\frac{R}{d}\)

    Podíváme-li se pozorně na pravoúhlý trojúhelník (žlutý) v obrázku, pak zjistíme, že délka jeho přepony odpovídá součtu \(R+d\).

    Obrázek k řešemí nápovědy 5
    Využijeme goniometrickou funkci sinus: \[\sin{α}=\frac{R}{R+d}.\tag{3}\] Připomeneme si vztah (2) a dosadíme do něj: \[\sin{α} \gt \frac{1}{n_{s}}.\] \[\frac{R}{R+d}\gt \frac{1}{n_{s}} .\] Protože nás zajímá i limitní případ, tedy případ, kdy je úhel dopadu \(α\) roven meznímu úhlu \(α_{m}\) (a tedy i \(\sin{α}=\sin{α_{m}}\)), budeme dále pracovat s nerovností: \[\frac{R}{R+d}\ge \frac{1}{n_{s}} .\] Pro přehlednost si nerovnici přepíšeme: \[\frac{1}{n_{s}} \le \frac{R}{R+d}.\] Vynásobíme obě strany nerovnice kladným výrazem \(\frac{R+d}{R}\): \[\frac{1}{n_{s}}\frac{R+d}{R} \le 1.\] A upravujeme nerovnici tak, abychom na levé straně získali výraz \(\frac{R}{d}\): \[\frac{1}{n_{s}}\left(\frac{R}{R}+\frac{d}{R} \right)\le 1,\] \[\frac{1}{n_{s}}\left(1+\frac{d}{R} \right)\le 1,\] \[\frac{1}{n_{s}}+\frac{1}{n_{s}}\frac{d}{R} \le 1,\] \[\frac{1}{n_{s}}\frac{d}{R} \le 1 − \frac{1}{n_{s}},\] \[\frac{1}{n_{s}}\frac{d}{R} \le \frac{n_{s}−1}{n_{s}},\] \[\frac{d}{R} \le n_{s}−1,\] \[\frac{R}{d} \ge \frac{1}{ n_{s}−1}. \]

    Číselné řešení

    V tabulkách dohledáme hodnotu indexu lomu skla \(n_{s} = 1{,}5\) a dosadíme: \[\frac{R}{d} \ge \frac{1}{ 1{,}5−1}, \] \[\frac{R}{d} \ge 2. \]

  • Odpověď

    Aby došlo v podkově k totálnímu odrazu, minimální hodnota podílu \(\frac{R}{d}\) musí být rovna dvěma.

  • Odkaz na experiment

    Předvedení experimentu s totálním odrazem je popsáno v Totální odraz ve vytékající vodě.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha řešená graficky
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Původní zdroj: Lim, Y. Problems and Solutions on Optics: Major American Universities Ph.
D. Qualifying Questions and Solutions. World Scientific, New Jersey 1991.
Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
×Původní zdroj: Lim, Y. Problems and Solutions on Optics: Major American Universities Ph. D. Qualifying Questions and Solutions. World Scientific, New Jersey 1991.
Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
Zaslat komentář k úloze